полнотекстовый ресурс

Поскольку ряд Фурье сходится к значению соответствующей функции в
точках, где функция непрерывна, то ряды Фурье часто используются для суммирования
числовых рядов. Так, например, если в ряде Фурье функции,
определенной в примере 5, положить х = 2, то получим:
W
я — (2 л - 1)-
п - 1
cos я ,
я_
I —1 2 8
(2 л -1)
л = 1
Пример 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию
2
у —х на отрезке [0; 71] и с помощью полученного ряда вычислить суммы
числовых рядов
00 00
Х \ * 1 Н ) И ^
Iя I п
п ш 1 Й*1
► Разложим данную функцию в ряд по косинусам, продолжив ее на интервал
(—тс; 0) четным образом и на всю числовую прямую периодически, с периодом
2 я . Тогда
2 Г 2 , 2х
aQ = -\х ах =
0 itJ я 3
2я
3
2,х
—12х-&шпхах)
1 . _ . ч
-------------cosnxL
4 х ,п
+
,
I
гcosnx
— dx
J п пп п ю J п
Получили ряд Фурье
4 ,n 4(—1)
— C ° S I t n | 0 =
п
п
я = 1
Так как продолженная функция непрерывна, то ее ряд Фурье сходится к
заданной функции при любом значении х. Поэтому для х —0 имеем:
т +4 1 ( - 1) Ч .
я = 1
47