полнотекстовый ресурс

где у(х0) = у 0, у'(х0) = Л*0, у0) , а остальные производные y (xQ) (л = 2,
3, ...) находятся путем последовательного дифференцирования уравнения
( 12.22) и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.
Пример 7. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд реше-
2 2
ния дифференциального уравнения у' = х + у , если у (1) —1.
►Из данного уравнения находим, что у'О ) ■* 1 + 1 = 2 . Дифференцируем
исходное уравнение:
у = 2х+ 2ууг , / 41) = 6 ,
У " = 2 + 2/ 2 + 2уУ', /''(1) = 22,
у Г = 4у'у"'+ 2 у'у" + 2 у у " ', y ,Y( 1) = 116.
Подставляя найденные значения производных в ряд (12.23), получаем:
у(х) = 1 + 2( х - 1) + Ц* + j ( x - 1)3 + f f i x - 1)4 +... -
2 11 з 29 4
- 1 + 2( х - 1) + 3(х- 1) + ~ ( х - 1) + ~ ( х - 1) +.... <
3 6
Пример 8. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения у " - (1 +х )у = 0, удовлетворяющего
начальным условиям у(0) = —2 , у '(0) = 2 .
►Подставив в уравнение начальные условия, получим:
ЯШ Й1 •(—2) т - 2 .
Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:
у" ' = 2ху + (1 +х2)У , у " '(0) - 2 ,
у 1У = 2у+ 2ху' + 2ху' + ( 1+х2)у", / К(0) = -б ,
у У ■=6у' + бху" + (1 +х2)У ", у К(0) = 14.
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем:
у(х) = - 2 + 2 х -х + ix 3 - ix 4 + ]?х5 +... .4
3 4 60
Решение задачи Коши у =