полнотекстовый ресурс

, - б 1° 4л- 2
sin(x ) ш з?+ ~ +(“" 1) (БГГТГ " '
Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду
почленно интегрировать. Следовательно,
О
- J (,2- f i +i r -... +(-l)"-1^|— + -
о
, 3 7 И . 4 л- 1 v
т (х___ X_ X i f 11 ________+ I
V3 7-3! 11-5!“ “ 1 ' (4л —1)(2л-1)! "V
= I — !_ + _ ! ___------------------------- !-------- ; + ...-
3 7-3! 11-51 (4 я - 1 )(2 л -1)!
- 0,3333-0,0381 = 0,295,
поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше
5 = 10“3. <
Пример б. Найти интеграл
в виде степенного ряда и указать область
его сходимости.
►Воспользовавшись формулой (12.19), получим ряд для подынтегральной
функции:
. 2 4 , 2 л -2
Он сходится на всей числовой прямой, следовательно, его можно почленно
интегрировать:
3 5 Ш
(2л - 1)(2л - 1)!
Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости
не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой. 4
Приближенное реш ение дифференциальных уравнении. В случае, когда точно
проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных
функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например
ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
используется ряд Тейлора
У' = Лх. У) . у(х0) - у 0 , (12.22)
00 \
К * )“ £ — ^ ( Х - Х ц ) " , (12.23)
л « 0
36