полнотекстовый ресурс

2. Разложить в степенной ряд функцию Дх) =
3
(1+х)(1-2х)
(Ответ: |х| < 1/2.)
и найти область сходимости этого ряда.
3. 1. Разложить по степеням суммы х + 1 многочлен
Д х ) = х + Зх3 - бх2 + з;
2. Разложить в степенной ряд функцию Дх) =
= 1п(1 +2х) и найти область сходимости этого ряда. (От-
1 Ь J х
вет: —- < х£ - .)•
2 2 7
12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вычисление значений функции. Пусть дан степенной рад функции
у = Дх). Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании
суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным
числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую
можно устанавливать путем оценивания остатка числового рада либо остаточного
члена R Jx ) формулы Тейлора или Маклорена.
Пример 1. Вычислить In 2 с точностью 5 = 0,0001.
►Известно, что степенной ряд
1п(1+х) = JC-|- + | - . . . + (-l)"_,^ + ... (1)
при х= 1 сходится условно (см. § 12.1, пример 8). Для того чтобы вычислить
In 2 с помощью ряда ( 1) с точностью 8 = 0,0001, необходимо взять не менее
10 000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом, который получается в результате
вычитания степенных радов функций 1п(1 + х) и ln( 1 - х ) :
, , , 3 5 2л- 1
ln i- i* - 2fx + *- + Z- + ... + x
1 -х V 3 5 2л
При |х| < 1 ряд (2) сходится абсолютно, так как его радиус сходимости
R = 1, что легко устанавливается с помощью признака Д’Аламбера.
1 -|г X
Поскольку -—- = 2 при х —1/3, то, подставив это значение х в рад, получим:
1п2 I + —1— + —1— +... +-------- --------- +...
3 З-З3 5 -3 5 (2л-1)32л_1
2 Зак. 2976 33