полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
x -2 z x+3y + z 5x + y В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды О ABC. По формуле Стокса имеем: S = $ОСЛ + S ОАВ + $ 0 ВС ■ С = | | rot а в°d S = f Jro t а •d S, S где dS = dydzi +dxdzj + dxdyk;(rot a •dS) = -7dxdz+ dxdy. Следовательно, С = ff-7dxdz + dxdy - - 7 J jdxdz + J | dxdy = -3 .i s S'oac SOAB 2. Найти величину и направление наибольшего изменения 2 2 2 функции и(м) = 5х yz-lxy г+5хуг в точке Af0(l, 1, 1). ►Находим частные производные функции и(М) в любой точке М(х, у, z) ив точке М0: s ох Зу = lOXyz-7y2z+Syz2. = 10-7 + 5 - 8, Зх = 5х2г- \4xyz+Sxz2, - = 5-14 + 5 = -4, Зу = 5х2у-7ху2+ Юху*. = 5-7+10 = 8. dz dz Тогда в точке Д/0(1, I, 1) имеем: grad и(М0) = 8i-4j + 8k. Наибольшая скорость изменения поля в точке М0 достигается в направлении grad u(M 0) и численно равна Jgrad u(A/0) j:
du(Mn) du(M0) _ _ , m a x - jj- - |grad « М 0)| - = Я 2 + (-4 )2 + 82 = 12 .< 3. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного 2 2 2 2 поля а(М ) = ху z i + х yz j + xyzk в точке М0(2, —1,1). ►Наибольшая плотность циркуляции векторного поля а (М ) в данной точке М0 достигается в направлении ротора и численно равна Irot а(Л/0)| . Находим: rot а (Л/) = i j k д_ д_ d_ dx dy dz 2 2 ху z 2 2 х yz xyz Ш' С 2 ч = (xz - 2х yz) i - (yz - 2 ху z )j, rot а(Л/0) = 10i + 5 j, |rot а(Л/0)| = JlO 2 + 52 = 5^5. i 4. Вьшснить, является ли векторное поле я(М ) = (у + z ) + xyi - xzk соленоидальным. ►Векторное поле а(М ) — соленоидальное, если в каждой * ■ его точке div а(М ) = 0. Находим: л- ! ы \ d P . d Q . d R d , , . ^ а Р =| | | +Г ^ +>) + + ^ (х у ) + ^ (-x z ) = 0 + x - x = 0.< 15.8. ДО П О Л Н И Т ЕЛ ЬН Ы Е ЗАДАЧИ К ГЛ . 15 2 2 2 2 1. Найти площадь части поверхности шара х +у + z = а , 2 2 $ 2 V расположенной вне цилиндров х + у = ±ах. (О твет: Ъа .) 12Зак. 2976 337
- Page 286 and 287: j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdx
- Page 288 and 289: | = J j j l - у2-Z2 dydz, /2 “ J
- Page 290 and 291: I 2 2 2 4. Вычислить ма
- Page 292 and 293: 15.4. П О Т О К В Е К Т О
- Page 294 and 295: П т J J a •п°*/5 = 111div a(A
- Page 296 and 297: проходящим по беск
- Page 298 and 299: Формула Грина (14.14)
- Page 300 and 301: Направление обхода
- Page 302 and 303: 3. Найти циркуляцию
- Page 304 and 305: «2 Л 2 div grad u(M) = —“ +
- Page 306 and 307: O A :y mO, z = 0, dy = 0, dz = О,
- Page 308 and 309: стей v = а х г , где г
- Page 310 and 311: 1.1. и(М) = x y +y2z + z x , Щ1,
- Page 312 and 313: 2.8. f f(3y - x - z )d S , (p): x-y
- Page 314 and 315: 2.30. [\(x + 3y + 2z)dS,(p):2x + y
- Page 316 and 317: 3.14. f f - ~ -2-— , где S —
- Page 318 and 319: 3.26. J J (y-x)dydz + (z-y)dxdz + (
- Page 320 and 321: 4.18. a(Afj = (x + y + z)i + 2^J +
- Page 322 and 323: 2. Вычислить поверх
- Page 324 and 325: Вначале вычислим п
- Page 326 and 327: о ~ \ \ + 4.У + 4) + 12>» + 24 -
- Page 328 and 329: 1.1*. . ( * ) . (2 ,- ,)l +(l+ 2, )
- Page 330 and 331: 2.16. ы(М) = х'уz, Mq(\, 0,4).
- Page 332 and 333: 3.25. a (Jlf) = xzi + (x - y )j + j
- Page 334 and 335: Решение типового в
- Page 338 and 339: 2. Вычислить массу п
- Page 340 and 341: П Р И Л О Ж Е Н И Я 1. К
- Page 342 and 343: 2.15. £(-1)"(i -co.-L). 2.U. £ J=
- Page 344 and 345: СО Я ® . А.Я 4 .3 . ' ^ ( ”
- Page 346 and 347: U X 5.24. £ ( 1 * - ^ ) , - . Л =
- Page 348 and 349: 6.22. У arctg , -во
- Page 350 and 351: 0 1+ х 4/5 З-Зу/2 1.25. Jd x j
- Page 352 and 353: 2.26. J J J i * 2 + 2)dxdydz, И у
- Page 354 and 355: С 2 2 2 4.3. I (х -2 xy)dx+ (y -
- Page 356 and 357: 4.27. J j 2 у dx + ye* +2dy, —
- Page 358 and 359: 6.3. а - (e *- x )l + (xz+3y)j + (
- Page 360 and 361: 1.16. у = la x , у = In - , х =
- Page 362 and 363: 3.4. Z =* ,/зб-х2-у2, * = J(x 2
- Page 364 and 365: 1 7 4.20. D: x +y - 1, у £ 0, ji
- Page 366 and 367: РЕКО М ЕНД У ЕМ А Я Л
x -2 z x+3y + z 5x + y<br />
В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую<br />
поверхность пирамиды О ABC.<br />
По формуле Стокса имеем:<br />
S = $ОСЛ + S ОАВ + $ 0 ВС ■<br />
С = | | rot а в°d S = f Jro t а •d S,<br />
S<br />
где dS = dydzi +dxdzj + dxdyk;(rot a •dS) = -7dxdz+ dxdy.<br />
Следовательно,<br />
С = ff-7dxdz + dxdy - - 7 J jdxdz + J | dxdy = -3 .i<br />
s S'oac SOAB<br />
2. Найти величину и направление наибольшего изменения<br />
2 2 2<br />
функции и(м) = 5х yz-lxy г+5хуг в точке Af0(l, 1, 1).<br />
►Находим частные производные функции и(М) в любой<br />
точке М(х, у, z) ив точке М0:<br />
s<br />
ох<br />
Зу<br />
= lOXyz-7y2z+Syz2. = 10-7 + 5 - 8,<br />
Зх<br />
= 5х2г- \4xyz+Sxz2, - = 5-14 + 5 = -4,<br />
Зу<br />
= 5х2у-7ху2+ Юху*. = 5-7+10 = 8.<br />
dz<br />
dz<br />
Тогда в точке Д/0(1, I, 1) имеем: grad и(М0) = 8i-4j + 8k.<br />
Наибольшая скорость изменения поля в точке М0 достигается<br />
в направлении grad u(M 0) и численно равна Jgrad u(A/0) j:
Change language