полнотекстовый ресурс

Так как в потенциальном поле криволинейный интеграл второго рода не
зависит от пути интегрирования, соединяющего точки Ли В, то согласно формуле
(15.30) имеем:
(yz-xy)dx + (xz-x2/2 + yz')dy + (xy+y2z)dz = u(B)-u(A) = 9.4
АВ
I 2 2 2
Пример 3. Доказать, что функция и = 1/г, где г = *Jx + у + z , является
гармонической и векторное поле ш(М) = grad и(М ) — гармоническое.
►Прежде всего следует проверить, справедливо ли для данной функции
2
уравнение Лапласа (15.31). Вычисляем д и/дх , о и/ду , б u/dz и Ап :
ди _ _х_ & и _ _ _1_+ Ъх". ди ш _jk ^ и я _ J_ + Ъу1 .
ах 3 * 2 3 5 9 ду 3 * 2 3 5 ’
г дх г г 7 г ду г г
ди ж _z_ и в 1 ,3 ?2 .
а ? з* 2 ’ 3 5 *
* г oz г г
г г г г
Следовательно, уравнение Лапласа Ли * 0 удовлетворяется и данная
функция и = 1/ г —гармоническая.
Далее находим:
•(А/) = grad u(Af) - -г (x i+ jj + tk ).
К ак известно, rot a(A f) = rot grad u(M) « 0 для любой функции к, т.е.
одно из условий в определении гармонического поля a(A f) выполнено. Другое
условие (div ш(М) = 0) также выполняется, поскольку
div а ■» div grad и(М) = Аи(М) - 0 .<
АЗ-15.6
1. Доказать с помощью формулы Стокса, что
iyzdz + xzdy + xydz = 0,
Г
где Г —любой замкнутый контур. Результат проверить путем
вычисления интеграла по контуру треугольника ЛВС с вершинами
Ж 0, 0,0 ), В (\ ,1,0), С( 1, 1,1).
2. Найти grad div а(Л /),если а(А/) в х i + y j + z k
3. Среда вращается как твердое тело вокруг оси Oz с угло-
вой скоростью ш ■ сок. Найти ротор поля линейных скоро-
306