полнотекстовый ресурс

где Af0(* 0>Уо>*о) “ некоторая фиксированная точка области К; М(х, у, z) —
любая точка области V\ С —произвольная постоянная.
Из формулы (1S.29) следует формула для вычисления криволинейного
интеграла второго рода, не зависящего от пути интегрирования:
J Pdx+ Qdy+ Rdz = и(В) - и (А ), (15.30)
А»
где и(А) и « (£ ) —значения потенциала и в начальной Л и конечной 2?точках
пути.
Гармоническое векторное поле. Векторное поле а (Л/) , удовлетворяющее
двум условиям: div a(A f) - 0 и rot а (А/) - 0 , называется гармоническим.
Потенциал и гармонического поля является решением уравнения Лапласа
Л Л Л
ш = Ё_“ + £ “ + о
л 2 а 2 а 2
дх ду dz
(15.31)
Функция II ■ ы(х, у , z) | удовлетворяющая уравнению Лапласа (15.31),
называется гармонической.
Пример 1. Показать, что поле i(A / ) х (2ху + t ) i + (х - 2 y)j + хк является
потенциальным, но не соленоидальным. Найти потенциал «данного поля.
►Имеем: Р
rot a(A f)
2
2ху + г , Q = x -2 y, R x . Тогда
i J k
L JL d_
дх dy dz
(0 - 0)1 + ( I -1 )j + (2x~2x)k - 0,
2ху + г x -2 у x
т.е. поле а (A/) —потенциальное.
Далее имеем:
div в - | £ + | 2 + | ? - 2у -2 + 0* 0,
дх ду dz
поэтому поле а (А/) не является соленоидальным.
Согласно формуле (15.29)
и(х, у, г) * J (2ху+г)Л+(х -2y)dy+xdz+С.
МоМ
Так как функции Р(х, у , г ) , Q(xt у , г ) , А (х, у, г) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные во всех точках пространства R 3, то в качестве
точки ASq(Xq, Zq) можно взять начало координат 0(0,0, 0), а в качестве
Af(x, у , г) —произвольную точку пространства. Как отмечалось ранее,
криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования,
поэтому его можно вычислить по ломаной О АВМ (рис. 15.12):
и(Х, Y, Z ) - Jt- C - J+ J+ 1 + C -
ои ОА АВ ВЫ
304