полнотекстовый ресурс

«2 Л 2
div grad u(M) = —“ + —
dx dy dz
= Au(M),
d2 j a2 2
где A “ — н— - + — • V •V = V называется оператором Лапласа;
d i? dy dz
rot grad u (M ) ~ (V •V)i Вектор b(AS) называется вектором-потенциалом
данного поля a(A S).
Потенциальное векторное пале. Векторное поле а (Л/) ■ (Р , Q, R ) называется
потенциальным или безвихревым в односвязной области пространства V,
если в каждой точке этой области
rot а (А/) ■ 0 .
Согласно определению ротора необходимыми и достаточными условиями
потенциальности поля а (А/) ■ (Р , Q, R ) являются равенства:
BR т 8Q д£ ш OR dQ т дР (15.28)
ду dz dz dx* дх д у '
Так как rot grad и(М) = 0 , то поле градиента любого скалярного поля
и = и(х, у, z) — потенциальное. Для того чтобы поле а (А/) было потении*
альным в области К, необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды
непрерывно дифференцируемая скалярная функция и = и(х, у, z ), такая,
что а ■ grad и (А/) , которая называется потенциальной функцией (потенциалом)
поля а (А /).
Так как при выполнении условий (15.28) криволинейный интеграл второго
рода не зависит от линии, соединяющей точки M q и А/|, то для потенциального
поля а( А/) = /Ч + Qj +Rk справедлива формула для нахождения потенциальной
функции:
н(х, у, z) = J А4с+ (?