полнотекстовый ресурс

то
/ Л+1)(*О + 0(*-*о)>,-- -чИ + 1
lim ---------7Т-ГТП----- (п+1)! — ( * - * 0> = °> (12.14)
/ '( * о) / п\ х 0) п Щ I
Дх) = Лх0) + —J7 - (х-х„) + ... + — — (зс-х0) (12.15)
В частности, при Xq = О
Ц - +^ * “*•• | J6>
Ряд (12.15) называется рядом Тейлора, а ряд (12.16) —рядом Маклорена.
Условие (12.14) является необходимым и достаточным для того, чтобы
ряд, построенный по схеме (12.15) или (12.16), сходился к функции/(х) в некоторой
окрестности точки х = xQ. В каждом конкретном случае необходимо
находить область сходимости ряда к данной функции.
Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию Дх) = chx и найти область,
в которой ряд сходится к данной функции.
►Находим производные функции /(х) = chx / '(*) = sh х , / "(х) = ch х ,
/ '"(х ) = shx, ... . Таким образом, / п\х) = chx, если п — четное, и
/ п\х) = s h x , если п — нечетное. Полагая хь = 0, получаем: ДО) = 1,
/ '( 0) = 0 , / м(°) = 1 I = 0,..., / (л)(0) = 1 при п четном и
/ (0) = 0 при п нечетном. Подставим найденные производные в ряд
(12.16). Имеем:
ch* “ ,+ s +* +---+f i + "- (1)
Воспользовавшись условием (12.14), определим интервал, в котором ряд
( 1) сходится к данной функции.
Если п —нечетное, то
если же п —четное, то
Щ |I (fri)ich0*-
Ш
1 ^TT)!shex*
Так как 0 < 0 < 1, то |ch 0х| = (еб* + е ^*)/2 < е и |sh 0х| < е . Значит,
29