полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
Формула Грина (14.14) является частным случаем формулы Стокса, когда кривая Г и поверхность S лежат в плоскости Оху. Отметим, что формула Стокса (1S.24) справедлива для любой поверхности S, если ее можно разбить на части, уравнения которых имеют вид z —/(х, у). Пример I. Вычислить I = j>(z2 - x)dx + (х2 - y2)dy + (у2 - z)dz Г 2 2 2 2 2 2 - по контуру х +у + z = 8 , х + у в z ,Z>0, «пробегаемому» по ходу часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося в начале координат О. ►Контур интегрирования Г — лежащая в плоскости z = 2 окружность 2 , 2 . „ . . 2^ 2^ 2 0 ш х+у ■ 4 , полученная в результате пересечения сферы х + у + z “ 8 с 2 2 2 _ конусом х + у ■' Z (рис. 15.10). В качестве поверхности S возьмем круге 2 , 2 ^ л - „ в 2 2 Л 2 2 в 2 краем Г: х +у £ 4 , z = 2 . Далее, Р = z -х , Q т х -у , R ш у -z , а л _ а о = 2 dP_d_R т 2 _ 2х . ду dz 9 dz Эх 9 dx dy Тогда в соответствии с формулой Стокса и условием задачи возьмем п = (0, 0, 1) (этим обеспечивается положительное направление движения по Г (рис. 1S.10)). Имеем: D х = рсовф, dxdy ■ pdpdy, у = psintp, 0£ф £2л, 0^р
Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(А/) * xi - 2г\ + ук 2 2 вдоль линии Г пересечения цилиндра х /16 +у /9=1 с плоскостью Z ш х + 2у+2 в положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости п = (—1, —2, 1). ► 2 2 Параметрические уравнения цилиндра х /16 + у /9 ш 1 имеют ви х = 4cos/, у = 3sin/. Тогда параметрическими уравнениями кривой Г (эллипса в плоскости сечения) будут х = 4 cos/, у = 3 sin/, г = 4 cos/ + 6 sin /+2. Поэтому циркуляция векторного поля вдоль эллипса в положительном направлении обхода вычисляется по формуле 2к С = ^xdx-2z dy+ydz = J (4cos/(—4sin/)- - 2 (4 cos/ + 6sin/ + 2) 3cos/+ 3 sin/(-4sin/ +6cos/))dt 2 n = J (-16 cos /sin / - 96 cos /- 216 sin /cosf-24cos/- 2 2 . 2 -288cos /sin/-96cos /—144cos/sm/- 12sin t+ 2л . 2 + 18cos/sin/)J/ = - f (96cos f + 12sin t)dt = 0 2я 2л = - J 48(1 + cos2t)dt- 6 J (1- cos2/) - —48 •2n -6 •2я - -108я .< О О Ротором или вихрем векторного поля ш (М ) ■ (Р , Q, Я ) называется вектор Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса (15.24) можно записать в векторной форме: —♦ С * £а •x^dl ш JJrot а •в**dS, (15.27) Г т.е. циркуляция векторного поля а (Л/) вдоль замкнутого контура Г равна потоку ротора этого паля через любую гладкую поверхность S, краем которой является Г. S 298
- Page 248 and 249: 2.3. Г — , где L n п —от
- Page 250 and 251: f 1 2 2 2 2 2.19. фл/х + y dl,
- Page 252 and 253: 3.5. J (2z-*JxZ + y2)dl , где L
- Page 254 and 255: 3.19. j yzdl, где L oabc - ко
- Page 256 and 257: 4.4. \yzdx + z Jf i? - у2dy + xydz
- Page 258 and 259: Г 2 2 4.18. J 4xsin ydx+ycos 2xdy,
- Page 260 and 261: Следовательно, 2 я С
- Page 262 and 263: ( О твет: ln( 1+ х2у2) - З
- Page 264 and 265: 1.23. Х'П*^ - У dx + У^пх + -
- Page 266 and 267: 2.11. Вычислить коорд
- Page 268 and 269: 2.28. Вычислить работ
- Page 270 and 271: 1. Найти длину дуги
- Page 272 and 273: 15. Э Л Е М Е Н Т Ы Т ЕО
- Page 274 and 275: Пример 1. Найти прои
- Page 276 and 277: 2) если единичный ве
- Page 278 and 279: 6. Доказать, что век
- Page 280 and 281: Для всякой функции
- Page 282 and 283: 2 2 4. Найти производ
- Page 284 and 285: Пример 1. Вычислить
- Page 286 and 287: j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdx
- Page 288 and 289: | = J j j l - у2-Z2 dydz, /2 “ J
- Page 290 and 291: I 2 2 2 4. Вычислить ма
- Page 292 and 293: 15.4. П О Т О К В Е К Т О
- Page 294 and 295: П т J J a •п°*/5 = 111div a(A
- Page 296 and 297: проходящим по беск
- Page 300 and 301: Направление обхода
- Page 302 and 303: 3. Найти циркуляцию
- Page 304 and 305: «2 Л 2 div grad u(M) = —“ +
- Page 306 and 307: O A :y mO, z = 0, dy = 0, dz = О,
- Page 308 and 309: стей v = а х г , где г
- Page 310 and 311: 1.1. и(М) = x y +y2z + z x , Щ1,
- Page 312 and 313: 2.8. f f(3y - x - z )d S , (p): x-y
- Page 314 and 315: 2.30. [\(x + 3y + 2z)dS,(p):2x + y
- Page 316 and 317: 3.14. f f - ~ -2-— , где S —
- Page 318 and 319: 3.26. J J (y-x)dydz + (z-y)dxdz + (
- Page 320 and 321: 4.18. a(Afj = (x + y + z)i + 2^J +
- Page 322 and 323: 2. Вычислить поверх
- Page 324 and 325: Вначале вычислим п
- Page 326 and 327: о ~ \ \ + 4.У + 4) + 12>» + 24 -
- Page 328 and 329: 1.1*. . ( * ) . (2 ,- ,)l +(l+ 2, )
- Page 330 and 331: 2.16. ы(М) = х'уz, Mq(\, 0,4).
- Page 332 and 333: 3.25. a (Jlf) = xzi + (x - y )j + j
- Page 334 and 335: Решение типового в
- Page 336 and 337: x -2 z x+3y + z 5x + y В каче
- Page 338 and 339: 2. Вычислить массу п
- Page 340 and 341: П Р И Л О Ж Е Н И Я 1. К
- Page 342 and 343: 2.15. £(-1)"(i -co.-L). 2.U. £ J=
- Page 344 and 345: СО Я ® . А.Я 4 .3 . ' ^ ( ”
- Page 346 and 347: U X 5.24. £ ( 1 * - ^ ) , - . Л =
Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(А/) * xi - 2г\ + ук<br />
2 2<br />
вдоль линии Г пересечения цилиндра х /16 +у /9=1 с плоскостью<br />
Z ш х + 2у+2 в положительном направлении обхода относительно нормального<br />
вектора плоскости п = (—1, —2, 1).<br />
►<br />
2 2<br />
Параметрические уравнения цилиндра х /16 + у /9 ш 1 имеют ви<br />
х = 4cos/, у = 3sin/. Тогда параметрическими уравнениями кривой Г (эллипса<br />
в плоскости сечения) будут х = 4 cos/, у = 3 sin/, г = 4 cos/ + 6 sin /+2.<br />
Поэтому циркуляция векторного поля вдоль эллипса в положительном направлении<br />
обхода вычисляется по формуле<br />
2к<br />
С = ^xdx-2z dy+ydz = J (4cos/(—4sin/)-<br />
- 2 (4 cos/ + 6sin/ + 2) 3cos/+ 3 sin/(-4sin/ +6cos/))dt<br />
2 n<br />
= J (-16 cos /sin / - 96 cos /- 216 sin /cosf-24cos/-<br />
2 2 . 2<br />
-288cos /sin/-96cos /—144cos/sm/- 12sin t+<br />
2л<br />
. 2<br />
+ 18cos/sin/)J/ = - f (96cos f + 12sin t)dt =<br />
0<br />
2я<br />
2л<br />
= - J 48(1 + cos2t)dt- 6 J (1- cos2/) - —48 •2n -6 •2я - -108я .<<br />
О<br />
О<br />
Ротором или вихрем векторного поля ш (М ) ■ (Р , Q, Я ) называется вектор<br />
<br />
Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса (15.24) можно<br />
записать в векторной форме:<br />
—♦<br />
С * £а •x^dl ш JJrot а •в**dS, (15.27)<br />
Г<br />
т.е. циркуляция векторного поля а (Л/) вдоль замкнутого контура Г равна потоку<br />
ротора этого паля через любую гладкую поверхность S, краем которой является Г.<br />
S<br />
298