полнотекстовый ресурс

Формула Грина (14.14) является частным случаем формулы Стокса, когда
кривая Г и поверхность S лежат в плоскости Оху.
Отметим, что формула Стокса (1S.24) справедлива для любой поверхности
S, если ее можно разбить на части, уравнения которых имеют вид z —/(х, у).
Пример I. Вычислить
I = j>(z2 - x)dx + (х2 - y2)dy + (у2 - z)dz
Г
2 2 2 2 2 2 -
по контуру х +у + z = 8 , х + у в z ,Z>0, «пробегаемому» по ходу часовой
стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося в начале координат О.
►Контур интегрирования Г — лежащая в плоскости z = 2 окружность
2 , 2 . „ . . 2^ 2^ 2 0 ш
х+у ■ 4 , полученная в результате пересечения сферы х + у + z “ 8 с
2 2 2 _
конусом х + у ■' Z (рис. 15.10). В качестве поверхности S возьмем круге
2 , 2 ^ л - „ в 2 2 Л 2 2 в 2
краем Г: х +у £ 4 , z = 2 . Далее, Р = z -х , Q т х -у , R ш у -z ,
а л _ а о = 2 dP_d_R т 2 _ 2х .
ду dz 9 dz Эх 9 dx dy
Тогда в соответствии с формулой Стокса и условием задачи возьмем
п = (0, 0, 1) (этим обеспечивается положительное направление движения
по Г (рис. 1S.10)). Имеем:
D
х = рсовф,
dxdy ■ pdpdy,
у = psintp, 0£ф £2л, 0^р