полнотекстовый ресурс

15.4. П О Т О К В Е К Т О Р Н О Г О П О Л Я Ч Е Р Е З П О В Е Р Х Н О С Т Ь .
Д И В Е Р Г Е Н Ц И Я В Е К Т О Р Н О Г О П О Л Я
Потоком векторного поля а(Л/), М(х, у, z) е S, через поверхность S в сторону
единичного вектора нормали n ° - (cosa, cosp, cosy) поверхности S называется
поверхностный интеграл второго рода (15.14).
Если вектор а = (Р , Q, R) определяет векторное поле скоростей текущей
несжимаемой жидкости, то интеграл (15.14) равен объему П жидкости,
протекающей через поверхность S b направлении нормали п ° за единицу времени
(в этом заключается физический смысл интеграла (15.14)), т.е.
S
(15.20)
Из формулы (15.20) ясно, что Я - скаляр, и если угол у = (а , п ) < п/2 ,
то П> О, если у > п/2 , то П< 0 , если у - п/2 , то П ш 0 .
При изменении ориентации поверхности знак Я меняется на противоположный
(вследствие свойств поверхностных интегралов второго рода).
Пусть S — замкнутая кусочно-гладкая поверхность, единичный вектор
внешней нормали к которой п°. Тогда поток Я вектора а = (Р , Q, К ) через
поверхность S можно вычислить с помощью формулы Остроградского—Гаусса
(15.18):
S
V
Пусть а(АО —поле скоростей несжимаемой жидкости. Если П> 0 , то из
формулы (15.21) следует, что из области Vвытекает больше жидкости, чем втекает.
Это означает, что внутри области ^имеются источники, т.е. точки, из которых
жидкость вытекает. Если П< 0 , то из области V вытекает меньше жидкости,
чем втекает. В этом случае говорят, что внутри области Уимеются стоки,
т.е. точки, в которые жидкость втекает. При Я ® 0 в область V втекает
столько же жидкости, сколько вытекает.
Пусть в области Кзадано векторное поле а (АО = (Р, Q, Л ), где функции
Р(х, у%z) ,
Q(x, у, z ), Л(х, у , z) имеют частные производные в точке
М(х, y t z) € V по х, у, z соответственно. Тогда дивергенцией или расходимостью
векторного поля i(A /) в точке М, обозначаемой div а (А /), называется величина,
равная сумме указанных частных производных, вычисленных в точке
Л/, т.е. по определению
С физической точки зрения div а (А/) характеризует плотность источников
или стоков векторного поля а (А/) в точке М. Если div а( М) > 0 , то точка
А/ является источником, если div а (АО