полнотекстовый ресурс

j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdxdz + Rdxdy. (15.15)
S
S
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла
(15.14) к вычислению двойного интеграла:
5 Dt
а(х, у, г) •П(х, у, Z)dxdy, (15.16)
где область D
является проекцией поверхности S на плоскость Оху,
п ■=±grad (г- / 3(х, у) ) ; поверхность 5 задается функцией z = /$(х,у).
В двойном интеграле переменную z следует заменить на /3(х, у ) . Приведем
еще две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного
интеграла второго рода:
я - 0" - и а(х, у, z) •п(х, у, z)dydz,
s щ
J J a п0^ - J Ja(x , у, z) •п(х, у, z)dzdx,
s Щ
(15.17)
где области D и D — проекции поверхности Л* на плоскости ф у и Qxz
* /
соответственно; поверхность S задается функциями х = / |(у , z) и у = /2(х, z) •
В двойном интеграле по области D следует в подынтегральном выражении заменить
х функцией/|(у, z) и принять n = ±grad (x - / j(y , z )), авдвойном интеграле
по D - заменить у функцией /2(х, z) и взять о - ±grad Су-/2(х , z)) •
Отметим, что в выражениях для о знак «+» или «—* ставится в зависимости от выбранной
ориентации (стороны) поверхности S.
Интегралы в правых частях формул (15.14) и (15.15) рассматривают как
сумму трех интегралов, для вычисления каждого из которых можно применить
одну из формул (15.16) или (15.17).
Пример 2. Вычислить
/ ■ ^zdydz-4ydzdx+ 8х dxdy,
S
где S —часть поверхности z т х +у + 1 , отсеченная плоскостью z = 2 , если
нормаль п к поверхности 5* составляет с осью Oz тупой угол у .
►С помощью градиента находим вектор нормали к выбранной стороне
данной поверхности: п = ( 2х, 2у, - 1) , так как cosy < 0.
По условию а ■ (z, -4у, 8х2) , поэтому, согласно формулам (15.15),
(15.16), имеем (рис. 15.6):