полнотекстовый ресурс

Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали о при
возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору —в.
Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса
(рис. 15.5).
Поверхность S с выбранной стороной называется ориентированной.
Если поверхность S задана уравнением z = Д х, у) , то нормальный вектор
п, образующий с осью Oz острый угол у , определяется следующим образом:
п = (- / ’х , - / ', 1) , а координаты единичного вектора нормали п ° равны
его направляющим косинусам, т.е.
О ( f'x f y 1 ^
и I г TST1■■Р ] w I |Щ ' °°sp’ со,т)'
м - J r + / !+ / * .
Если поверхность S задана уравнением F(x, у , z) ш 0, / * * 0 , то
п ° - ±grad/r/|grad/r |,
где знак «+* берется в случае, когда угол у —острый, а знак «-* —в случае,
когда у —тупой.
Пусть в области V е R 3 определена векторная функция а = Р\ +Qj + Rk ,
где Р * Р(х, у, z ). Q = 0 (х, у, z), R = R(x, у, г) - функции, непрерывные
в области V Далее, пусть S —некоторая гладкая поверхность, лежащая в области
V\ с выбранной положительной стороной, т.е. выбранным направлением
вектора п°. Разобьем поверхность S принадлежащими ей кусочно-гладкими
линиями на элементарные площ адкиплощ ади которых ЛS. (/ = 1, п ),
и выберем в каждой из них произвольную точку Л/Дх^, у,, zt) . Тогда существует
предел
я
lim
0Д
V а(х., у/9z,) •n (х ,, у{%z{)b S v
I * * i i i
(15.13.)
/ « l
который называется поверхностным интегралом второго рода от функции а по
поверхности S и обозначается J J a •пР d S . Таким образом, по определению
|
J J a •nQdS = JJ(Pc o s a + Qcosp + Rco&y)dS. (15.14)
S
S
Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами линейности
и аддитивности. При изменении стороны поверхности на противоположную,
т.е. при замене п ° на —п ° , интеграл (15.14) изменяет знак.
Так как cosadS = dydz, со>р