полнотекстовый ресурс

2. Записать единичный вектор п°, ортогональный к
_ 2 2 , 2 .
поверхностям уровня скалярного поля и = х + у + z + 4.
(Omeem:vP = (x / Jx 2 + у 2 + z , y / Jx 2 + у 2 + z , z / Jx 2 + у2 + z ).)
15.3. П О ВЕРХ Н О С Т Н Ы Е И Н Т ЕГРА Л Ы
Пусть/(х, у, г) —непрерывная функция в точках некоторой гладкой поверхности
5 е R 3 . С помощью кусочно-гладких линий разобьем поверхность .Уна п
элементарных площадок Sh площади которых обозначим через АS , (/ = 1, л ), а
диаметры — через 0 5 ,. На каждой площадке 5) выберем произвольную точку
Л/Хх*, уь zj), вычислим /(д* yhzdn составим интегральную сумму:
п
7/ ,=
/-1
Тогда существует предел этой интегральной суммы при 05^-» 0 , который
называется поверхностным интегралом первого рода от функции /(х, у, z) по
поверхности S и обозначается
п
JJ Л *» У* z)dS = lim гД А ^ . (15.11)
5
Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами линейности,
аддитивности, для них справедлива теорема о среднем, их величина не зависит
от выбора стороны поверхности.
Очевидно, что интеграл J J равен площади поверхности, а
5
J J 6(X, y .z )d S , где б(х, у, z) —поверхностная плотность поверхности 5, —
S
массе поверхности S.
Если проекция D поверхности S на плоскость Оху однозначна, т.е. всякая
прямая, параллельная оси Oz, пересекает поверхность S лишь в одной точке,
то поверхность можно задать уравнением z я F(x, у) и справедливо равенство,
с помощью которого вычисление поверхностного интеграла первого рода
сводится к вычислению двойного интеграла:
\\Лх. у, z)dS - JJ f (x , у. F[x. у )) Jl+QF',)2
S
D
dxm(15.12)
282