полнотекстовый ресурс

ента векторные линии поля grad и(М) (или grad z(A/)) —это кривые, вдоль которых
функция и = /(х, у, г) (или z = /(х, у )) максимально возрастает (убывает).
Эти линии всегда ортогональны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного
поля и(М) (или ziM)).
Дифференциальные уравнения для определения векторных линий
grad и(М) имеют вид
и'х “ у “ <
(15.10)
2 2 2
Пример 2. Найти векторные линии поля grad и, если и = (х + у + z )/2 .
►Согласно определению (15.8) grad и = л + >j + zk, а из формул (15.10)
следует, что векторные линии этого поля удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений
dx _ dy _ dz
х у z '
Находим решения этой системы:
— = * ,1 п Ы = 1п|л| + 1пС, , у = С .х,
X у 1 1
£ - Щ 1 InW + ta C , , г I С ,х .
z х
Полученные решения >» = С ,х , z ш С2х можно представить в виде
г = ^ = » т-е*векторные линии заданного поля grad и(Л0 представляют
1 С 1 2
собой совокупность прямых, проходящих через начало координат и ортого­
2 2 2
нальных множеству поверхностей уровня х + у + z * 2 С (сферы) данной
функции. 4
АЗ-15.2
1. Записать уравнения и построить поверхности уровня
скалярных полей, определяемых следующими функциями:
а) и = arc cos---1— ; 6) и = 1п(х2 + у 2 + z ) \
в) и - г / (л '+ л .
2. Построить линии уровня плоского скалярного поля
Z = х у.
3. Найти градиент скалярного поля и = с •г , где с —постоянный
вектор; г — радиус-вектор точки Щ х %у , z). Записать
уравнение поверхностей уровня этого поля и выяснить
их расположение относительно вектора с.
280