полнотекстовый ресурс

Для всякой функции и = /(х, у, z), дифференцируемой в точке Mq(xq,
У0>Zo). число du(MQ)/ds определяет скорость изменения скалярного поля в
направлении s ° = (cosa, coep, cosy) (см. формулу (15.6)).
Если в каждой точке Mix, у, z) пространства R3 (или его части V) определен
вектор а = ( ? , Q, К ) , где Р = Р{х, у, г), Q = 0(х, у, z), Л - Л(х, у, г) - скалярные
функции, то говорят, что в этом пространстве (или в V) задано векторное
поле а = а(М ). Если функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны,
то поле вектора а называется непрерывным.
Примерами векторных полей являются поле скоростей текущей жидкости,
"р.
поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг
данной оси, поле электрической или магнитной напряженности и др.
Линия, в каждой точке М которой вектор а(М) векторного поля а = а( М)
направлен по касательной к линии, называется векторной (силовой) линией
этого поля.
Примерами векторных линий могут служить линии тока жидкости, силовые
линии магнитного поля, траектории точек вращающегося тела.
Область пространства, целиком состоящая из векторных линий, называется
векторной трубкой. В каждой точке М поверхности векторной трубки
вектор а лежит в плоскости, касательной к этой трубке в точке М.
Векторное (или скалярное) поле, координаты которого не зависят от времени,
называется установившимся или стационарным.
Если г(0 —радиус-вектор векторной линии векторного поля а = а(М ) ,
то уравнения векторных линий определяются из системы дифференциальных
уравнений
4* - & miS. " (15.9)
P Q R
Пример 1. Найти векторную линию векторного поля e(Af) = -у\ +xj +bk ,
проходящую через точку A/q(1, 0, 0).
► На основании формулы (15.9) получаем систему дифференциальны
уравнений
dx т d£ т dz
-у х Ь
Решаем ее:
^ - & txdx + yd y- 0 ,х 2+у2 • С ?,
-у х 1
или в параметрическом виде х = Cj cos/, у = Cj sin/;
Am At At CtCOStdt
l ’ l m , dz шbdt.t - bl+c2.
x b b Cj cos/ *
Так как векторная линия должна проходить через точку A/q(1, 0,0), то легко
находим, что постоянные интегрирования С| = 1, C j —0. Уравнения векторной
линии векторного поля а = а(А/) имеют следующий вид: х = cos/,
у ш sin/, zmbt(винтовая линия).4
Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля и(М) =/(х, у, z)
(или z(M) = f(x , у)), называется полем градиента. Согласно свойству 3 гради­
279