полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
2) если единичный вектор s перпендикулярен к grad и (или grad г), то ди/дз ш 0 (или dz/ds = 0) (см. рис. 15.2); 3) вектор grad и (М ) (или grad z(M ) ) имеет направление нормали в точке М поверхности (или линии) уровня функции и (или z) (рис. 15.3, д, б). Перечислим свойства градиента любой дифференцируемой функции: 1) grad(iij + и2) = grad и, + grad и2 ; 2) grad Си = Cgrad и , С e const; 3) grad(MjW2) = U2 grad u{ + и, grad «2 • Пример 3. Найти производную функции и = / 2 Х 2 ^ 2 7х +у + Z 3,6) по направлению к точке M i(- 1,1,4). ►Частные производные функции и в точке М\ ди(М у) X 2 т 7 ж 2 , 2 +Z 2 V лг, ди(М } ) ду У « з 7 * 1х2 + У2 + г Л/, ди(М { ) _ Z ш 6 dz 1 2 2 2 7 ’ /X +>» +Z А/, Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором М j Л/2 ■ Тогда по формуле (15.6) получаем: 0 МХМ2 (\ Г1 Л 2 2> V3’ 3’ ЗА А#! Л/2| * n (Jf| ) _ 2 I 3 ( 2 ) M6 f 2Л = 20 < ds 7 3 ? Г у 7V У 21' Пример 4. Вычислить производную функции г = arctg(xy) в точке О Д 1, 1), принадлежащей параболе у я х2 , по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы). ►За направление s ° параболы у * х2 в точке Mq{ 1,1) берем направление касательной к параболе в этой точке, задаваемой углом а , который касательная составляет с осью Ох. Тогда имеем: f {x ) =2х, tga =/(1) - 2, 1 1 tga _ 2 275
Находим частные производные функции z в точке М0: Sz(M р) = у дх . 2 2 1+ху = 1 dz(M0) _ V . 2 * - V Подставляя полученные значения в формулу (1S.7), имеем: W p ) = 1 _1 _ + 1 _2 _ я _ 3 _ 4 3s 2 Js 2Js 2 S ' | 1 2' АЗ-15.1 1. Найти значение производной вектор-функции г = = 4(/* + /)i + arctg(j + ln (l + /*)k при / = 1. (О твет: г'(1 ) = = 12i + ±j + k .) 2. Дано векторно-параметрическое уравнение движения точки М: г = г(Г) = (2г + 3 )i- 3 / j + (4 Г - 5 )к . Вычислить скорость Н и ускорение |w| движения точки в момент времени /= 0,5. (О твет: |v| = J l 9 , |w| = 2 j2 9 .) 3. Дано уравнение движения материальной точки: г = = 2cos/i + 2sinij + 3/k. Определить траекторию движения, вычислить скорость |v| и ускорение |w| движения этой точки в любой момент времени/. (О твет:х = 2cos/, у = 2sin/, z = 3/ (винтовая линия); М = У Г з , |w| = 2 .) 4. Записать канонические уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой г = /i + r j + Л в точке /= 3. (О твет: ,x+6y+27z = 786.) 1 6 27 5. Записать канонические уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой, заданной уравнениями Z = х2 + у2,у - х, вточке Л/0(1 ,1,2). (О твет: ш - т = x + y + Az = Ю .) 4 276
- Page 226 and 227: 12. Вычислить массу
- Page 228 and 229: нотонно на отрезке
- Page 230 and 231: „ « J (х2 + у 2 + г2)5Л , /
- Page 232 and 233: Пример 4. Вычислить
- Page 234 and 235: Если гладкая крива
- Page 236 and 237: 3. Вычислить \ J ly d l,
- Page 238 and 239: 14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВ
- Page 240 and 241: 4. Во всех точках об
- Page 242 and 243: где С —произвольна
- Page 244 and 245: x d y - у dx , ~ з 1.2. —7=—,
- Page 246 and 247: 1.17. f (xy- \)dx + x yd y9 где
- Page 248 and 249: 2.3. Г — , где L n п —от
- Page 250 and 251: f 1 2 2 2 2 2.19. фл/х + y dl,
- Page 252 and 253: 3.5. J (2z-*JxZ + y2)dl , где L
- Page 254 and 255: 3.19. j yzdl, где L oabc - ко
- Page 256 and 257: 4.4. \yzdx + z Jf i? - у2dy + xydz
- Page 258 and 259: Г 2 2 4.18. J 4xsin ydx+ycos 2xdy,
- Page 260 and 261: Следовательно, 2 я С
- Page 262 and 263: ( О твет: ln( 1+ х2у2) - З
- Page 264 and 265: 1.23. Х'П*^ - У dx + У^пх + -
- Page 266 and 267: 2.11. Вычислить коорд
- Page 268 and 269: 2.28. Вычислить работ
- Page 270 and 271: 1. Найти длину дуги
- Page 272 and 273: 15. Э Л Е М Е Н Т Ы Т ЕО
- Page 274 and 275: Пример 1. Найти прои
- Page 278 and 279: 6. Доказать, что век
- Page 280 and 281: Для всякой функции
- Page 282 and 283: 2 2 4. Найти производ
- Page 284 and 285: Пример 1. Вычислить
- Page 286 and 287: j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdx
- Page 288 and 289: | = J j j l - у2-Z2 dydz, /2 “ J
- Page 290 and 291: I 2 2 2 4. Вычислить ма
- Page 292 and 293: 15.4. П О Т О К В Е К Т О
- Page 294 and 295: П т J J a •п°*/5 = 111div a(A
- Page 296 and 297: проходящим по беск
- Page 298 and 299: Формула Грина (14.14)
- Page 300 and 301: Направление обхода
- Page 302 and 303: 3. Найти циркуляцию
- Page 304 and 305: «2 Л 2 div grad u(M) = —“ +
- Page 306 and 307: O A :y mO, z = 0, dy = 0, dz = О,
- Page 308 and 309: стей v = а х г , где г
- Page 310 and 311: 1.1. и(М) = x y +y2z + z x , Щ1,
- Page 312 and 313: 2.8. f f(3y - x - z )d S , (p): x-y
- Page 314 and 315: 2.30. [\(x + 3y + 2z)dS,(p):2x + y
- Page 316 and 317: 3.14. f f - ~ -2-— , где S —
- Page 318 and 319: 3.26. J J (y-x)dydz + (z-y)dxdz + (
- Page 320 and 321: 4.18. a(Afj = (x + y + z)i + 2^J +
- Page 322 and 323: 2. Вычислить поверх
- Page 324 and 325: Вначале вычислим п
Находим частные производные функции z в точке М0:<br />
Sz(M р) =<br />
у<br />
дх . 2 2<br />
1+ху<br />
= 1 dz(M0) _<br />
V . 2 * - V<br />
Подставляя полученные значения в формулу (1S.7), имеем:<br />
W p ) = 1 _1 _ + 1 _2 _ я _ 3 _ 4<br />
3s 2 Js 2Js 2 S '<br />
| 1<br />
2'<br />
АЗ-15.1<br />
1. Найти значение производной вектор-функции г =<br />
= 4(/* + /)i + arctg(j + ln (l + /*)k при / = 1. (О твет: г'(1 ) =<br />
= 12i + ±j + k .)<br />
2. Дано векторно-параметрическое уравнение движения<br />
точки М: г = г(Г) = (2г + 3 )i- 3 / j + (4 Г - 5 )к . Вычислить<br />
скорость Н и ускорение |w| движения точки в момент времени<br />
/= 0,5. (О твет: |v| = J l 9 , |w| = 2 j2 9 .)<br />
3. Дано уравнение движения материальной точки: г =<br />
= 2cos/i + 2sinij + 3/k. Определить траекторию движения,<br />
вычислить скорость |v| и ускорение |w| движения этой точки<br />
в любой момент времени/. (О твет:х = 2cos/, у = 2sin/,<br />
z = 3/ (винтовая линия); М = У Г з , |w| = 2 .)<br />
4. Записать канонические уравнения касательной прямой и<br />
нормальной плоскости к кривой г = /i + r j + Л в точке /= 3.<br />
(О твет: ,x+6y+27z = 786.)<br />
1 6 27<br />
5. Записать канонические уравнения касательной прямой<br />
и нормальной плоскости к кривой, заданной уравнениями<br />
Z = х2 + у2,у - х, вточке Л/0(1 ,1,2). (О твет: ш - т<br />
= x + y + Az = Ю .)<br />
4<br />
276
Change language