полнотекстовый ресурс

2) если единичный вектор s перпендикулярен к grad и (или grad г), то
ди/дз ш 0 (или dz/ds = 0) (см. рис. 15.2);
3) вектор grad и (М ) (или grad z(M ) ) имеет направление нормали в точке
М поверхности (или линии) уровня функции и (или z) (рис. 15.3, д, б).
Перечислим свойства градиента любой дифференцируемой функции:
1) grad(iij + и2) = grad и, + grad и2 ;
2) grad Си = Cgrad и , С e const;
3) grad(MjW2) = U2 grad u{ + и, grad «2 •
Пример 3. Найти производную функции и = / 2 Х 2 ^ 2
7х +у + Z
3,6) по направлению к точке M i(- 1,1,4).
►Частные производные функции и в точке М\
ди(М у) X 2
т 7 ж 2 , 2 +Z 2 V
лг,
ди(М } )
ду
У
« з
7 *
1х2 + У2 + г Л/,
ди(М { ) _
Z ш 6
dz 1 2 2 2 7 ’
/X +>» +Z А/,
Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором М j Л/2 ■
Тогда по формуле (15.6) получаем:
0 МХМ2 (\
Г1 Л
2 2>
V3’ 3’ ЗА
А#! Л/2|
* n (Jf| ) _ 2 I 3 ( 2 ) M6 f 2Л = 20 <
ds 7 3 ? Г у 7V У 21'
Пример 4. Вычислить производную функции г = arctg(xy) в точке О Д 1,
1), принадлежащей параболе у я х2 , по направлению этой кривой (в направлении
возрастания абсциссы).
►За направление s ° параболы у * х2 в точке Mq{ 1,1) берем направление
касательной к параболе в этой точке, задаваемой углом а , который касательная
составляет с осью Ох. Тогда имеем:
f {x ) =2х, tga =/(1) - 2,
1 1 tga _ 2
275