полнотекстовый ресурс

Пример 1. Найти производную вектор-функции г(/) = (co s/- 1)1 +
п 4 + tg/k в точке = я / 4 .
►Из формулы (15.3) следует, что
Поэтому r 'f 7 1 = - -^ri+j + 2k. 4
V4/ nA
г '(0 = - sin/i + 2 sin/cos Jj + —-~-k.
cos /
Пример 2. Составить канонические уравнения касательной и уравнение
нормальной плоскости к кривой, заданной параметрическими уравнениями
* - ? + t- \ , у - 2/* + 3/+2, z = Z2 + 1 , в точке Л/о» определяемой значением
параметра и т 1.
►Находим вектор г'(/0) = (х '( 1 )), / ( 1 ) , z '( 1)) ■ (4 ,7 ,2 ). Параметру
го Щ ||Й
гласно формулам (15.4), (15.5) уравнения касательной имеют вид
х- 1 ш ^ 7 ш г-2
4 7 2 ’
а уравнение нормальной плоскости
4(х - 1) + 1{у - 7) + 2(г-2) - 0.4
Переходя к понятию производной функции по направлению, отметим,
что направление в пространстве можно задавать единичным вектором
s° - (сова, cosp, cosy), где а , р , у - углы, образованные вектором s° и
осями Ох, Оу%Oz соответственно.
Если дана функция и - Л *. У» г ) . определенная в некоторой окрестности
точки А/оОчъ Уо» 3))» радиус-вектор которой Го * (хо. Уо* ^о)«то
.. Лг0 +*°0-Л г0)
lim —--------- ,
г-» 0 щ
если он существует, называется производной функции и = / (х, у, г) в точке
О „ _ Эи(М0)
Mq(xq, уд, ?о) по направлению вектора s и обозначается — —— , т.е. по определению
ди(М0) / (ro + s °0 - / (ro)
— ■ - l i m --------------— .
ds t-¥ 0 t
Справедлива следующая формула:
0и(ЛГп) ви(«0) ди(М0) „ . ди(М0)
---- SL - — — ^-cosa + — ----cosp + — ----cosy. (15.6)
ds dx by v dz
В случае функции двух переменных г = А х* У) формула (15.6) упрощается:
273