полнотекстовый ресурс

15. Э Л Е М Е Н Т Ы Т ЕО РИ И ПО ЛЯ
15.1. В Е К Т О Р Н А Я Ф У Н К Ц И Я С КА Л ЯРН О ГО
А РГУ М ЕН Т А . П РО И ЗВО Д Н А Я П О Н А П РА ВЛ ЕН И Ю
И ГРА Д И ЕН Т
Отображение, которое каждому числу t е Т е R ставит в соответствие по
некоторому правилу единственный вектор г, называется векторной функцией
или вектор-функцией скалярного аргумента /. Ее принято обозначать
г п г(/). Множество Т называется областью определения функции г(/). В качестве
Т обычно берут некоторый отрезок [а\ Ь\ или интервал (а; Ь) числовой
оси. Число / называют также параметром.
Как и любой постоянный вектор, вектор-функцию скалярного аргумента
г(/) при любом фиксированном значении / можно однозначно разложить по
базису I, j, к:
г - г(/) - *0)1 + у(0j + *0)к. (15.1)
Очевидно, что координаты х, у, z вектор-функции г = г(/) в этом базисе являются
функциями x(t), y (i)t z(t), область определения которых совпадает с Т.
Поэтому имеют место три скалярных равенства:
* =-*(0. J '= J ’W .z = ?(/)■
(15.2)
Если вектор г откладывать из одной
точки О при различных значениях / е 7\
то его конец М(1) опишет в пространстве,
вообще говоря, линию, которая называется
годографом вектор-функции г = г(/).
Точка О называется полюсом годографа.
Равенство (15.1) называют в этом случае
векторно-параметрическим уравнением годографа,
а равенства (15.2) —его параметрическими
уравнениями {рис. 15.1).
Приведем несколько примеров.
1. Годографом, задаваемым векторнопараметрическим
уравнением вида
г = г(/) = Го + s/, где Го - радиус-вектор
точки Afota* Уо* *o)f s —некоторый заданный
вектор, является прямая в пространстве,
проходящая через точку A/q, с направляющим
вектором s.
2. Годограф, задаваемый параметрическими уравнениями х = о cos/,
у - a sin/, z — bt (/ е (-оо; оо), а, b —постоянные), является винтовой линией,
расположенной на круговом цилиндре радиусом а с осью ОД.
271