полнотекстовый ресурс

2.28. Вычислить работу силы F = y i + (х + y )j при перемещении
материальной точки из начала координат в точку (1,1)
2
по параболе у = х . (О твет: 5/3.)
2.29. Вычислить работу силы F = (x - y )i + 2yj при перемещении
материальной точки из начала координат в точку (1, —3)
2 Л
по параболе у = -Зх . (О твет: 10,5.)
2.30. Вычислить моменты инерции относительно осей координат
однородного отрезка прямой у = 2х, заключенного
между точками (1,2) и (2,4). Линейную плотность отрезка
считать равной 1. (О твет: /г = 28./5/3, I = 1 J s /Ъ.)
X
У
Решение типового варианта
1. Показать, что выражение
( r f V H M r f r i - 10) *
1+х у 1 + х у
является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти
функцию и(х, у).
►Проверим, выполняется ли условие полного дифферент
а ?
циала I — \ду
Р(х, у ) ---- V i - 1 , Q(x, у ) ---- V i " 10*
1+ х у 1+х у
дР ш д ( у Л ш 1 + х У - у -2х2у = 1-х2у2
ду 3yVr ' 2 2 ) 2 2.2 , , 2 2.2’
* ' 1 + х у (1 + х у ) (1 + х у )
й я ж A f * _ io ) = 1+х2у2-у-2ху2 ш l -х2у2
дх Эхч. 2 2 ) 2 2.2 ,, 2 2. 2'
1 + х у (1 +х у ) (1 + х у )
Данное выражение является полным дифференциалом
функции и(х, у). Положив х0 = 0, у0 = 0, по формуле (14.16)
найдем и(х, у):
для функции и(х, у). Имеем:
дх )
267