полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
1.23. Х'П*^ - У dx + У^пх + -dy. (О твет: ylnx+ x\ny+ C.) x У 1.24. ex~y( l +x + y)dx+ ex~y(l- x - y )d y . (О твет: ex~y(x + y )+ C .) 1.25. (3x2 - 2xy + y)dx + (x - x - 3y2 - 4y)d y. (О твет: x - -x 2y - y 3+ xy-2y2 + C.) 1.26. (lx ex ~v - sinx)dx + (sin y - 2yex y )d y . (Ответ: 2 1 ex y + cosx—cosy + C.) 1.27. ( y / J 1- x y ’ + x2)dx + (x / J 1- x y " + y)dy . (Ответ: x /Ъ + arc sin (ху) +y2/2 + C.) 1.28. ^-r^dx+ -— тг-dy. (Ответ: + - + C.) X2y ху2 ХУ x 1.29. P - --- 2— - 2) dx + Г-Ц ---- + 2 y)d y. (Omy ~ l (x - 1 ) 1 (y - 1 ) eem: ¥-■+ —— -2x + y2+ C .) x-1 y-1 1.30. (3x2 -2xy + y2)rfx+ (2xy-x2-3y2)rfy. (Ответ: x - - x2y + xy2 + у3+ C .) 2. Решить следующие задачи (если линейная плотность 5 линии не указана, то принять 5 = 1). 2.1. Вычислить массу дуги цепной линии у = (ех + е )/ 2 , х е [0; 1]. (Ответ: (в2 - 1 )/(2 е).) 263
2.2. Вычислить моменты инерции относительно осей координат отрезка однородной прямой 2 х + у = 1, лежащего между этими осями. (О твет: I = ,/5/6, /„ = JS / 2 4 .) * У 2.3. Найти координаты центра масс четверти однородной окружности х2 + у2 = а2, лежащей в первом квадранте. (О т вет: 2а/п, 2 а/я.) 2.4. Вычислить массу дуги кривой у = 1лх, заключенной между точками с абсциссами х = «Уз и х = У § , если плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы этой точки. (О твет: 19/3.) 2.5. Вычислить момент инерции относительно оси Оу дуги полу- 2 3 ___ ' кубической параболы у = х , заключенной между точками с абсциссамих=Оих= 4/3. (Ответ: 1у = 107 •210/ ( 105 ■Зб) « 1,13.) 2.6. Вычислить момент инерции относительно начала координат контура квадрата со сторонами х - ±а, у = ±а. Плотность квадрата считать постоянной. (О твет: /0 = 32/3 .) 4 6 2.7. Вычислить массу дуги кривой х = 2- i /4, у = t /6, ограниченной точками пересечения ее с осями координат. (О твет: 13/3.) 2.8. Вычислить координаты центра масс однородной полу- 2 2 окружности х + у = 4, симметричной относительно оси Ох. (О твет: (4 / к , 0).) 2.9. Вычислил» координаты центра масс однородной дуги одной арки циклоиды х = t~ s in t,y = 1- cos t . ( Ответ: ( я , 4/3).) 2.10. Вычислить момент инерции относительно начала координат отрезка прямой, заключенного между точками Л(2,0) и В(0, 1), если линейная плотность в каждой его точке равна 1. (О твет: I Q = S jS /Ъ.) 264
- Page 214 and 215: л / 2 ------ f costprfcp f р2ф =
- Page 216 and 217: 1.2 1.Д .у = х2,у = 2,ц = 2-у
- Page 218 and 219: 3.2. V: у ± Ъ'№ +z ‘х2'+ z
- Page 220 and 221: 4.10. V: у = х + z ,У —3 , О
- Page 222 and 223: ►Статический моме
- Page 224 and 225: (Область Vизображен
- Page 226 and 227: 12. Вычислить массу
- Page 228 and 229: нотонно на отрезке
- Page 230 and 231: „ « J (х2 + у 2 + г2)5Л , /
- Page 232 and 233: Пример 4. Вычислить
- Page 234 and 235: Если гладкая крива
- Page 236 and 237: 3. Вычислить \ J ly d l,
- Page 238 and 239: 14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВ
- Page 240 and 241: 4. Во всех точках об
- Page 242 and 243: где С —произвольна
- Page 244 and 245: x d y - у dx , ~ з 1.2. —7=—,
- Page 246 and 247: 1.17. f (xy- \)dx + x yd y9 где
- Page 248 and 249: 2.3. Г — , где L n п —от
- Page 250 and 251: f 1 2 2 2 2 2.19. фл/х + y dl,
- Page 252 and 253: 3.5. J (2z-*JxZ + y2)dl , где L
- Page 254 and 255: 3.19. j yzdl, где L oabc - ко
- Page 256 and 257: 4.4. \yzdx + z Jf i? - у2dy + xydz
- Page 258 and 259: Г 2 2 4.18. J 4xsin ydx+ycos 2xdy,
- Page 260 and 261: Следовательно, 2 я С
- Page 262 and 263: ( О твет: ln( 1+ х2у2) - З
- Page 266 and 267: 2.11. Вычислить коорд
- Page 268 and 269: 2.28. Вычислить работ
- Page 270 and 271: 1. Найти длину дуги
- Page 272 and 273: 15. Э Л Е М Е Н Т Ы Т ЕО
- Page 274 and 275: Пример 1. Найти прои
- Page 276 and 277: 2) если единичный ве
- Page 278 and 279: 6. Доказать, что век
- Page 280 and 281: Для всякой функции
- Page 282 and 283: 2 2 4. Найти производ
- Page 284 and 285: Пример 1. Вычислить
- Page 286 and 287: j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdx
- Page 288 and 289: | = J j j l - у2-Z2 dydz, /2 “ J
- Page 290 and 291: I 2 2 2 4. Вычислить ма
- Page 292 and 293: 15.4. П О Т О К В Е К Т О
- Page 294 and 295: П т J J a •п°*/5 = 111div a(A
- Page 296 and 297: проходящим по беск
- Page 298 and 299: Формула Грина (14.14)
- Page 300 and 301: Направление обхода
- Page 302 and 303: 3. Найти циркуляцию
- Page 304 and 305: «2 Л 2 div grad u(M) = —“ +
- Page 306 and 307: O A :y mO, z = 0, dy = 0, dz = О,
- Page 308 and 309: стей v = а х г , где г
- Page 310 and 311: 1.1. и(М) = x y +y2z + z x , Щ1,
- Page 312 and 313: 2.8. f f(3y - x - z )d S , (p): x-y
1.23. Х'П*^ - У dx + У^пх + -dy. (О твет: ylnx+ x\ny+ C.)<br />
x<br />
У<br />
1.24. ex~y( l +x + y)dx+ ex~y(l- x - y )d y . (О твет:<br />
ex~y(x + y )+ C .)<br />
1.25. (3x2 - 2xy + y)dx + (x - x - 3y2 - 4y)d y. (О твет: x -<br />
-x 2y - y 3+ xy-2y2 + C.)<br />
1.26. (lx ex ~v - sinx)dx + (sin y - 2yex y )d y . (Ответ:<br />
2 1<br />
ex y + cosx—cosy + C.)<br />
1.27. ( y / J 1- x y ’ + x2)dx + (x / J 1- x y " + y)dy . (Ответ:<br />
x /Ъ + arc sin (ху) +y2/2 + C.)<br />
1.28. ^-r^dx+ -— тг-dy. (Ответ: + - + C.)<br />
X2y ху2 ХУ x<br />
1.29. P - --- 2— - 2) dx + Г-Ц ---- + 2 y)d y. (Omy<br />
~ l (x - 1 ) 1 (y - 1 )<br />
eem: ¥-■+ —— -2x + y2+ C .)<br />
x-1 y-1<br />
1.30. (3x2 -2xy + y2)rfx+ (2xy-x2-3y2)rfy. (Ответ: x -<br />
- x2y + xy2 + у3+ C .)<br />
2. Решить следующие задачи (если линейная плотность<br />
5 линии не указана, то принять 5 = 1).<br />
2.1. Вычислить массу дуги цепной линии у = (ех + е )/ 2 ,<br />
х е [0; 1]. (Ответ: (в2 - 1 )/(2 е).)<br />
263
Change language