полнотекстовый ресурс

4. Во всех точках области D справедливо равенство
д £ т дР
(14.15)
дх д у '
Из формулы Грина следует, что площадь S области D можно вычислить
также с помощью криволинейного интеграла второго рода:
SD = -fy -y d x + x d y ,
где интегрирование по контуру L производится в положительном направлении.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой
х3 + х2 - у" = 0 (рис. 14.7).
►Из уравнения кривой получим, что у = ±xjx+ 1 , т.е. кривая симметрична
относительно оси Ох и пересекает ее в точках х = 0 и х = -1; обе
функции у = ± xjx+ 1 определены при х £-1 , а у —» ±оо при х —►оо. Перейдем
к параметрическим уравнениям данной кривой, положив у ш x t . Под-
__ . 3 ^ 2 2 Л 3 . 2 2 2
ставив у т xt в уравнение х + х - у ** 0, получим: х + х = х Г ,
х в г - 1 , у в г где для петли -1 £ 1.
Следовательно, искомая площадь
1
s - 1 1 Ш с - 0 •2Г+ (/* - 1КЗ/2- 1))А -
-1
Пример 5. Вычислить
1
- |(/4 -2/2 + 1)Л= £ .«
О
/= £ K i-*V *+ (i+ yW y,
L
2 2
где контур L —окружность х + у = 4 , «пробегаемая» в положительном направлении
обхода.
239