полнотекстовый ресурс

л+1
S ,(x ) =■— У (_1)" + l cos “ — S2(x ),
2 COSX Z-i n +1 cosx r
Л* 1
00
p* / ч
*y~(x) = smx Т-» > /(—cosx) \я _ = —sinxcosx —---------- ,
z Z-j 1 + cos*
(1*1
s ,(x ) I f 008^ 00-^ - cosx-InO + cos*),
J 1+ cosx
*У(х) = ln(l + cosx)---- — (cosx-ln(l + cosx)) =
- 4 7 cosx. cosx
ln(l + cosx) —1 .
Итак, сумма данного ряда
S(x) = - - сЪ8^1п(1 + cosx) —1, \х\ < +оо.
cosx
Заметим, что функция S (х) найдена при условиях cosx * —1 и cosx ф 0 .
Однако она дает правильный результат и при cosx = —1, cosx = 0 .Действительно,
lim ((1 + cosx)ln(l + cosx)) = 0 ,
cosx-» —I
lim ln(l + cosx) / cosx * 1.
cosx -* 0
Следовательно, lim .У(х) = —1, lim S(x) = 0 , что подтверждав
cosx-> —1 cosx-» 0
стся непосредственным суммированием числовых рядов
.л + 2
_ (-1) у.
®
, ^л+1—0----
лл
2-1 л(л+1) } л(л + 1)
п т 1 л ш 1
получаемых из данного ряда при cosx - —1 и cosx = 0 . Точки
х = (2&+ 1)тг и х = - + тп, к,т е Z , являются устранимыми точками разрыва
функции S (х). 4
Пример 7. Найти область сходимости и сумму ряда
® 2 л + 2-
X
(2л + 2)(2л + 3)
л ==О
► О бластью сходимости данного степенного ряда является отрезок [—1
что следует из признака Д’Аламбера и сходимости ряда при х = ±1. Далее находим,
что
® 2л+ 2 °о 2л+ 2 . ® 2л+ 3
S(x) = £ (2л + 2)(2л+ 3) ~ 2 2л + 2 ” х X 2л + 3 ” SX ^ ~ S2 ^ '
л = 0 л = 0 л = О
Степенные ряды в интервале их сходимости можно почленно дифференцировать
и интегрировать:
23