полнотекстовый ресурс

14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью криволинейных интегралов первого рода можно вычислять
длину дуги кривой, массу материальной дуги, ее центр масс, площади цилиндрических
поверхностей и другие величины.
Пример 1. Вычислить массу т дуги кривой L, заданной уравнениями
X - h i , у - I, г - Шм 0S/S2, если плотность в каждой ее точке
5 « л/1 + 4х2 + У*.
►Согласно формуле (14.6) искомая масса т выражается интегралом
т
2
jVl+4 x + y 2dl = jV lТ ? + 7 7 ? + 1 + 7 л
Щ
2
О
= f (l + ? + tA)dt = 116/15 .4
Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дуги окруж-
2 2 - 2
пости х + у = /Г , расположенной в первом квадранте, и моменты инерции
О* х » у *
►Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окружности, то
Хг = Ус • Для нахождения х с используем первую из формул (14.7):
хс - jxbdl/^bdl = jx d J/ jd l,
L L L L
поскольку 5 = const. Интеграл
j