полнотекстовый ресурс

Решение типового варианта
1. Вычислить массу т неоднородной пластины D, ограни-
2
ченной линиями у = 2 х - х , у —х , если поверхностная
2
плотность в каждой ее точке ц = х + 2 х у.
►Для вычисления массы т плоской пластины заданной поверхностной
плотностью ц воспользуемся физическим смыслом
двойного интеграла (см. § 13.1, свойство 2) и формулой
т ~ f | (*2 + 2xy)dxdy (область интегрирования D изображе-
D
на на рис. 13.41). Это позволит легко представить записанный
двойной интеграл в виде повторного:
1 2 х -х г 1 2хх1
m = fd x f (x2 + 2xy)dy = \(x2y + xy2)\x dx =
O x О
1
= \(2хг - х * - х + 4х -Л х * + xS- x l )dx =
о
= J ( jcS - 5х4 + 4х3)dx = — х5 +
1 .4
6
2. Вычислить статический момент относительно оси Оу одно-
2 2
родной пластины D, ограниченной линиями х + у - 2 ах = 0 ,
2 2
х + у - а х = 0 , у - х = 0 , у + х = 0 (рис. 13.42), использовав
полярные координаты. Поверхностная плотность пластины
И = 2 .
220