полнотекстовый ресурс

00
ца. При х —3/2 получаем ряд V — , члены которого больше соответствую-
Ш Ж
п Щ1
щих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, при х —3/2 степенной
ряд расходится. Следовательно, областью сходимости исходного степенного
ряда является полуинтервал [—3/2; 3/2). 4
00
Если дан ряд вида V ап{х - xQ) , то его радиус сходимости R определя-
л в 0
ется также по формуле ( 12.11), а интервалом сходимости будет интервал с центром
в точке х —Xq: (xq —R; Xq +R).
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
■ 1Щ
►Найдем радиус сходимости данного ряда:
lim 2Ц ! ^ ± 2 = 2Шп Щ =
Л -> 00 2 я J n + 1 /I —> ооУ /1 + 1
оо
т.е. ряд сходится в интервале (0; 4). При х = 0 получаем ряд V* ■- —, кото-
" Jn+ 1
Пи I
рый расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармониче-
00
/I 1 1
ского ряда, а при х —4 —ряд V (—1) — , где lim — - = 0 , с ходял/л
+ 1 л -> co jn + i
л = 0
щийся по признаку Лейбница. Область сходимости данного ряда (0; 4].<
® л
Пример 4. Найти область сходимости ряда — .
►Находим радиус сходимости ряда:
л - О
R = lim ( ~ :*—гттт) = (п + 1) = 00
п —>00^/1* (/*■^1)*' Л—>00
Следовательно, данный ряд сходится на всей числовой прямой. Отсюда, в частности,
с учетом необходимого признака сходимости ряда (см. § 12.1, теорему 1)
л
получаем, что lim = 0 для любого конечного х.4
л -> о о л!
На всяком отрезке [а ; р ], лежащем внутри интервала сходимости, степенной
ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале сходимости
является непрерывной функцией. Степенные ряды можно почленно интегри-
21