полнотекстовый ресурс

В общем случае Nq зависит от х, т.е. при заданном е > Онатуральные числа
Nq различны для разных значений х е D . Если же существует один номер NQ,
такой, что при п> Nq неравенство ( 12.8) справедливо для всех х е D , то ряд
(12.7) называется равномерно сходящимся в D. В случае равномерной сходимости
функционального ряда его п-я частичная сумма является приближением
суммы ряда с одной и той же точностью для всех х е D .
Функциональный ряд (12.7) называется мажорируемым в некоторой области
D, если существует сходящийся числовой ряд
£ а я (а„>0), (12.9)
п ш 1
такой, что для всех х е D справедливы неравенства:
\ик(х)\£ак (&= 1, 2,...).
Рад (12.9) называется мажорантным (.мажорирующим) рядом.
Например, функциональный ряд
cosx . cos2x + cos3x + + sin/tx +
I 22 | ' и2
мажорируется рядом 1 + ~ + — +... + — +..., так как |cos«x| < 1. Данный
2 3 п
функциональный ряд равномерно сходится на всей оси Ох, поскольку он мажорируется
при любом х.
Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свойствами:
1) еслй члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на некотором
отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;
2) если члены ряда (12.7) непрерывны на отрезке [д; Ь] и ряд равномерно
сходится на этом отрезке, то в случае, когда [а ; р] с [а ; Ъ],
р
а
» р
п * 1а
где £(х) - сумма ряда (12.7);
3) если ряд (12.7), составленный из функций, имеющих непрерывные
производные на отрезке [а; 6], сходится на этом отрезке к сумме S(x) и ряд
и\ (х) + и'2 (х) +... + и'п (х) +... равномерно сходится на том же отрезке, то
u'j (х) + и2 (х) +... + и'я (х) +... = У(х).
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
19