полнотекстовый ресурс

12.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пусть функции и/(х) (/= 1 , 2 , п, ...) определены в области Dr Тогда выражение
вида
00
I/, (х) + иг (х) +... + ии(х) + ...= £ И„(х) (12.7)
Я * I
называется функциональным рядом. Он называется сходящимся в точке х = х0 ,
00
если сходится числовой ряд ^ uh(xq) • Множество значений х, при которых
я “ 1
ряд (12.7) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Обозначим ее D§ . Как правило, область не совпадает с областью Dx , а
является ее частью: ЛуС Dx .
2
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда lnx + In х +
00
+ ...+ 1пях + ... = 1пях.
л = 1
►Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем
q = lnx. Такой ряд сходится, если |ф| = |1пх|00
П—* со
Полезно также другое определение суммы функционального ряда. Функция
5(х) называется суммой ряда (12.7) в некоторой области Д если для любого
е > 0 существует такой номер ДГ0 = NQ(x ), что при всех л>ЛГ0 справедливо
неравенство
|гл(х)|). (12.8)
18