полнотекстовый ресурс

Вычисление объемов тел. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
2 2 .
Z - х + у , х+ у = I , х = 0 , у = 0 , z = 0.
►Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоскостью
2 2
х + у - 1 , параллельной оси Oz, и параболоидом вращения z = х +у
(рис. 13.17). На основании геометрического смысла двойного интеграла
(см. § 13.1, свойство 3) искомый объем v можно вычислить по формуле
v ■ J J ( * 2 + y2)dxdy,
D
где область D ограничена треугольником, лежащим в плоскости Оху, для
которого 0 £ х £ 1, 0
1-х. Следовательно,
Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
. , 2 , 2 |
у « 1+х +Z , У = 5.
► Рассматриваемое тело ограничено параболоидом вращения с осью Оу и плоскостью
у = 5, перпендикулярной к оси Оу (рис. 13.18). Его проекция на плоскость
Qxz—круг, определяемый уравнениями у = 0 , х2 + z" £ 4 . Искомый объем
у = f Г(5 —1-x2- z ’)dxdz = JJ( 4 - х -z)dxdz.
D
165
D