полнотекстовый ресурс

2. Вычислить f Jx dxdy, если область D ограничена
D
линиями у = х, у = 1/х, х = 2. (О т в е т :2,25.)
13.2. З А М Е Н А П Е Р Е М Е Н Н Ы Х В Д В О Й Н О М И Н Т Е Г Р А Л Е .
Д В О Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
В П О Л Я Р Н Ы Х К О О Р Д И Н А Т А Х
Пусть переменные х, у связаны с переменными и, v соотношениями
х = ф(и, v), у = у(м, v) , где ф(и, v), \|/(и, v) —непрерывные и дифференцируемые
функции, взаимно однозначно отображающие область D плоскости
Оху на область D' плоскости O 'u v; при этом якобиан
дх дх\
ди dv
J = J(u , v) =
ди dv
сохраняет постоянный знак в D. Тогда верна формула замены переменных в
двойном интеграле
J J Дх, y)dxdy = J J Д ф ( м, V ), м/(и, v))\J\dudv. (13.8)
D
Dl
Пределы в новом интеграле расставляются по рассмотренному ранее правилу
с учетом вида области D '.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
II\x + y)dxdy
D
по области D плоскости Оху, ограниченной линиями у = х - 1, у = х+ 2 ,
у —х - 2 , у = —х+ 3.
►Положим
и = у-х,1
V = у + х. J
Тогда прямые у = х- \ и у = х + 2 перейдут соответственно в прямые
и = —1 , и = 2 плоскости O'uv, а прямые у = —х-2 , у = —х+3 —в прямые
v = —2 и v = 3 этой же плоскости. При этом область D отобразится в
прямоугольник D' плоскости O 'u v, для которого —1< м