19.11.2014
•
Views
ласти S{ (теорема существования и единственности), то в декартовой системе координат область D удобно разбивать на элементарные областипрям ы м и, параллельными осям координат. Полученные при таком разбиении элементарные области 5/, принадлежащие области Д являются прямоугольниками. Следовательно, dS = dxdy и J J Л** y)dS = J J Д х, y)dxdy. D D Область интегрирования D называется правильной в направлении оси Ох (оси Оу), если любая прямая, параллельная оси Ох (оси Оу)упересекает границу L области D не более двух раз (рис. 13.5, а). Область D считается также правильной, если часть ее границы или вся граница L состоит из отрезков прямых, параллельных осям координат (рис. 13.5, б). Рассмотрим методы вычисления двойного интеграла по областям, правильным в направлении координатных осей; так как практически любую область можно представить в виде объединения правильных областей (рис. 13.5, в), то, согласно свойству 6 двойных интегралов, эти методы пригодны для их вычисления по любым областям. х 0 х о Р и с . 13.5 Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать подынтегральную функцию z = А х, У) по одной из переменных (в пределах ее измене- 1гия в правильной области D) при любом постоянном значении другой переменной и полученный результат проинтегрировать по второй переменной в максимальном диапазоне ее изменения в D. Тогда все произведения Дх, у) dxdy в двойном интеграле (предел суммы (13.2)) будут учтены при суммировании точно по одному разу, и мы избавимся от лишних, не принадлежащих области Д произведений. Если область Д правильная в направлении оси Оу, проецируется на ось Ох в отрезок [о; А], то ее граница L разбивается на две линии: А т В, .задаваемую уравнением у =
Если область Д правильная в направлении оси Ох, проецируется на ось Оу в отрезок [с; d], то ее граница L разбивается на две линии: CpD*, задаваемую уравнением х = VjOO, и CqD*, задаваемую уравнением х - y 2Cv) (рис. 13.7). В этом случае область D определяется системой неравенств Л c
-
Page 2 and 3:
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАД
-
Page 4 and 5:
ПРЕДИСЛОВИЕ Предла
-
Page 6 and 7:
При выдаче ИДЗ студ
-
Page 8 and 9:
12. РЯДЫ 12.1. ЧИСЛОВЫЕ
-
Page 10 and 11:
В качестве рядов дл
-
Page 12 and 13:
2х ►Положим, что Дх)
-
Page 14 and 15:
общий член которог
-
Page 16 and 17:
" 3n °° 1 fn + 7 \n2 + 2n ■> ^
-
Page 18 and 19:
а) £ ( - 1)л_1\ ; б ) ^ ( - 1)
-
Page 20 and 21:
В общем случае Nq за
-
Page 22 and 23:
00 ца. При х —3/2 полу
-
Page 24 and 25:
л+1 S ,(x ) =■— У (_1)" + l c
-
Page 26 and 27:
00 / 1\л/ . 1\2я v b lli£ ± ii_
-
Page 28 and 29:
00 2п(х —3)п 2. 1. Найти
-
Page 30 and 31:
то / Л+1)(*О + 0(*-*о)>,-- -ч
-
Page 32 and 33:
2 4 „ , 2л-2 x 3! 5! 1 4 (2л-1)
-
Page 34 and 35:
2. Разложить в степе
-
Page 36 and 37:
►Подставим в форму
-
Page 38 and 39:
где у(х0) = у 0, у'(х0) =
-
Page 40 and 41:
3. Найти неопределе
-
Page 42 and 43:
1C —sin/fjcl*—f i sin nxdx n «
-
Page 44 and 45:
Подставив найденны
-
Page 46 and 47:
Его сумма равна зад
-
Page 48 and 49:
Поскольку ряд Фурь
-
Page 50 and 51:
2 4. Найти разложени
-
Page 52 and 53:
12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ
-
Page 54 and 55:
00 1.21. У --------- ---------- .
-
Page 56 and 57:
00 / к + п " / 2 2.12. у — U
-
Page 58 and 59:
3.4. . (Ответ: сходитс
-
Page 60 and 61:
3.26. X (^2л + т) ’ (Ответ
-
Page 62 and 63:
5.2. л — ■ . (Ответ: сх
-
Page 64 and 65:
5.22. У sin—- — . (Ответ:
-
Page 66 and 67:
6.25. У ■ 1 - . 6.26. у " i l l
-
Page 68 and 69:
00 \П 7.19. У ■. (Ответ:
-
Page 70 and 71:
“ ( 1 \ п 00 t 8.19. У U— . 8
-
Page 72 and 73:
►Согласно радикал
-
Page 74 and 75:
lim л + 1 = lim ----- 5 -^ -------
-
Page 76 and 77:
1.16. ^ . {Ответ: [-1; 1].) n
-
Page 78 and 79:
2.18. 2.20. 2.24. 2.26. 2.28. 2.30.
-
Page 80 and 81:
3.15. ^ ^ . (Ответ: 1 < х й
-
Page 82 and 83:
4.6. Дх) = ------- -. (Ответ
-
Page 84 and 85:
оо п 4.24.Дх) = In—— -----
-
Page 86 and 87:
5.24 . , а = 0,001. (Ответ: 0
-
Page 88 and 89:
0,4 6.16. f Jxe dx. (Ответ: 0,
-
Page 90 and 91:
7.7 .у ' = 2 cosx - ху2 , з» (
-
Page 92 and 93:
7 1 4 7.28. у' = 2 sinх + х у ,
-
Page 94 and 95:
8.13. у" - хуу' , у(0) = / ( 0
-
Page 96 and 97:
8.30. у = 2х2 +у3 , у(1) = 1,
-
Page 98 and 99:
00 2 . г 9.20. V , о £ х < +о
-
Page 100 and 101:
lim — = lim n = 1 = к * 0 »-> V
-
Page 102 and 103:
ся необходимый при
-
Page 104 and 105:
е-1 /2 = 1 - 1 + — ______U + - J
-
Page 106 and 107:
►Ищем решение данн
-
Page 108 and 109:
ИДЗ-12.3 1. Разложить
-
Page 110 and 111:
+
-
Page 112 and 113:
■5тс-2 v-, sin((2fc-l)x) - у ,
-
Page 114 and 115:
1.22. Дх) = 6 х - 2 , —п £
-
Page 116 and 117:
j_2(rc -н 11) ^ sin((2A:-l)x) ,, ^
-
Page 118 and 119:
я2- 2 я + 2 V 4 Л 2Лв1 (2Л -1
-
Page 120 and 121:
. О 00 1 / 1ЛЛ-4я 4х 2 « ч
-
Page 122 and 123:
2.21. Дх) = е 3*. (Ответ:
-
Page 124 and 125:
у J = U L L l+ n n 2' n - 1 ch- =
-
Page 126 and 127:
__4 у . cos((2 h - 1)ях) , 8 у
-
Page 128 and 129:
(2л+1)2 5 I—X, —4
-
Page 130 and 131:
_£ у cos((2rt- 1)ях/2) _ JL у
-
Page 132 and 133:
4.7. 4.8. Z z 0 1 / * 4 ! У - ' *
-
Page 134 and 135:
4.16. У\ 1/2 -dl -5 ■2 \1 У S '
-
Page 136 and 137:
У -/ 4.27. х> Y \ / ч / \ / у /
-
Page 138 and 139:
5.8. Дх)- cosx, [о; 5 ], (0 тв
-
Page 140 and 141:
5.25. Дх) = п2- х , (- я ; я
-
Page 142 and 143:
a _ = Slg*''2 - f n nJ ^ Рис. 12
-
Page 144 and 145:
и = 8Х/2, du = |8x/2ln8dx, dv = c
-
Page 146 and 147:
►Запишем аналитич
-
Page 148 and 149:
вя = \ x ^ d x + \ { 2 - x ) COs
-
Page 150 and 151:
да его п-й частично
-
Page 152 and 153:
Двойным интегралом
-
Page 156 and 157:
С другой стороны, о
-
Page 158 and 159:
2. Расставить преде
-
Page 160 and 161:
2. Вычислить f Jx dxdy, е
-
Page 162 and 163:
к Р и с. 13.11 Ри с. 13.14
-
Page 164 and 165:
—оо Г Г -х 2 - у 2 поль
-
Page 166 and 167:
Вычисление объемов
-
Page 168 and 169:
- Js[ f dxdz = I* = PCOS(P* dxdz mp
-
Page 170 and 171:
70 “ l j ( x 2 +y2)n (x ,y )tb d
-
Page 172 and 173:
3. Вычислить площад
-
Page 174 and 175:
13.4. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРА
-
Page 176 and 177:
Рис. 13.24 ►По заданн
-
Page 178 and 179:
2 п 2 2 + р / ■ Г Г [ ppdpdyd
-
Page 180 and 181:
2. Вычислить | | f а/х2
-
Page 182 and 183:
lit 2 2-p m = [f [z&dy
-
Page 184 and 185:
Так как вследствие
-
Page 186 and 187:
1.8. D: xi>0,y2:l,y^3,y = x. 1.9. D
-
Page 188 and 189:
2.14. Jfx ydx efy, J>. у = x , у
-
Page 190 and 191:
3.7. J dx [ c o sJx2 + y2dy. -R о
-
Page 192 and 193:
3.25. Jdx f ln(l + x2 + y 2)d y .
-
Page 194 and 195:
4.25. D. x = у2 , x = J l - y 2 .
-
Page 196 and 197:
6.6. z = X, у = 4 , х = */25- у
-
Page 198 and 199:
2. Вычислить двойно
-
Page 200 and 201:
►Данная плоская фи
-
Page 202 and 203:
1 Q ' ' О при у = 1 1 = 2j(l -
-
Page 204 and 205:
2.2. J J I x2yzdxdydz, VI - 1 5x^2,
-
Page 206 and 207:
2.26. Г[ [ (х+у z)dxdydz, V: О
-
Page 208 and 209:
3.13. j j j S p m ; V. *2 +/ - 4y,
-
Page 210 and 211:
3.29. fff xdxdy dz . V: \
-
Page 212 and 213:
Решение типового в
-
Page 214 and 215:
л / 2 ------ f costprfcp f р2ф =
-
Page 216 and 217:
1.2 1.Д .у = х2,у = 2,ц = 2-у
-
Page 218 and 219:
3.2. V: у ± Ъ'№ +z ‘х2'+ z
-
Page 220 and 221:
4.10. V: у = х + z ,У —3 , О
-
Page 222 and 223:
►Статический моме
-
Page 224 and 225:
(Область Vизображен
-
Page 226 and 227:
12. Вычислить массу
-
Page 228 and 229:
нотонно на отрезке
-
Page 230 and 231:
„ « J (х2 + у 2 + г2)5Л , /
-
Page 232 and 233:
Пример 4. Вычислить
-
Page 234 and 235:
Если гладкая крива
-
Page 236 and 237:
3. Вычислить \ J ly d l,
-
Page 238 and 239:
14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВ
-
Page 240 and 241:
4. Во всех точках об
-
Page 242 and 243:
где С —произвольна
-
Page 244 and 245:
x d y - у dx , ~ з 1.2. —7=—,
-
Page 246 and 247:
1.17. f (xy- \)dx + x yd y9 где
-
Page 248 and 249:
2.3. Г — , где L n п —от
-
Page 250 and 251:
f 1 2 2 2 2 2.19. фл/х + y dl,
-
Page 252 and 253:
3.5. J (2z-*JxZ + y2)dl , где L
-
Page 254 and 255:
3.19. j yzdl, где L oabc - ко
-
Page 256 and 257:
4.4. \yzdx + z Jf i? - у2dy + xydz
-
Page 258 and 259:
Г 2 2 4.18. J 4xsin ydx+ycos 2xdy,
-
Page 260 and 261:
Следовательно, 2 я С
-
Page 262 and 263:
( О твет: ln( 1+ х2у2) - З
-
Page 264 and 265:
1.23. Х'П*^ - У dx + У^пх + -
-
Page 266 and 267:
2.11. Вычислить коорд
-
Page 268 and 269:
2.28. Вычислить работ
-
Page 270 and 271:
1. Найти длину дуги
-
Page 272 and 273:
15. Э Л Е М Е Н Т Ы Т ЕО
-
Page 274 and 275:
Пример 1. Найти прои
-
Page 276 and 277:
2) если единичный ве
-
Page 278 and 279:
6. Доказать, что век
-
Page 280 and 281:
Для всякой функции
-
Page 282 and 283:
2 2 4. Найти производ
-
Page 284 and 285:
Пример 1. Вычислить
-
Page 286 and 287:
j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdx
-
Page 288 and 289:
| = J j j l - у2-Z2 dydz, /2 “ J
-
Page 290 and 291:
I 2 2 2 4. Вычислить ма
-
Page 292 and 293:
15.4. П О Т О К В Е К Т О
-
Page 294 and 295:
П т J J a •п°*/5 = 111div a(A
-
Page 296 and 297:
проходящим по беск
-
Page 298 and 299:
Формула Грина (14.14)
-
Page 300 and 301:
Направление обхода
-
Page 302 and 303:
3. Найти циркуляцию
-
Page 304 and 305:
«2 Л 2 div grad u(M) = —“ +
-
Page 306 and 307:
O A :y mO, z = 0, dy = 0, dz = О,
-
Page 308 and 309:
стей v = а х г , где г
-
Page 310 and 311:
1.1. и(М) = x y +y2z + z x , Щ1,
-
Page 312 and 313:
2.8. f f(3y - x - z )d S , (p): x-y
-
Page 314 and 315:
2.30. [\(x + 3y + 2z)dS,(p):2x + y
-
Page 316 and 317:
3.14. f f - ~ -2-— , где S —
-
Page 318 and 319:
3.26. J J (y-x)dydz + (z-y)dxdz + (
-
Page 320 and 321:
4.18. a(Afj = (x + y + z)i + 2^J +
-
Page 322 and 323:
2. Вычислить поверх
-
Page 324 and 325:
Вначале вычислим п
-
Page 326 and 327:
о ~ \ \ + 4.У + 4) + 12>» + 24 -
-
Page 328 and 329:
1.1*. . ( * ) . (2 ,- ,)l +(l+ 2, )
-
Page 330 and 331:
2.16. ы(М) = х'уz, Mq(\, 0,4).
-
Page 332 and 333:
3.25. a (Jlf) = xzi + (x - y )j + j
-
Page 334 and 335:
Решение типового в
-
Page 336 and 337:
x -2 z x+3y + z 5x + y В каче
-
Page 338 and 339:
2. Вычислить массу п
-
Page 340 and 341:
П Р И Л О Ж Е Н И Я 1. К
-
Page 342 and 343:
2.15. £(-1)"(i -co.-L). 2.U. £ J=
-
Page 344 and 345:
СО Я ® . А.Я 4 .3 . ' ^ ( ”
-
Page 346 and 347:
U X 5.24. £ ( 1 * - ^ ) , - . Л =
-
Page 348 and 349:
6.22. У arctg , -во
-
Page 350 and 351:
0 1+ х 4/5 З-Зу/2 1.25. Jd x j
-
Page 352 and 353:
2.26. J J J i * 2 + 2)dxdydz, И у
-
Page 354 and 355:
С 2 2 2 4.3. I (х -2 xy)dx+ (y -
-
Page 356 and 357:
4.27. J j 2 у dx + ye* +2dy, —
-
Page 358 and 359:
6.3. а - (e *- x )l + (xz+3y)j + (
-
Page 360 and 361:
1.16. у = la x , у = In - , х =
-
Page 362 and 363:
3.4. Z =* ,/зб-х2-у2, * = J(x 2
-
Page 364 and 365:
1 7 4.20. D: x +y - 1, у £ 0, ji
-
Page 366 and 367:
РЕКО М ЕНД У ЕМ А Я Л
Change language