полнотекстовый ресурс

Двойным интегралом функции z = Д х, у) по области D называется предел
lim /_ , обозначаемый Г | Д х, у) d S . Таким образом, по определению
О .
J J
2)
л
J J Д*» У)ЛУ = £ Л*/» У/)А*У/ • (13.2)
^ / = 1
Здесь и далее будем предполагать, что функция г = Д х, у ) непрерывна в области
D и линия L — кусочно-гладкая, поэтому указанный в формуле (13.2)
предел всегда существует.
Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический и физический
смысл.
1. = S jy , где Sj) —площадь области интегрирования D.
D
2. Если подынтегральная функция z = Д х, у ) = ц(х, у ) —поверхностная
плотность материальной пластины, занимающей область Д то масса этой
пластины определяется по формуле
т = J J ц(х, y)d S . (13.3)
D
В этом заключается физический смысл двойного интеграла.
3. Если Д х, у) £ 0 в области Д то двойной интеграл (13.2) численно равен
объему v цилиндрического тела, находящегося над плоскостью Оху%нижним
основанием которого является область Д верхним — часть поверхности
Z = Дх, у ) , проецируемая в Д а боковая поверхность — цилиндрическая,
причем ее прямолинейные образующие параллельны оси Oz и проходят через
границу L области D (рис. 13.2). Если Дх, у)^0 в области Д то двойной интеграл
численно равен объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью
Оху (рис. 13.3), взятому со знаком «—* (—v). Если же функция Дх, у)
в области D меняет знак, то двойной интеграл численно равен разности объемов
цилиндрических тел, находящихся над плоскостью Оху и под ней, т.е.
x ,y )d S - v, —v* (13.4)
Я *
D
(рис. 13.4). Это свойство выражает геометрический смысл двойного интеграла.
4. Если функции z = / (х , у ) (/ = 1, к) непрерывны в области Д то верна
формула
Г * I *
Я X#*■y ) d S ~ Zl№ * 'y)dS■
D p 1 ' /= 1&
5. Постоянный множитель С подынтегрального выражения можно выносить
за знак двойного интеграла:
J J СДх, y)d S - C j|Д х , y)d S.
D
151
D