полнотекстовый ресурс

Например, ряд
2 3 4 v ' п
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Он сходится
условно, так как ряд 1 + i + - + ... + - +... расходится.
2 3 л
Абсолютно сходящиеся ряды (в отличие от условно сходящихся) обладают
свойствами сумм конечного числа слагаемых (например, от перемены мест
слагаемых сумма не меняется).
Верна следующая
Теорема 8. Если числовой ряд сходится условно, то, задав любое число а,
можно так переставить члены ряда, что его сумма окаж ет ся равной а. Более
того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный
после перестановки, будет расходящимся.
Проиллюстрируем теорему 8 на примере. Рассмотрим условно сходящийся
ряд
2 3 4 5 6 П
Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного члена стояли
два отрицательных. Получим:
1 1 1 - ш Щ ! Ш ! - Ш I ^ ______!___
2 4 3 6 8 5 10 12 2 k - 1 4Аг—1 4 к
Сложим теперь каждый положительный член с последующим отрицательным:
_Bps I
2 4 б 8 10 12 4*-2 4*
= 1Г,_1 + 1 _ Ы _ 1 + ... + _ ! ___ В Н Н Н
2| 2 3 4 5 6 2 к - 1 2к | 2
Очевидно, что сумма исходного ряда уменьшилась вдвое!
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
2 л I
Ц - ' Г ' ъл(я S7T5- + 1)*
(,)
л = 1
► Т ак как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают и
lim = 0 , то, согласно признаку Лейбница, ряд (1) сходится.
Я-4 оо Л(Л+ 1)
Рассмотрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда
( 1), т.е. ряд
V 2 * 1 -L (2)
2 ^ л ( л + 1 ) ’ {
п = 1
12