полнотекстовый ресурс

2х
►Положим, что Дх) = ---------- . Эта функция удовлетворяет всем требо-
(х2 + 1)2
ваниям интегрального признака Коши. Тогда несобственный интеграл
В
R
— — dx = lim f — —— dx = - lim 1
1
2 ’
,(x 2 + l ) 2 B ~* ,(*2 + l) 2 B ~*c°(xi + l ) l
т.е. сходится, а значит, данный ряд также сходится.4
Числовой ряд (12.1), члены ип которого после любого номера N (n>N)
имеют разные знаки, называется знакопеременным.
Если ряд
H I + |иг|+ - + N + - (12.5)
сходится, то ряд (12.1) также сходится (это легко доказывается) и называется
абсолютно сходящимся. Если ряд (12.5) расходится, а ряд (12.1) сходится, то
ряд (12.1) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются признаки
сходимости рядов с положительными членами.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд ^ — — (a s R ).
п
п ш 1
►Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного
ряда, т.е, ряд V* ’sm^a ' (a е R ). Так как |sin/ia| < 1 , то члены исходного
& п2
П= 1
ряда не больше членов ряда Дирихле V — (а = 2) , который, как известно,
^ п
/1=1
сходится. Следовательно, на основании признака сравнения (см. теорему 3,
п. 1) данный ряд сходится абсолютно, i
Ряд вида
их - и2 + м3-... + ( - 1)я “ 1 ип +..., (12.6)
где ип > 0 , называется знакочередующимся рядом.
Теорема 7 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося ряда (12.6)
Mj > м2 > —> ип > ••• и lim и = 0 , то ряд (12.6) сходится и его сумма S ydoe-
Л —>оо
летворяет условию 0 < S< и, .
Следствие. Остаток гп ряда (12.6) всегда удовлетворяет условию'