полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
полноÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑекÑÑовÑй ÑеÑÑÑÑ
lim — = lim n = 1 = к * 0 »-> V я -» oo I 2 . , л/я + 1 Следовательно, числовой ряд V расходится и „_1 л/л2 +1 точка х = 1 не входит в область сходимости. Таким образом, область сходимости исследуемого ряда 0 5 х < 1 .< я + II х -З х + 2 + Зх+ V л = 1 ►По признаку Д ’Аламбера имеем: я2 + 2 л + 2 х2 - Зх + 2 Л+1 lim ‘л+1 lim л2 + я 2л + 1 х2 + Зх+ 2 л-»оо „ * + [ х2 - Зх + 2 л п 2 х +Зх + 2 х2 - Зх + 2 lim и2(п2 + 2л +2) _ х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 л->со(л2 + 1)(л2 + 2л + 1) х2 + Зх + 2 , х -З х + 2 , - \ < - 1----------- < 1. х +Зх + 2 Решаем полученные неравенства: < 1. . ^ х2 - Зх + 2 х2 - Зх + 2 + j > q 2х2 + 4 > 0 . х2 + Зх + 2 ’ х2 + Зх+2 ’ х2 + Зх+2 Отсюда х + Зх + 2>0, хе (—оо; —2)u (—1; + » ). Далее, 99
?L—Зх+2 < i , *——_.? _ i < о, -----й*— ° х + Зх+ 2 Следовательно, х е (—2; —1) и (0; +°о). П рих= 0 получим числовой ряд оо 2 #| + 1 — — , для которого 11—1 п »2 +1 lim и_ Л = lim ------- •) = 1 * 0 ,* Я-»оо л -* ОО т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Следовательно, этот числовой ряд расходится. Область сходимости исследуемого ряда: 0 < х < +оо. i 00 —^ 2 * 3. £ О - * 1 ■ Л = 1 ►Воспользуемся радикальным признаком Коши. Находим: ип = (3-х2) , lim " А - х2| = 13 —х2| < 1 , Л—►00 —1 < 3-х2 < 1 . Решаем полученные неравенства: 3-х2> —1, х2-4< 0, Хб (—2; 2); 3-х2 0,хе (—оо; —л/2) и (л/2; +оо). Пересечение найденных решений дает интервалы сходимости исследуемого ряда: х е (—2; —л/2) и (л/2; 2). Исследуем сходимость ряда на концах этих интервалов. 00 При х = ±2 получим числовой ряд ^ (—1) . Этот знакочел = 1 редующийся числовой ряд расходится, так как не выполняет- 100
- Page 50 and 51: 2 4. Найти разложени
- Page 52 and 53: 12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ
- Page 54 and 55: 00 1.21. У --------- ---------- .
- Page 56 and 57: 00 / к + п " / 2 2.12. у — U
- Page 58 and 59: 3.4. . (Ответ: сходитс
- Page 60 and 61: 3.26. X (^2л + т) ’ (Ответ
- Page 62 and 63: 5.2. л — ■ . (Ответ: сх
- Page 64 and 65: 5.22. У sin—- — . (Ответ:
- Page 66 and 67: 6.25. У ■ 1 - . 6.26. у " i l l
- Page 68 and 69: 00 \П 7.19. У ■. (Ответ:
- Page 70 and 71: “ ( 1 \ п 00 t 8.19. У U— . 8
- Page 72 and 73: ►Согласно радикал
- Page 74 and 75: lim л + 1 = lim ----- 5 -^ -------
- Page 76 and 77: 1.16. ^ . {Ответ: [-1; 1].) n
- Page 78 and 79: 2.18. 2.20. 2.24. 2.26. 2.28. 2.30.
- Page 80 and 81: 3.15. ^ ^ . (Ответ: 1 < х й
- Page 82 and 83: 4.6. Дх) = ------- -. (Ответ
- Page 84 and 85: оо п 4.24.Дх) = In—— -----
- Page 86 and 87: 5.24 . , а = 0,001. (Ответ: 0
- Page 88 and 89: 0,4 6.16. f Jxe dx. (Ответ: 0,
- Page 90 and 91: 7.7 .у ' = 2 cosx - ху2 , з» (
- Page 92 and 93: 7 1 4 7.28. у' = 2 sinх + х у ,
- Page 94 and 95: 8.13. у" - хуу' , у(0) = / ( 0
- Page 96 and 97: 8.30. у = 2х2 +у3 , у(1) = 1,
- Page 98 and 99: 00 2 . г 9.20. V , о £ х < +о
- Page 102 and 103: ся необходимый при
- Page 104 and 105: е-1 /2 = 1 - 1 + — ______U + - J
- Page 106 and 107: ►Ищем решение данн
- Page 108 and 109: ИДЗ-12.3 1. Разложить
- Page 110 and 111: +
- Page 112 and 113: ■5тс-2 v-, sin((2fc-l)x) - у ,
- Page 114 and 115: 1.22. Дх) = 6 х - 2 , —п £
- Page 116 and 117: j_2(rc -н 11) ^ sin((2A:-l)x) ,, ^
- Page 118 and 119: я2- 2 я + 2 V 4 Л 2Лв1 (2Л -1
- Page 120 and 121: . О 00 1 / 1ЛЛ-4я 4х 2 « ч
- Page 122 and 123: 2.21. Дх) = е 3*. (Ответ:
- Page 124 and 125: у J = U L L l+ n n 2' n - 1 ch- =
- Page 126 and 127: __4 у . cos((2 h - 1)ях) , 8 у
- Page 128 and 129: (2л+1)2 5 I—X, —4
- Page 130 and 131: _£ у cos((2rt- 1)ях/2) _ JL у
- Page 132 and 133: 4.7. 4.8. Z z 0 1 / * 4 ! У - ' *
- Page 134 and 135: 4.16. У\ 1/2 -dl -5 ■2 \1 У S '
- Page 136 and 137: У -/ 4.27. х> Y \ / ч / \ / у /
- Page 138 and 139: 5.8. Дх)- cosx, [о; 5 ], (0 тв
- Page 140 and 141: 5.25. Дх) = п2- х , (- я ; я
- Page 142 and 143: a _ = Slg*''2 - f n nJ ^ Рис. 12
- Page 144 and 145: и = 8Х/2, du = |8x/2ln8dx, dv = c
- Page 146 and 147: ►Запишем аналитич
- Page 148 and 149: вя = \ x ^ d x + \ { 2 - x ) COs
lim — = lim n = 1 = к * 0<br />
»-> V я -» oo I 2 . ,<br />
л/я + 1<br />
Следовательно, числовой ряд V<br />
расходится и<br />
„_1 л/л2 +1<br />
точка х = 1 не входит в область сходимости.<br />
Таким образом, область сходимости исследуемого ряда<br />
0 5 х < 1 .<<br />
я + II х -З х + 2<br />
+ Зх+ V<br />
л = 1<br />
►По признаку Д ’Аламбера имеем:<br />
я2 + 2 л + 2 х2 - Зх + 2 Л+1<br />
lim ‘л+1 lim<br />
л2 + я<br />
2л + 1 х2 + Зх+ 2<br />
л-»оо „ * + [ х2 - Зх + 2 л<br />
п<br />
2<br />
х +Зх + 2<br />
х2 - Зх + 2 lim и2(п2 + 2л +2) _ х2 - Зх + 2<br />
х2 + Зх + 2 л->со(л2 + 1)(л2 + 2л + 1) х2 + Зх + 2<br />
, х -З х + 2 ,<br />
- \ < - 1----------- < 1.<br />
х +Зх + 2<br />
Решаем полученные неравенства:<br />
< 1.<br />
. ^ х2 - Зх + 2 х2 - Зх + 2 + j > q 2х2 + 4<br />
> 0 .<br />
х2 + Зх + 2 ’ х2 + Зх+2 ’ х2 + Зх+2<br />
Отсюда<br />
х + Зх + 2>0, хе (—оо; —2)u (—1; + » ).<br />
Далее,<br />
99
Change language