полнотекстовый ресурс

В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать ряд, представля-
ческий (расходящийся) ряд.
Пример 3. Доказать сходимость ряда
00
ющий сумму членов геометрической прогрессии ^ aqn , а также гармонип
** О
у
п ■3 1 3 2 •3 л-3"
■(«
Я “ 1
►Для установления сходимости ряда (1) воспользуемся неравенством
и . = — (и 2: 2)
П /1*3 Ш' 3 ■
и сравним данный ряд со сходящимся рядом V 1 — , q = - < 1. Согласно
Z j 3Л 3
п ** 1
признаку сравнения (см. теорему 3, п. 1) ряд (1) сходится.<
°° 1
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд V ' —------.
щш
v ►Так как > I для любого л £ 2 , то члены данного ряда больше со-
П ~ п
ЦП - 1
ответствующих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный
ряд расходится. 4
Теорема 4 (признак Д ’Аламбера). Пусть для ряда (12.1) и >0 (начиная с некоторого
п = Лл ) и существует предел
lim ■— - = q .
и_>оо ий
Тогда:
1) при q < 1 данный ряд сходится;
2) при q> 1 ряд расходится.
При q —1 признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или
расходимости ряда: он может и сходиться, и расходиться. В этом случае сходимость
ряда исследуют с помощью других признаков.
со 2
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд V —— .
^ _/!—1
п-12
9