(parte Sestini) : B--splines e curve B-spline

Introduzione alle splines
Alessandra Sestini
April 15, 2013
1 Splines polinomiali
Sia [a , b] un intervallo della retta reale e sia
a = τ 0 < · · · < τ L = b
una partizione assegnata su tale intervallo. Chiameremo il seguente insieme
T := {τ 0 , . . . , τ L }
vettore dei nodi. Posto I i := [τ i , τ i+1 ), i = 0, . . . , L − 2 e I L−1 := [τ L−1 , τ L ],
indichiamo con P m,T lo spazio delle polinomiali a tratti di grado m e nodi in
T ,
P m,T = {f : [a , b] → R | f | Ii ∈ Π m , i = 0, . . . , L − 1} , (1)
dove Π m denota lo spazio dei polinomi di grado ≤ m . Come prima osservazione,
notiamo che una generica funzione di P m,T nei nodi interni τ i , i =
1, . . . , L−1, può essere discontinua, presentando in particolare un salto finito.
Osserviamo inoltre che P m,T forma uno spazio vettoriale di funzioni sul campo
R la cui dimensione è,
dim(P m,T ) = (m + 1) L ,
essendo in generale i tratti polinomiali che compongono una generica funzione
di P m,T indipendenti l’uno dall’altro e essendo (m + 1) la dimensione di Π m .
Ovviamente una rappresentazione di funzioni in P mT si ottiene scegliendo una
base di Π m (per esempio la base delle potenze ma anche la base di Bernstein
che è spesso preferita in ambiente grafico) da utilizzare per rappresentare
1

ciascuno dei suoi tratti polinomiali.
definito l’insieme dei nodi T , risulta
Osserviamo infine che, comunque sia
Π m ⊂ P m,T .
Poiché le polinomiali a tratti non sono neanche continue in [a , b], siamo
interessati a definire degli spazi di funzioni che siano intermedi fra Π m e P m,T
che chiameremo appunto funzioni splines, distinguendole in splines classiche
e generalizzate. Le splines classiche formano un sottospazio vettoriale di P m,T
che indicheremo con S m,T e che possiamo definire come segue,
S m,T := P m,T ∩ C m−1 [a , b] . (2)
Si tratta quindi di polinomiali a tratti di grado m (o, come anche si
dice, di ordine k := m + 1) e nodi in T che nei nodi interni hanno regolarità
C m−1 , ossia la massima regolarità con cui due polinomi di grado m si possono
raccordare in un punto senza essere necessariamente coincidenti. Le più
semplici sono naturalmente le splines (classiche) lineari il cui grafico è una
spezzata (con angoli in corrispondenza dei nodi interni), le più note sono le
splines cubiche che sono globalmente C 2 e vengono spesso introdotte come
alternativa ai polinomi per risolvere problemi di interpolazione. Osserviamo
che in effetti risulta
Π m ⊂ S m,T ⊂ P m,T .
Le splines generalizzate sono state introdotte in ambiente CAGD per avere
a disposizione spazi di funzioni più duttili delle splines classiche delle quali
costituiscono appunto una generalizzazione, permettendo di imporre regolarità
variabile nei nodi interni. Per definirle, oltre a specificarne il grado m
(o l’ordine k) e il vettore dei nodi T , occorre specificare un ulteriore vettore
M = (m 1 , . . . , m L−1 ) detto vettore delle molteplicità e tale che m i ∈ N , 1 ≤
m i ≤ k, i = 1, . . . , L − 1 . Con tale ausilio, lo spazio S m,T,M delle splines
generalizzate di grado m, nodi in T e molteplicità in M è definito come
segue,
S m,T ,M := {f ∈ P m,T | f (j) (τ − i ) = f (j) (τ + i ), 0 ≤ j ≤ m − m i, 1 ≤ i ≤ L − 1}
(3)
Osserviamo che, se m i = k, nel nodo τ i non è richiesta alcuna regolarità
e, se tutti gli m i in M sono pari a 1, lo spazio S mT ,M viene a coincidere con
S m,T . Valgono inoltre le seguenti inclusioni
Π m ⊂ S m,T ⊂ S m,T ,M ⊂ P m,T .
2

Dopo aver definito gli spazi delle splines, siamo interessati a individuarne
la dimensione e a capire come sia possibile rappresentare le funzioni che
appartengono loro. A quest’ultimo riguardo, osserviamo che, trattandosi comunque
di polinomiali a tratti di grado m con nodi in T , è sempre possibile
utilizzare la forma generale di rappresentazione di funzioni di P mT , anche
se in questo caso sarà necessario inserire dei vincoli sui parametri di rappresentazione
in modo da garantire la regolarità richiesta nei nodi interni 1 .
Riferendoci dapprima a S m,T , osserviamo infatti che il requisito di regolarità
C m−1 nel nodo τ i corrisponde a m condizioni lineari linearmente indipendenti,
il che implica che
dim(S mT ) = (m + 1) L − m(L − 1) = L + m = (L − 1) + k ,
ossia la dimensione di S mT è data dalla somma del numero di nodi interni
con l’ordine. Con un ragionamento analogo si evince poi che
dove
∑L−1
dim(S m,T ,M ) = (m + 1) L − (m − m i + 1) = µ + k ,
µ :=
i=1
∑L−1
m i ,
i=1
ossia la dimensione di S m,T ,M è data della somma delle molteplicità dei nodi
interni con l’ordine 2 . Allo scopo di evitare inutili ridondanze, siamo quindi
interessati ad individuare delle basi di S m,T e di S m,T ,M , in particolare basi
che abbiano proprietà utili in ambiente grafico.
La prima base che possiamo definire per S mT viene detta base delle
potenze troncate ed è definita come segue,
{ 1, x , . . . , x m , (x − τ 1 ) m + , . . . , (x − τ L−1 ) m + } , (4)
dove per un qualsiasi punto fissato τ e per ogni intero positivo l, la funzione
(x − τ) l + è definita come segue,
(x − τ) l + :=
{ (x − τ) l , se x ≥ τ ,
0 , altrimenti.
1 Questa è per esempio la forma utilizzata più comunemente per definire le splines
cubiche interpolanti nei nodi.
2 Si osservi che quando tutte le molteplicità sono pari a 1 si riottiene la dimensione di
S m,T , come deve essere.
3

Osserviamo che le prime k funzioni che formano in (4) la base delle potnze
troncate altro non sono che la base delle potenze per Π m che è un sottospazio
di S mT . Per le altre L − 1 funzioni, le potenze troncate appunto, è immediato
verificare che si tratta di funzioni appartenenti a P m,T con due tratti
polinomiali (dei quali uno identicamente nullo). Verificando che le derivate
sinistre e destre fino all’ordine m − 1 di tali funzioni nel nodo di raccordo fra
i due tratti polinomiali sono coincidenti, si deduce quindi che esse sono globalmente
di classe C m−1 e quindi che sono comunque funzioni appartenenti a
S m,T . Poiché le funzioni in (4) sono in tutto proprio k +(L−1), per verificare
che esse sono una base di S m,T occorre verificare che esse sono linearmente
indipendenti, come viene fatto nella seguente proposizione,
elencate in (4) sono linearmente in-
Proposizione 1. Le funzioni di S m,T
dipendenti.
Dimostrazione : Per dimostrare l’asserto facciamo vedere che se una combinazione
lineare delle funzioni in (4) è identicamente nulla, allora i suoi
coefficienti sono tutti nulli. Sia quindi
m∑
a i x i +
i=0
∑L−1
b j (x − τ j ) m + ≡ 0 .
j=1
In particolare quindi la combinazione lineare si annullerà per ogni x ∈ I 0 .
Ma se x appartine a tale sottointervallo la combinazione lineare si riduce
alla sola prima sommatoria per definizione di potenze troncate. Poiché un
polinomio di grado m non nullo può avere al più m radici distinte, segue
che a 0 = · · · = a m = 0. Quindi avendo dimostrato questo, la combinazione
lineare identicamente nulla si riduce alla seconda sommatoria. Prendendo
però x ∈ I 1 essa si riduce solo a b 1 (x − τ 1 ) m che si deve annullare ∀x ∈ I 1 . Ne
segue che quindi b 1 = 0. Ragionando iterativamente allo stesso modo sui vari
sottointervalli, se ne deduce che anche b 1 = · · · = b L−1 = 0, il che conclude
la dimostrazione.
La base delle potenze troncate può essere generalizzate come segue per
definire una base di S m,T ,M ,
{ 1, x , . . . , x m , (x − τ i ) m + , .., (x − τ i ) m−m i+1
+ , i = 1, . . . , L − 1 } . (5)
Esercizio 1. Verificare che le funzioni introdotte in (5) formano effettivamente
una base di S mT ,M .
4

Sebbene sia stata introdotta per prima e sia di facile definizione, la base
delle potenze troncate presenta degli aspetti non attraenti per le applicazioni.
Infatti innanzi tutto si può osservare che i suoi elementi non hanno supporto
locale, cosa di estrema utilità in ambiente grafico. Inoltre le matrici di collocazione
ad essa abbinate con le quali si ha a che fare quando si utilizzano
le splines per risolvere problemi di interpolazione risultano spesso malcondizionate
e quindi il loro utilizzo non è raccomandabile in tale contesto 3 .
Tenute presenti le suddette osservazioni, siamo quindi interessati a introdurre
una base diversa per le splines che nel prossimo paragrafo introdurremo
in modo costruttivo mediante una formula di recursione. In particolare ci
riferiremo dapprima a S m,T e dopo generalizzeremo la definizione per S m,T,M .
2 B–splines (a nodi semplici)
Per poter introdurre recursivamente le B–splines di ordine k e nodi in T
definite in [a , b] = [τ 0 , τ L ], abbiamo bisogno di associare a T il cosiddetto
vettore esteso dei nodi T
T := {t i , i = 0, . . . , n + k} ,
dove n + 1 = k + (L − 1) = dim(S m,T ) , t i ≤ t i+1 e
{t k−1 , . . . , t n+1 } = {τ 0 , . . . , τ L } . (6)
I primi k − 1 nodi t 0 , . . . , t k−2 si dicono nodi ausiliari sinistri così come gli
ultimi k − 1 si dicono ausiliari destri e possono essere scelti arbitrariamente
purché non decrescenti (anche tutti coincidenti). Essi costituiscono un ausilio
necessario per la definizione delle B-splines che definiremo recursivamente. A
tale scopo indicheremo con N i,r (t) la i–esima B–spline di ordine r , r ≥ 1 e
siamo interessati al terminea definire le N i,k (t), i = 0, . . . , n. Definiamo quindi
innanzitutto le B–splines N i,1 (t), i = 0, . . . , n + k − 1, t ∈ IR di ordine 1 che
sono le seguenti funzioni non negative “a scalino” ,
N i,1 (t) =
{ 1 se t ∈ [ti , t i+1 ) ,
0 altrimenti .
(7)
3 Questo è il motivo per esempio per cui non si usano per calcoalare le spline cubiche
interpolanti nei nodi.
5

Osserviamo che formalmente (7) implica che se t i = t i+1 , la N i,1 (t) è identicamente
nulla.
A partire dalle B-splines di ordine 1 e riferendoci sempre al vettore esteso dei
nodi T, è possibile recursivamente definire come segue le B–splines N i,r (t), i =
0, . . . , n + k − r di ordine r ≤ k,
N i,r (t) , = ω i,r (t) N i,r−1 (t) + (1 − ω i+1,r (t)) N i+1,r−1 (t) , i = 0, ..., n + k − r (8)
dove ω i,r (t) è il seguente polinomio lineare (o, eventualmente, identicamente
nullo),
{ t−ti
t
ω i,r (t) := i+r−1 −t i
se t i < t i+r−1 ,
(9)
0 altrimenti.
In questo caso possiamo osservare che dalla definizione discende che la N i,r (t)
è identicamente nulla se t i = · · · = t i+r e anche che per r > 1 risulta N i,r (t i ) =
N i,r (t i+r ) = 0.
Esercizio 2. Scrivere l’espressione analitica e fare il grafico delle B–splines
lineari e quadratiche con vettore esteso dei nodi T = {0 , 1 , 2 , . . . , 4 , 5 , 6} .
Esercizio 3. Verificare che se T = {0, . . . , 0, 1, . . . , 1} con 0 e 1 entrambi
di molteplicità k in T, alllora le B–splines N i,k , i = 0, . . . , k coincidono con i
polinomi di Bernstein B k−1
i (t), i = 0, . . . , k in [0 , 1].
Inoltre per induzione su r, si dimostrano le seguenti proprietà delle B–
splines,
• P1) N i,r (t) = 0 , se t /∈ [t i , t i+r ] , (supporto locale)
• P2) N i,r (t) ≥ 0 , ∀t ∈ IR (non negatività)
• P3)
n+k−r
∑
i=0
N i,r (t) = 1 , ∀t ∈ [t r−1 , t n+1+k−r ] , r = 1, . . . , k.
La proprietà P1) giustifica perché il sottoinsieme
N r
i := {t i , · · · , t i+r } (10)
di T viene detto insieme dei nodi attivi per la B–spline N i,r (t). Poiché le
proprietà P1) e P2) sono immediate da verificare, dimostriamo qui solo la
P3).
6

Dimostrazione : Sia quindi r = 1 e t ∈ [t 0 , t n+k ]. Se t = t n+k , tutte le B–
splines di ordine 1 si annullano in t ad eccezione dell’ultima che vale proprio
1. Supponiamo quind t ≠ t n+k . Allora esisterà t i ∈ T con i ≤ n + k − 1 e
t i < t i+1 tale che t ∈ [t i , t i+1 ). Quindi dalla definizione segue che N i,1 (t) = 1 e
N j,1 (t) = 0 se j ≠ i. Quindi segue l’asserto per r = 1. Supponiamo quindi che
esso valga per r − 1 e facciamo vedere che vale anche per r. Dalla definizione
recursiva si ha
n+k−r
∑
i=0
N i,r (t) =
∑
n+k−r
i=0
[ω i,r (t) N i,r−1 (t) + (1 − ω i+1,r (t)) N i+1,r−1 (t)] .
Ma, se t ∈ [t r−1 , t n+1+k−r ), allora sarà necessariamente N 0,r−1 (t) = 0 e
N n+k−r+1,r−1 (t) = 0. Quindi, raccogliendo a secondo membro rispetto alle
B-splines, si ottiene
n+k−r
∑
i=0
N i,r (t) =
n+k−r
∑
i=1
N i,r−1 (t) =
n+k−r+1
∑
i=1
N i,r−1 (t) = 1 . (11)
Si osservi che se t = t n+1+k−r e r > 2 la catena di uguaglianze in (11) vale
ancora. Inoltre, se r = 2 e t = t n+k−1 , si ha invece che N n+k−r+1,r−1 (t) =
N n+k−1,1 (t) = 1 e ω n+k−1,1 (t) = 0. Quindi in questo caso si ottiene che in
(11) vale l’uguaglianza fra il primo e il terzo termine che in effetti si riduce
all’ultimo addendo pari a 1.
Definiamo allora il seguente spazio lineare S k,T di funzioni definite in [a , b]
e generato dalle B–splines,
S k,T := 〈N 0,k , · · · , N n,k 〉 . (12)
Siamo interessati a far vedere, dimostrando il Teorema di Curry–Shoenberg,
che esso risulta coincidente con S m,T , m = k − 1 che ha dimensione proprio
n + 1. Da ciò potremo quindi dedurre che le B–splines N i,k , i = 0, . . . , n ne
costituiscono proprio una base. Organizziamo la dimostrazione in due parti.
Parte 1: Π k−1 ⊆ S k,T
Dimostrazione : Dimostriamo l’asserto provando la seguente identitità,
detta identitità di Mardsen,
n∑
(x − θ) k−1 = ψ j,k (θ) N j,k (x) , ∀x ∈ [a , b] , ∀θ ∈ IR ,
j=0
7

dove ψ j,k (θ) è il seguente polinomio di grado k − 1,
ψ j,k (θ) :=
k−1
∏
(t j+r − θ) .
r=1
La dimostrazione è ancora per induzione su k. Se k = 1, si ha che ∀j, ψ j,1 (θ) =
1, ∀θ ∈ IR. Quindi, avendo dimostrato che le B–splines di ordine k formano in
[a , b] = [t k−1 , t n+1 ] una partizione dell’unità, segue la validità dell’asserto.
Supponiamo ora che esso sia valido per k − 1 e facciamo vedere che allora
vale anche per k. Usiamo quindi a tale scopo la definizione recursiva delle
B–splines, ottenendo
n∑
ψ j,k (θ) N j,k (x) =
j=0
n∑
ψ j,k (θ) [ω j,k (x) N j,k−1 (x)+(1−ω j+1,k (x)) N j+1,k−1 (x)] .
j=0
Tenendo conto che per x ∈ [a , b) risulta N 0,k−1 (x) = N n+1,k−1 (x) = 0 (ciò
è vero anche in b se k > 2), raccogliendo a secondo membro rispetto alle
B–splines di ordine k − 1 e indicando con Ms il membro sinistro, si ottiene,
Ms =
n∑
[ψ j,k (θ) ω j,k (x) + ψ j−1,k (θ) (1 − ω j,k (x)) ] N j,k−1 (x) .
j=1
Raccogliendo quindi in ciascun addendo a secondo membro il massimo comun
divisore fra ψ j,k e ψ j−1,k che è ψ j,k−1 e ricordando la definzione di ω j,k (x), si
ha
n∑
Ms = ψ j,k−1 (θ) [(t j+k−1 − θ) ω j,k (x) + (t j − θ) (1 − ω j,k (x)) ] N j,k−1 (x) =
j=1
n∑
ψ j,k−1 (θ) [(t j+k−1 − t j ) ω j,k (x) + (t j − θ) ] N j,k−1 (x) =
j=1
n∑
ψ j,k−1 (θ) (x − θ) N j,k−1 (x) = (x − θ)
j=1
n∑
ψ j,k−1 (θ) N j,k−1 (x) .
Per induzione si completa quindi la dimostrazione (analizzare separatamente
il caso k = 2, x = b).
Si osservi che per, l’arbitrarietà di θ, l’identità di Mardsen implica che Π k−1 ⊆
S k,T .
8
j=1

Parte 2: Le potenze troncate (x − t i ) k−1
+ , i = k, . . . , n appartengono a S k,T ,
essendo
(x − t i ) k−1
+ =
n∑
ψ j,k (t i ) N j,k (x) , ∀x ∈ [a , b] , i = k, . . . , n . (13)
j=i
Dimostrazione : Consideriamo una potenza troncata (x−t i ) k−1
+ , i = k, . . . , n.
Da Mardsen sappiamo che
(x − t i ) k−1 =
n∑
ψ j,k (t i ) N j,k (x) , ∀x ∈ [a , b] .
j=0
Osserviamo però che, se i − k < j < i, risulta per definizione ψ j,k (t i ) = 0.
Quindi
∑i−k
(x − t i ) k−1 = ψ j,k (t i ) N j,k (x) +
j=0
n∑
ψ j,k (t i ) N j,k (x) ∀x ∈ [a , b] .
j=i
Ricordando la definizione di potenza troncata e ricordando che la B–spline
j–esima di ordine k ha supporto compatto pari a [t j , t j+k ], da ciò segue
facilmente la validità della relazione in (13).
Osserviamo che da quanto dimostrato segue necessariamente che S k−1,T =
S k,T , che le B–splines N i,k , i = 0, . . . , n sono polinomiali a tratti di grado k−1
con nodi in T e regolarità C k−2 in [a , b] e che esse costituiscono una base di
S k−1,T . Inoltre, sempre per induzione su k, si può dimostrare che, per k > 2,
la derivata di N i,k si può scrivere come segue,
dN i,k
(t) = (k − 1) [ N i,k−1(t)
− N i+1,k−1(t)
] .
dt
t i+k−1 − t i t i+k − t i+1
3 B–splines (a nodi multipli)
Le B–splines possono essere generalizzate in modo da definire una base per lo
spazio S m,T ,M . In particolare occorre generalizzare la definizione del vettore
esteso dei nodi introdotto in (6) come segue,
{ }} { { }} {
T := {t k−1 , . . . , t n+1 } = {τ 0 , τ 1 , . . . , τ 1 , . . . , τ L−1 , . . . , τ L−1 , τ L } ,
9
m 1
m L−1

dove si assume 1 ≤ m i ≤ k, i = 1, . . . , L − 1 e m i ∈ IN dicesi molteplicità del
nodo τ i nel vettore esteso dei nodi. T è quindi un vettore in cui ogni nodo
interno τ i di T è ripetuto m i volte e che al solito ingloba i nodi ausiliari.
Osserviamo poi che risulta n − k + 3 = µ + 2, cioè n + 1 = µ + k che è
la dimensione di S m,T ,M e quindi siamo interessati sempre a definire n +
1 B–splines N i,k , i = 0, . . . , n, di ordine k. A tale scopo si usa sempre la
definizione recursiva introdotta in (8) nella sezione precedente, dove le N i,1 (t)
sono sempre definite come in (7). Si osservi che la presenza in T di nodi t i
tali che sia almeno t i = t i+1 anche per k < i < n (corrispondenti a nodi
multipli in T ), fa sì che per qualche r il polinomio ω i,r (t) usato in (8) possa
essere identicamente nullo e ciò determina una riduzione della regolarità di
tutte le B–splines N j,k il cui insieme di nodi attivi contiene il nodo t i con
molteplicità maggiore di 1. Più precisamente si dimostra che, se in nodo t i
ha molteplicità l in Nj r , allora la B–spline N j,r in t i è C r−l−1 .
Esercizio 4. Ricavare l’espressione analitica delle B–splines N 2,2 , N 3,2 e di
N 1,3 , N 2,3 , N 3,3 e farne il grafico in IR con T = {0 , 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 , 6} .
Esercizio 5. Ricavare T e M a partire dal vettore esteso dei nodi definito
nell’esercizio precedente per k = 2 e per k = 3 e dire quindi su quale intervallo
[a , b] della retta reale le B–splines di ordine k definibili mediante T formano
una base per S k−1,T,M .
Per quanto riguarda le B–splines a nodi multipli, ossia definite relativamente
al vettore esteso dei nodi T come detto sopra, è possibile dimostrare
che valgono ancora le proprietà P1), P2) e P3). Inoltre si dimostra con
tecniche simili a quelle utilizzate per le B–splines classiche la validità del teorema
di Curry–Shoenberg che asserisce in questo caso che lo spazio S k−1,T ,M
coincide con S k,T e che le B–splines ne costituiscono ancora una base.
Osservazione 1. Data l’arbitrarietà con cui si possono definire i nodi ausiliari
sinistri e destri in T, in genere si tende a fare la seguente scelta di nodi
ausiliari multipli,
t 0 = · · · = t k−2 = t k−1 = a , b = t n+1 = · · · = t n+2 = t n+k . (14)
Esercizio 6. Verificare che la scelta (14) garantiscel’annullamento di tutte
le B–splines di ordine k in a e in b, rispettivamente ad eccezione di N 0,k che
in a vale 1 e di N n,k che in b vale 1.
10

Fissato quindi l’ordine k delle splines con le quali si vuole lavorare (ossia il
grado m = k −1) e il vettore dei nodi T e il relativo vettore delle molteplicità
M (e di conseguenza fissato il vettore esteso dei nodi T ), una qualunque spline
s appartenente a S k−1,T ,M si può univocamente rappresentare mediante la
base delle B–spline,
n∑
s(t) = c i N i,k (t), t ∈ [a , b] .
i=0
Tale rappresentazione delle funzioni di S k−1,T ,M viene usualmente detta B–
form.
Esercizio 7. Utilizzare il comando spmak del toolbox splines del Matlab per
definire una spline in un fissato spazio S k−1,T ,M in B–form. Farne quindi il
grafico dopo averla tabulata.
Nelle sezioni seguenti per semplicità indicheremo sempre con S k,T uno
spazio di splines, facendo quindi riferimento alla loro rappresentazione in
B–form.
4 Interpolazione e approssimazione ai minimi
quadrati in S k,T
Le splines costituiscono una generalizzazione estremamente duttile dei polinomi
pur mantenendone la facilità di impego. Questo spiega perchè esse abbiano
largo impiego sia nell’ambito dell’approssimazione che in quello delle
applicazioni grafiche.
Per quanto riguarda l’interpolazione, siamo innanzi tutto interessati a
stabilire se esiste ed è unica la spline s appartenente a S k,T tale che
s(x j ) = f j , j = 0, . . . , n , (15)
dove a ≤ x 0 < · · · < x n ≤ b (con a = t k−1 e b = t n+1 ), e dove f j denota
il valore noto assunto in x j dalla funzione f(x) da interpolare. Al solito
le ascisse x i , i = 0, . . . , n, si dicono ascisse di interpolazione. Ovviamente,
usando la B–form per rappresentare s, il problema si riconduce a stabilire se
è nonsingolare la seguente matrice A di dimensione (n + 1) × (n + 1),
⎛
⎞
A :=
⎜
⎝
N 0,k (x 0 ) · · · N n,k (x 0 )
. . .
N 0,k (x n ) · · · N n,k (x n )
11
⎟
⎠ , (16)

detta matrice di collocazione delle B–splines nelle ascisse x i , i = 0, . . . , n.
Infatti le condizioni di interpolazione in (15) corrispondono ad imporre il
seguente sistema lineare,
Ac = f ,
dove c := (c 0 , , · · · , c n ) T è il vettore delle incognite corrispondenti ai coefficienti
di s in B–form e f := (f 0 , , · · · , f n ) T è il termine noto del sistema.
Ora, a differenza di quanto accade per l’interpolazione polinomiale, è facile
dimostrare che nel caso delle splines la sola ipotesi di ascisse di interpolazione
distinte non è sufficiente a garantire la nonsingolarità della matrice
A e quindi l’esistenza e l’unicità della spline interpolante. Se per esempio si
scelgono tutte le ascisse x i < t n , i = 0, . . . , n, l’ultima colonna di A è tutta
nulla e quindi necessariamente A risulterà singolare. E’ quindi evidente che,
per garantire la nonsingolarità di A sarà necessario assumere delle restrizioni
sulle ascisse di interpolazione legate alla distribuzione del vettore dei nodi.
Nel seguito, per k > 1, faremo sempre riferimento al caso di molteplicità
m i < k, i = 1, . . . .L − 1. Il teorema fondamentale a questo riguardo risulta
essere il cosiddetto teorema di Witney–Schoenberg,
Teorema 1. La matrice di collocazione A delle B–splines definita in (16)
risulta nonsingolare sse le ascisse di interpolazione x i , i = 0, . . . , n, oltre ad
essere distinte (e ordinate in senso crescente), verificano le seguenti disuguaglianze
(dette di Witney–Schoenberg) ,
N i,k (x i ) > 0 , i = 0, . . . , n . (17)
Dimostrazione :
Facciamo intanto vedere che le condizioni in (17) sono necessarie. Supponiamo
allora per assurdo che esista x i tale che N i,k (x i ) = 0 , e supponiamo
che sia x i ≤ t i (il caso x i ≥ t i+k si tratta analogamente). Allora avremmo che
sarebbe anche N j,k (x i ) = 0 , ∀j ≥ i. Ma essendo le ascisse di interpolazione
ordinate in senso crescente, ciò implicherebbe N j,k (x r ) = 0 , ∀j ≥ i, ∀r ≤ i .
La matrice di collocazione A introdotta in (16) sarebbe quindi una matrice
a blocchi del tipo
( )
A1,1 0
A =
, (18)
A 2,1 A 2,2
con il blocco nullo di dimensione (i + 1) × (n − i + 1) . Essendo il blocco
A 2,2 costituito da (n − i) righe, le ultime (n − i + 1) colonne della matrice
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A sarebbero necessariamente linearmente dipendenti e quindi la matrice A
sarebbe singolare.
Facciamo allore ora vedere che le condizioni in (17) sono anche sufficienti.
Osserviamo che nel caso particolare di k = 1 le condizioni (17) significano
t i ≤ x i < t i+1 , i = 0, . . . , n. In questo caso la matrice A coincide con la
matrice identità e quindi è nonsingolare.
Se k > 1, osserviamo che le condizioni in (17) equivalgono a t i < x i <
t i+k , i = 0, . . . , n (con la possibilità di x 0 = t 0 (x n = t n+k ) nel caso di nodi
ausiliari multipli). Tuttavia facciamo vedere che, senza perdita di generalità,
si può assumere t i+1 ≤ x i ≤ t i+k−1 , i = 0, . . . , n. Infatti nel caso esistesse
una ascissa di interpolazione x i tale che per esempio x i < t i+1 , allora la
matrice A definita in (16) sarebbe una matrice triangolare a blocchi con due
blocchi diagonali quadrati rispettivamente di dimensione i+1 e n−i e quindi
la sua nonsingolarità si otterrebbe dimostrando la nonsingolarità di queste
due sottomatrici. Il raginamento potrebbe essere ripetuto iterativamente
fino ad arrivare a considerare valida l’ipotesi suddetta. Osserviamo che nel
caso k > 2 si può assumere addirittura, senza perdita di generalità, che
t i+1 < x i < t i+k−1 , i = 0, . . . , n.
Per k = 2 assumiamo quindi x i = t i+1 . Allora risulta N i,2 (x i ) = 1 e
N i,2 (x j ) = 0 se j ≠ i. quindi la matrice A coincide con la matrice identità che
è ovviamente nonsingolare. Consideriamo quindi il caso k ≥ 3, supponendo
t i+1 < x i < t i+k−1 , i = 0, . . . , n. Osserviamo che ciò implica anche che
m i ≤ k − 2, i = 1, . . . , L − 1 e quindi che S k,T,M ⊂ C 1 [a , b]. Ora, se per
assurdo la matrice A fosse singolare, esisterebbe un vettore c ∈ IR n+1 non
identicamente nullo tale che Ac = 0, cioé esisterebbe una spline s ∈ S k,T,M
non identicamente nulla che si annullerebbe nelle (n + 1) ascisse distinte
x i , i = 0, . . . n tali che t i+1 < x i < t i+k−1 . Dal teorema di Rolle seguirebbe
allora che esisterebbero n ascisse distinte y i , i = 0, . . . , n − 1, tali che t i+1 <
x i < y i < x i+1 < t i+k , ossia tali che t i+1 < y i < t i+k , i = 0, . . . , n − 1 nelle
quali dovrebbe annullarsi s ′ ∈ S k−1,T ′ ,M con T ′ = {t 1 , . . . , t n+k−1 }. Quindi,
se k = 3 si arriverebbe ad un assurdo in quanto le ascisse y i , i = 0, . . . , n − 1,
verificano le condizioni di Witney–Schoenberg relativamente all’ordine k − 1
per T ′ . Se k > 3 si può quindi fare la dimostrazione per induzione.
Osservazione 2. Se k > 1 e m i < k, i = 1, . . . , L − 1 e le ascisse di interpolazione
sono scelte come le cosiddette ascisse di Greville definite mediante
i nodi come segue,
x i := (t i+1 + · · · + t i+k−1 )/(k − 1) , i = 0 , . . . , n ,
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allora le condizioni di Witney–Schoenberg sono verificate. Infatti in tal caso,
essedo i nodi in T non decrescenti e al più di molteplicità k − 1 necessariamente
t i < x i < t i+k e quindi valgono le disuguaglianze in (17).
Osserviamo inoltre che nel caso lineare (k = 2) a nodi semplici n = L
e quindi i nodi τ 0 = t 1 , . . . , τ L = t n+1 sono esattamente tanti quante sono
le condizioni di interpolazione. In tal caso, scegliendo x i = τ i , i = 0, . . . , n,
le condizioni (17) sono sicuramente verificate e quindi la spline lineare a
nodi semplici interpolante nei nodi risulta univocamente determinata (il
suo grafico altro non è che la spezzata che congiunge i punti di coordinate
(x i , f i ), i = 0, . . . , n). Se però k > 2, risulta L = n − k + 2 < n e quindi se ci
si limita a considerare condizioni di interpolazione nei nodi non si hanno sufficienti
condizioni per caratterizzare la spline. Le splines cubiche interpolanti
nei nodi per esempio richiedono 2 condizioni ausiliari opportune che vengono
assegnate agli estremi a = t k−1 e b = t n+1 .
Per quanto riguarda l’approssimazione ai minimi quadrati, date m ≫ n
ascisse x i , i = 0, . . . , m siamo interessati a determinare la spline s ∈ S k,T,M
tale che sia minima la seguente quantità detta residuo,
m∑
(f i − s(x i )) 2 .
i=0
Rappresentando s in B–form attraverso il vettore dei coefficienti c = (c 0 ,
· · · , c n ) T , tale problema può essere formalizzato come segue,
min ‖f − Ac‖2
c∈IR n+1
dove ora A è una matrice rettangolare di dimensione (m + 1) × (n + 1) che
sempre colloca le B–splines in tutte le ascisse x i , i = 0, . . . , m. Sappiamo
quindi dall’algebra lineare che il problema ammette soluzione unica se la matrice
A ha rango massimo (n + 1) (e tale soluzione si calcola utilizzando la
fattorizzazione QR di A). Il rango massimo pari a (n + 1) risulta garantito
se è possibile estrarre (n + 1) righe da A tali che la corrispondente matrice
quadrata A n+1 risulti non singolare. Ciò significa che deve esistere una sottosequenza
x ij , j = 0, . . . , n di x i , i = 0, . . . , m, che verifichi le condizioni di
Witney–Schoenberg, ossia tale che t j < x ij < t j+k , per j = 0, . . . , n.
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References
[1] C de Boor (2001), A Practical Guide to Splines, Revised edition,
Applied Mathematical Sciences 27, Springer–Verlag, New York.
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