esercitazione 10: integrali definiti, polinomio di taylor e teorema di ...

e l’intersezione con f(x), per x > 0, è la soluzione (positiva) del sistema
√
1 − x 2 = √ x
cioè è il punto a = −1+√ 5
2
. Poiché entrambe le funzioni sono pari, l’area
cercata è pari a
A(S) = 2
∫ a
= | x=sin t 2 (∫ arcsin a
Dunque l’area della regione cercata è
=
0
0
(√
1 − x 2 − √ x ) dx
cos 2 tdt − 2 3 x 3
2 ∣ a )
0
[
sin t cos t + t
] arcsin a
0
− 4 3 a 3 2
= 2a cos(arcsin a) + arcsin a − 4 3 a 3 2
= 2a √ 1 − a 2 + arcsin a − 4 3 a 3 2 .
A(R) = π − A(S) .
ESERCIZIO 2
(a) È una forma indeterminata del tipo [ 0
0]
, applichiamo il teorema fondamentale
del calcolo integrale e il teorema di De l’Hopital:
lim
x→0
(b) Come nel caso (a) ,
∫
1 x
e x2 − 1
x 3 (e t2 − 1)dt = lim
x→0 3x 2 = 1 3
0
.
lim
x→0
∫
1 x 2
log(1 + sin x 2 )2x
x 4 log(1 + sin t)dt = lim
0
x→0 4x 3
log(1 + sin x 2 ) 2x sin x 2
= lim
x→0 sin x 2 4x 3 = 1 2
(c) Forma indeterminata [1 ∞ ]
sin x 1
cos 2 x = e 1
cos 2 x log(sin x) ,
.
e
lim
x→ π 2
1
cos 2 x log(sin x) = [0 0 ] .
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