Asintoti come limiti di tangenti
Asintoti come limiti di tangenti Asintoti come limiti di tangenti
Dimostrazione Applicando ancora il teorema di de L'Hospital alle funzioni f(x) e g(x)=x (il lim f(x) esiste per ipotesi, e non può essere finito, altrimenti lim f'(x) = x→+∞ lim x→+∞ f'(x) 1 lim x→+∞ = x →±∞ f(x) = m =0 , quindi = ±∞ x lim f(x) x→±∞ lim x→+∞ f(x) = m x ) si ha 2.8 OSSERVAZIONE. L' ipotesi relativa all'esistenza di nel quale non esiste lim f' (x) . x →+∞ lim f' x →+∞ (x) è essenziale, come risulta dal seguente esempio Esempio 1: f(x) x + sen x ⎛ sen x ⎞ f(x)= x + sen x lim = lim = lim ⎜1 + ⎟ = 1 x→+∞ x x→+∞ x x→+∞⎝ x ⎠ f'(x)= 1 + cos x lim f'(x) = lim ( 1+ cos x) = ¬∃ x→+∞ x→+∞ GRAFICO DI f(x) GRAFICO DI f'(x) Si noti che in questo caso la funzione f(x) non ha un asintoto obliquo, infatti il limite per determinare q non esiste: lim x→+∞ ( x + sen x − x) = lim sen x = ¬∃ x→+∞
Si potrebbe essere indotti a pensare che la prop. 2.2 non si inverta in questo caso proprio per la mancanza dell'asintoto obliquo; ma non è così come risulta dal prossimo esempio. Esempio 2 f(x)= 1 x f(x) x ⎛ sen x + ⎝ x 2 2 ⎛ 2 ⎞ x + sen x lim = lim ⎜ x + sen x = lim 1 = 1 x x x ⎜ 2 ⎟ →+∞ →+∞ →+∞ ⎝ 1 x 1 ⎟ ⎠ x ⎞ ⎠ =m lim x→+∞ 1 x ⎛ 1 ⎜ ⎝ x 2 2 ( f(x) - x) = lim x + sen x - x = lim sen x = 0 x→+∞ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ x→+∞ ⎞ ⎟ ⎠ =q dunque la funzione f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y=x 2 2 2 sen x ⎛ 2 sen x ⎞ f'(x)= 1+ 2cosx − lim f'(x) = lim = ¬∃ 2 x ⎜1+ 2cosx − ⎟ x→+∞ x→+∞ 2 ⎝ x ⎠ In questo esempio si vede come l'esistenza dell'asintoto obliquo non comporti necessariamente l'esistenza del limite: lim f' (x) . x →+∞
- Page 1 and 2: ASINTOTI COME LIMITI DI TANGENTI AN
- Page 3 and 4: G P Q H Cioè: lim Dist(P;H) = 0 x
- Page 5 and 6: m 2 m retta r m 1 ( x 0 ; f(x 0 ) )
- Page 7: = lim x→+∞ [(n 1)a b − a nb ]
Si potrebbe essere indotti a pensare che la prop. 2.2 non si inverta in questo caso proprio<br />
per la mancanza dell'asintoto obliquo; ma non è così <strong>come</strong> risulta dal prossimo esempio.<br />
Esempio 2<br />
f(x)=<br />
1<br />
x<br />
f(x)<br />
x<br />
⎛ sen x +<br />
⎝ x<br />
2<br />
2<br />
⎛<br />
2 ⎞<br />
x + sen x lim = lim ⎜ x + sen x = lim 1 = 1<br />
x<br />
x<br />
x<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
→+∞<br />
→+∞<br />
→+∞<br />
⎝<br />
1<br />
x<br />
1 ⎟<br />
⎠ x<br />
⎞<br />
⎠<br />
=m<br />
lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
x<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
2<br />
2<br />
( f(x) - x) = lim x + sen x - x = lim sen x = 0<br />
x→+∞<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
x→+∞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
=q<br />
dunque la funzione f(x) ha un asintoto obliquo <strong>di</strong> equazione y=x<br />
2<br />
2<br />
2 sen x<br />
⎛<br />
2 sen x ⎞<br />
f'(x)= 1+ 2cosx −<br />
lim f'(x) = lim<br />
= ¬∃<br />
2<br />
x<br />
⎜1+<br />
2cosx −<br />
⎟<br />
x→+∞<br />
x→+∞<br />
2<br />
⎝<br />
x ⎠<br />
In questo esempio si vede <strong>come</strong> l'esistenza dell'asintoto obliquo non comporti<br />
necessariamente l'esistenza del limite: lim f' (x) .<br />
x →+∞
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