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Dimostrazione<br />
Applicando ancora il teorema <strong>di</strong> de L'Hospital alle funzioni f(x) e g(x)=x (il lim f(x) esiste<br />
per ipotesi, e non può essere finito, altrimenti<br />
lim f'(x) =<br />
x→+∞<br />
lim<br />
x→+∞<br />
f'(x)<br />
1<br />
lim<br />
x→+∞<br />
=<br />
x →±∞<br />
f(x)<br />
= m =0 , quin<strong>di</strong> = ±∞<br />
x<br />
lim f(x)<br />
x→±∞<br />
lim<br />
x→+∞<br />
f(x)<br />
= m<br />
x<br />
) si ha<br />
2.8 OSSERVAZIONE.<br />
L' ipotesi relativa all'esistenza <strong>di</strong><br />
nel quale non esiste<br />
lim f' (x) .<br />
x →+∞<br />
lim f'<br />
x →+∞<br />
(x)<br />
è essenziale, <strong>come</strong> risulta dal seguente esempio<br />
Esempio 1:<br />
f(x) x + sen x ⎛ sen x ⎞<br />
f(x)= x + sen x lim = lim = lim ⎜1<br />
+ ⎟ = 1<br />
x→+∞<br />
x x→+∞<br />
x x→+∞⎝<br />
x ⎠<br />
f'(x)= 1 + cos x lim f'(x) = lim ( 1+<br />
cos x) = ¬∃<br />
x→+∞<br />
x→+∞<br />
GRAFICO DI f(x)<br />
GRAFICO DI f'(x)<br />
Si noti che in questo caso la funzione f(x) non ha un asintoto obliquo, infatti il limite per<br />
determinare q non esiste:<br />
lim<br />
x→+∞<br />
( x + sen x − x) = lim sen x = ¬∃<br />
x→+∞
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