Asintoti come limiti di tangenti
Asintoti come limiti di tangenti Asintoti come limiti di tangenti
2.2 PROPOSIZIONE Sia f(x) continua e derivabile in un intervallo (a; +∞), e m≠0 allora: lim f'(x) x →+∞ f(x) =m ⇒ lim = m x→+∞ x Dimostrazione Applicando il teorema di de L'Hospital alle funzioni f(x) e g(x)=x (è facile vedere che valgono tutte le ipotesi del teorema, in particolare lim f(x) = ±∞ si ha per la prop. 2.1) si ha: lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ x→±∞ f'(x) = m 1 2.3 OSSERVAZIONE. Vale il viceversa? La risposta è affermativa per le funzioni razionali fratte.. 2.4 PROPOSIZIONE Sia f(x) una funzione razionale fratta e m≠0, allora lim x→+∞ f(x) = m x ⇒ lim f' (x) =m x →+∞ Dimostrazione Essendo lim x→+∞ f(x) = m ≠0 , la funzione razionale fratta è del tipo: x P(x) Q(x) a = b n+ 1 n x x n+ 1 n + .. + a + .. + b 0 0 ed inoltre m = lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ a n+ 1 b n x x n+ 1 n + .. + a + .. + b 0 0 1 x = lim x→+∞ a b x n+ 1 n+ 1 n+ 1 nx + .. + a + .. + b 0 0 x a = b n+ 1 n Calcolando lim f'(x) x →+∞ = lim lim f' x →+∞ x→+∞ (x) si ottiene: n n n+ 1 n-1 [(n + 1)an+ 1x + .. + a1]( bnx + .. + b0 ) − ( an+ 1x + .. + a0 )( nbnx + .. + b1) n ( b x + .. + b ) 2 n 0 =
= lim x→+∞ [(n 1)a b − a nb ] 2n + n+ 1 n n+ 1 n x an+ 1b n an+ = lim = 2 2n 2 b x x→+∞ b b n n n 1 = m Nella proposizione che segue si vede che le domande poste all'inizio hanno per le funzioni razionali fratte una risposta affermativa. 2.5 PROPOSIZIONE Una funzione razionale fratta f(x) ha un asintoto obliquo sse Dim. lim f' (x) = m≠0 x →+∞ Se f(x) ha un asintoto obliquo allora lim x→+∞ f(x) = m ≠0 e quindi per la prop 2.4 si ha: x lim f'(x) = m. x →+∞ f(x) Viceversa se lim f' (x) = m≠0 , ancora per la prop. 2.4 si ha lim = m ; ma nel caso x →+∞ x→+∞ x delle funzioni razionali fratte questo comporta necessariamente l'esistenza di un numero q tale che: lim x →+∞ ( f(x) - mx) .= q , da cui l'esistenza dell'asintoto obliquo di equazione: y=mx+q 2.6 OSSERVAZIONE. La prop 2.2 si può invertire in generale aggiungendo l'ipotesi dell'esistenza dei limiti lim f(x) x →+∞ e lim f' (x) . x →+∞ 2.7 PROPOSIZIONE Sia f(x) continua e derivabile in un intervallo (a; +∞) e m≠0 ed inoltre esistano lim f'(x) x →+∞ , allora lim f(x) x →+∞ e lim x→+∞ f(x) = m x ⇒ lim f' (x) =m x →+∞
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- Page 3 and 4: G P Q H Cioè: lim Dist(P;H) = 0 x
- Page 5: m 2 m retta r m 1 ( x 0 ; f(x 0 ) )
- Page 9 and 10: Si potrebbe essere indotti a pensar
2.2 PROPOSIZIONE<br />
Sia f(x) continua e derivabile in un intervallo (a; +∞), e m≠0 allora:<br />
lim f'(x)<br />
x →+∞<br />
f(x)<br />
=m ⇒ lim = m<br />
x→+∞<br />
x<br />
Dimostrazione<br />
Applicando il teorema <strong>di</strong> de L'Hospital alle funzioni f(x) e g(x)=x (è facile vedere che<br />
valgono tutte le ipotesi del teorema, in particolare lim f(x) = ±∞ si ha per la prop. 2.1)<br />
si ha:<br />
lim<br />
x→+∞<br />
f(x)<br />
x<br />
=<br />
lim<br />
x→+∞<br />
x→±∞<br />
f'(x)<br />
= m<br />
1<br />
2.3 OSSERVAZIONE.<br />
Vale il viceversa? La risposta è affermativa per le funzioni razionali fratte..<br />
2.4 PROPOSIZIONE<br />
Sia f(x) una funzione razionale fratta e m≠0, allora<br />
lim<br />
x→+∞<br />
f(x)<br />
= m<br />
x<br />
⇒<br />
lim f' (x) =m<br />
x →+∞<br />
Dimostrazione<br />
Essendo<br />
lim<br />
x→+∞<br />
f(x)<br />
= m ≠0 , la funzione razionale fratta è del tipo:<br />
x<br />
P(x)<br />
Q(x)<br />
a<br />
=<br />
b<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
x<br />
x<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
+ .. + a<br />
+ .. + b<br />
0<br />
0<br />
ed inoltre<br />
m =<br />
lim<br />
x→+∞<br />
f(x)<br />
x<br />
=<br />
lim<br />
x→+∞<br />
a<br />
n+<br />
1<br />
b<br />
n<br />
x<br />
x<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
+ .. + a<br />
+ .. + b<br />
0<br />
0<br />
1<br />
x<br />
=<br />
lim<br />
x→+∞<br />
a<br />
b<br />
x<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
nx<br />
+ .. + a<br />
+ .. + b<br />
0<br />
0<br />
x<br />
a<br />
=<br />
b<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
Calcolando<br />
lim f'(x)<br />
x →+∞<br />
= lim<br />
lim f'<br />
x →+∞<br />
x→+∞<br />
(x)<br />
si ottiene:<br />
n<br />
n<br />
n+<br />
1<br />
n-1<br />
[(n<br />
+ 1)an+<br />
1x<br />
+ .. + a1]( bnx<br />
+ .. + b0<br />
) − ( an+<br />
1x<br />
+ .. + a0<br />
)( nbnx<br />
+ .. + b1)<br />
n<br />
( b x + .. + b ) 2<br />
n<br />
0<br />
=
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