Cinematica del punto materiale

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Problema 1
Una vettura di Formula 1 parte da fermo, con accelerazione costante a per un tratto D=400 m in cui raggiunge la velocitá massima
v f . Al tempo T = 16.5 s ha percorso L=1 km (tutto in rettilineo).
Calcolare: (a) l’accelerazione e (b) la velocità massima. (c) Se si vuole che l’auto si arresti dopo 200 m, che decelerazione
dovranno produrre i freni?
Il moto della macchina si divide in due parti; prima un moto uniformemente accelerato e poi un moto rettilineo ed uniforme.
1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocità in un dato spazio. Sia t 1 il tempo che dura il moto
accelerato. Possiamo scrivere
D= 1 2 at2 1 v f = at 1
1) Moto rettiline ed uniforme. Questo moto avviene a velocità v f , dura un tempo T − t 1 e durante questo moto la macchina
percorre un tratto di strada L−D. Possiamo allora scrivere
L−D=v f (T − t 1 )
Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle tre incognite v f , a e t 1 , che possiamo risolvere facilmente.
Sostituendo la relazione v f = at 1 nelle altre, abbiamo.
E dalla prima di queste si ricava
D= 1 2 at2 1 L−D=at 1 (T − t 1 )
at 1 = 2D
t 1
che sostituita nella seconda ci da una semplice equazione di primo grado in t 1 che vale
Da questa troviamo poi
L−D= 2D
t 1
(T − t 1 ) ⇒ t 1 = 2DT
L+D = 9.43 s
a= 2D
t 2 1
= 9 m/s 2 v f = at 1 = 84.8 m/s
Se vogliamo che la macchina si arresti in d = 200 m, abbiamo un moto uniformemente decelerato con velocità iniziale v f e, se t 2
è il tempo che la macchina impiega a fermarsi, scriveremo
Risolvendo nelle due incognite t 2 e a ′ troviamo
d = v f t 2 − 1 2 a′ t 2 2 0=v f − a ′ t 2
a ′ = v2 f
= 18 m/s2
2d

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Problema 2
Un tram parte dalla fermata A e accelera uniformemente per 30 s fino a raggiungere la velocità v 0 = 36 km/h. Prosegue a questa
velocità per 50 s e inizia a frenare 40 m prima della fermata B dove si arresta.
Calcolare: (a) l’accelerazione iniziale a 0 ; (b) il tempo di viaggio fra A e B; (c) la velocità media fra A e B.
Abbiamo un moto diviso in tre parti
1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocità in un certo tempo
x(t)= 1 2 a 0 t 2
v(t)=a 0 t
Se t 1 è il tempo del moto unif. accelerato, dall’equazione sulla velocità abbiamo
Calcoliamo anche lo spazio percorso, utile dopo.
v(t 1 )=a 0 t 1 = v 0 → a 0 = v 0
t 1
= 0.333 m/s 2
l 1 = 1 2 a 0 t 1 = 1 2 v 0t 1 = 150 m
2) Moto rettilineo uniforme
Calcoliamo lo spazio percorso in t 2 = 50 s
x(t)=v 0 t v(t)=v 0
l 2 = v 0 t 2 = 500 m
3) Moto uniformemente decelerato dove, da una velocità v 0 il tram si ferma in uno spazio l 3 = 40 m.
x(t)=v 0 t− 1 2 a 1 t 2
v(t)=v 0 − a 1 t
Al tempo t 3 la velocità si annulla e cioè
e sostituendo nell’equazione dello spazio troviamo
v(t 3 )=v 0 − a 1 t 3 = 0 → t 3 = v 0
a 1
l 3 = x(t 3 )=v 0 t 3 − 1 2 a 1 t 2 3 = v2 0
2l 3
→ a 1 = v2 0
2l 3
e volendo conoscere t 3
t 3 = v 0
= 2l 3
= 8 s
a 1 v 0
Il tempo totale è la somma dei tre tempi
La velocità media è lo spazio totale diviso il tempo totale, cioè
T tot = t 1 + t 2 + t 3 = 88 s
v= l 1+ l 2 + l 3
t 1 + t 2 + t 3
= f rac150+500+4088=7.84 m/s

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Problema 3
Un punto materiale si muove lungo una retta di moto uniformemente accelerato. Si misura la sua velocità a due istanti successivi,
t 1 = 3 s e t 2 = 9 s trovando v 1 = 10 m/s, v 2 = 8 m/s.
Sapendo che a t = 0 x=0 trovare: (a) l’accelerazione; (b) la velocità iniziale v 0 all’istante t = 0; (c) il valore di x ∗ in cui la sua
velocità si annulla.
Scriviamo le equazioni orarie di un moto uniformemente decelerato
x(t)=v 0 t− 1 2 at2
v(t)=v 0 − at
avendo messo il segno meno nell’equazione sarà a>0. Imponiamo ora che ai tempi t 1 e t 2 la velocità valga v 1 e v 2 rispettivamente.
v(t 1 )=v 0 − at 1 = v 1 v(t 2 )=v 0 − at 2 = v 2
che è un sistema di due equazioni e due incognite (a e v 0 ). Sottraendo la seconda dalla prima abbiamo
e sostituendo tale valore di a nella prima equazione abbiamo
Se t ∗ è l’istante in cui si ferma
v 1 − v 2 = v 0 − a(t 2 − t 1 ) ⇒ a= v 1− v 2
t 2 − t 1
= 0.333 m/s 2
v 0 = v 1 + at 1 = 11 m/s
v(t ∗ )=v 0 − at ∗ = 0 ⇒ t ∗ = v 0
a
che sostituito nell’equazione oraria dello spazio percorso ci da
x ∗ = x(t ∗ )=v 0 t ∗ − 1 2 at∗2 = v2 0
2a = 181.5 m

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Problema 4
Un treno (punto materiale) viaggia dalla stazione di Marina alla stazione di Castello distante 19 km. Partendo da Marina, accelera
con accelerazione costante A fino a raggiungere la velocità V 0 = 39 km/h. Nella fase di accelerazione impiega t a = 4 minuti.
Mantiene poi questa velocità fino a quando si trova ad una distanza L dalla stazione di Castello. Inizia quindi a frenare con
accelerazione A ′ =−2A fino ad arrestarsi a Castello.
(a) Quanto vale la distanza L? (b) Per quanto tempo il treno viaggia a velocità costante? (c) Qual’è la velocità media del treno fra
le due stazioni?
Anche in questo caso abbiamo tre moti successivi diversi
1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocità in un certo tempo
x(t)= 1 2 At2
v(t)=At
Se t 1 = t a è il tempo del moto unif. accelerato, dall’equazione sulla velocità abbiamo
Calcoliamo anche lo spazio percorso, utile dopo.
v(t 1 )=At 1 = V 0 ⇒ A= V 0
t 1
= 0.0451 m/s 2
l 1 = At 1
2 = V 0 t 1
2 = 1300 m
2) Moto rettilineo uniforme in cui vale
l 2 = V 0 t 2
3) Moto uniformemente decelerato dove conosco la velocità iniziale V 0 e la decelerazione e trovo spazio (l 3 ) e tempo (t 3 ) di
frenata.
e per lo spazio percorso
v(t 3 )= V 0 − 2At 3 = 0 ⇒ t 3 = V 0
2A = t 1
2 = 120 s
l 3 = V 0 t 3 − At 2 3 = V 0t 3
2 = 650 m
Per calcolare il tempo in cui il treno viaggia a velocità costante e la velocità media, calcoliamo lo spazio l 2 percorso a v costante,
che vale l 2 = L−l 1 − l 3 = 17050 mt e quindi
t 2 = l 2
L
= 1574 s v= = 9.82 m/s
V 0 t 1 + t 2 + t 3

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Problema 5
Nel salto con sci assistito lo sciatore viene accelerato su un piano inclinato (supposto senza attrito) che funge da trampolino
mediante una massa M e una carrucola (vedi figura). Dati: inclinazione del piano θ=40 o ; massa dello sciatore m=70 kg; massa
del blocco M = 340 kg; altezza del trampolino H = 15 m. Lo sciatore parte da quota zero e la corda e la carrucola sono prive di
massa.
Trovare (a) l’accelerazione dello sciatore sul piano; (b) il modulo della sua velocità quando si stacca dal trampolino; (c) la
lunghezza del salto misurata dalla base del trampolino.
Calcoliamo il tempo che ci mette il proiettile ad arrivare
all’altezza H = 2000 m.

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Problema 6
Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria x(t) = V 0 t− B t 3 (V 0 = 12 m/s). Misurando la velocità al
tempo T = 5 s si trova che ha il valore−V 0 .
Determinare: (a) il valore della costante B; (b) la velocità media nel tempo 0−T; (c) l’accelerazione media nello stesso intervallo.

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Problema 7
Un tram parte da fermo e procede con accelerazione costante per un tratto l 1 = 800 m raggiungendo la velocità V 0 = 48 km/h.
Procede a tale velocità per un tempo t 2 , dopodichè inizia a frenare con accelerazione costante a ′ =−0.4 m/s 2 .
Sapendo che il tempo totale del viaggio è T = 6 min trovare: (a) l’accelerazione iniziale a; (b) il tempo di viaggio a velocità
costante t 2 ; (c) la lunghezza totale del viaggio L.

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Problema 8
Su un circuito di Formula 1 una Ferrari e una Renault compiono il primo giro (lunghezza 1 km) alla stessa velocità media di 144
km/h. La Ferrari ha accelerato con accelerazione costante a 1 per t 1 = 5 s e poi ha continuato a velocità costante v 1 . La Renault ha
accelerato con accelerazione a 2 per t 2 = 6 s portandosi alla velocità v 2 .
Determinare: (a) l’accelerazione della Ferrari; (b) l’accelerazione della Renault; (c) la differenza di velocità v 1 − v 2 .

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Problema 9
Un cannone antiaereo (vedi figura) spara un proiettile con velocità v 0 = 400 m/s e alzo α = 60 o e colpisce un aereo che vola
orizzontalmente alla quota H = 2000 m. Il proiettile è stato sparato un tempo T = 1 s prima che l’aereo passasse sulla verticale
del cannnone.
Trovare: (a) il t ∗ tempo trascorso fra lo sparo e l’impatto del proiettile con l’aereo; (b) la velocità dell’aereo; (c) se l’aereo inizia a
precipitare a quale distanza dal cannone cadrà?
Calcoliamo il tempo che ci mette il proiettile ad arrivare
all’altezza H = 2000 m.
da cui otteniamo
H = v 0 sinαt ∗ − 1 2 gt∗2
t ∗ = v 0 sinα±
√
v 2 0 sin2 α−2gH
Va presa la soluzione col segno meno in quanto corrisponde
alla traiettori ascendente del proiettile, quella più
grande (segno più) alla parte di traiettoria discendente.
Poichè l’aereo transita sulla coordinata x del cannone
dopo un tempo T = 1 s dallo sparo del cannone, la
velocità dell’aereo vale
g
H
t* t=0
α
V 0 = L
t ∗ − T = v 0 cosαt ∗
t ∗ − T
e L è la distanza orizzontale del punto in cui l’aereo è colpito dal cannone.
Una volta colpito, l’aereo fa la traiettoria di un punto materiale con velocità iniziale V 0 diretta lungo x che cade da un’altezza
H = 2000 m. Troviamo il tempo che ci mette per precipitare (da quando è colpito a quando impatta al suolo.
√
H− 1 2H
2 gt2 = 0 ⇒ t =
g
In questo tempo l’aereo percorre lo spazio:
L ′ = V 0 t = V 0
√
2H
g
La distanza totale del punto in cui cade l’aereo dal cannone si ottiene sommando a questa la distanza del punto in cui l’aereo viene
colpito dal cannone
L t ot = v 0 cosαt ∗ + L ′

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Problema 10
Un corpo pesante è lasciato cadere da un altezza H = 2 m rispetto al suolo. Ad una distanza (orizzontale) d = 3 m dalla traiettoria
verticale è posto un piccolo cannone che può sparare in orizzontale ad un’altezza h=30 cm dal suolo (vedi figura). Si vuole che
il cannone colpisca il corpo proprio nel momento che questo arriva al suolo.
Trovare (a) la velocità v 0 con cui il proiettile deve essere sparato; (b) il tempo ∆t che intercorre tra l’istante in cui il corpo viene
lasciato cadere e lo sparo del cannone; (c) l’angolo α tra le due traiettorie al momento dell’impatto al suolo
Sia t 1 il tempo che ci mette il corpo a scendere dall’altezza
H e sia t 2 il tempo che ci mette il proiettile a toccare
il suolo.
t 1 =
√
√
2H
g = 0.6387 s t 2h
2 =
g = 0.2474 s
Da queste ricaviamo la velocitá del proiettile e il ∆t
H
v 0 = d t 2
= 12.13 m/s
∆t = t 2 − t 1 = 0.3913 s
Per calcolare α, calcoliamo dapprima l’angolo θ che il
proiettile forma con l’orizzontale. Le componenti della
velocitá del proiettile al momento dell’impatto
v x = v 0 = 0.6387 s v y =−gt 2 = 2.426 s θ=tan −1 (
vy
v x
)
= 11.31 ◦
L’angolo tra le due traiettorie sarà allora
h
α=90 ◦ − θ= 78.69 ◦
v 0
d
α

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Problema 11
Un corpo pesante, inizialmente fermo, viene lasciato cadere da un’altezza di H = 12 m. Ad una distanza orizzontale d = 4m dal
punto di arrivo del corpo al suolo è posizionato un piccolo cannone che può sparare un proiettile con velocità iniziale v 0 = 12 m/s
e alzo α=60 o (vedi figura). Affinchè il proiettile del cannone colpisca il corpo in volo, calcolare (a) quanto tempo ∆t deve passare
tra l’istante in cui il corpo inizia la sua caduta e lo sparo del cannone; (b) a che altezza h il proiettile colpisce il corpo; (c) quanto
vale la velocità del proiettile al momento in cui colpisce il corpo.
Siano t 1 e t 2 i tempi che impiegano rispettivamente il
proiettile e il corpo in caduta verticale ad arrivare al
punto d’incontro. Possiamo allora scrivere
h = H− 1 2 gt2 2
h = v 0 sinαt 1 − 1 2 gt2 1
d = v 0 cosαt 1
cioè un sistema di tre uqazioni e tre incognite. Dalla
terza ricaviamo subito
H
t 1 =
d
v 0 cosα v 0 = 0.667 s
e sostituendo questo valore nella seconda troviamo
h=v 0 sinαt 1 − 1 2 gt2 1 = 4.75 m
Trovato h dalla prima equazione del sistema troviamo anche t 2
√
2(H− h)
t 2 = = 1.216 s
g
A questo punto il tempo che bisogna aspettare a sparare
col cannone dall’istante che il corpo è stato lanciato vale
h
∆t = t 2 − t 1 = 0.549 s
Per calcolare la velocità del proiettile al momento
dell’impatto passiamo per le componenti
v 0
α
d
v x
v y
= v 0 cosα=6m/s
= v 0 sinα−gt 1 = 3.855 m/s
√
v = v 2 x+ v 2 y = 7.13 m/s

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Problema 12
La velocità di un proiettile sparato da un cannone è v 0 = 50 m/s. Se la gittata vale L = 200 m e la massima altezza raggiunta è
h=103 m , calcolare (a) l’angolo che il cannone forma con l’orizzontale e (b) il tempo di volo del proiettile.
Si calcoli infine (c) per quale altro angolo si ottiene la stessa gittata.
Il problema si risolve...
v 0
000000000000000000
111111111111111111
α
000000000000000000
111111111111111111
L