Operatori differenziali: - Consorzio Elettra 2000

Si osservi che, come già detto in precedenza, le componenti del laplaciano vettoriale non sono i
laplaciani scalari delle componenti del vettore A, come avviene invece in coordinate cartesiane.
b) Coordinate sferiche
Si ricordi che in un riferimento cilindrico si ha u 1 = r, u 2 = θ, u 3 = φ e quindi risulta:
h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = r sinθ
• Gradiente
∇ Φ =
∂Φ ˆi
∂ r
r
+
1
r
∂Φ
∂
ˆi
ϑ
θ
1 ∂Φ
+ ˆi
r sinϑ
∂ϕ
φ
• Divergenza
∇ ⋅ A =
1
2
r
∂
∂ r
2 1 ∂
( r A ) + ( sinϑ
A )
r
r sinϑ
∂ϑ
θ
1 ∂Aφ
+
r sinϑ
∂ϕ
• Rotazionale
∇ × A =
r
2
ˆi
r
sinϑ
∂
∂ r
A
r
ˆi
θ
r sinϑ
∂
∂ϑ
r A
θ
ˆi
ϕ
r
∂
∂ϕ
r sinϑ
A
φ
=
r
2
1 ⎡ ∂
sinϑ
⎢
⎣∂ϑ
∂
( r sinϑ
A ) − ( r A )
φ
∂ ϕ
θ
⎤ ˆ
⎥ i
⎦
r
+
+
+
1
r
⎡∂A
r ∂
ϑ
⎢ −
⎣ ∂ ϕ ∂ r
⎡ 1 ∂A
r ∂
⎢ −
⎣sinϑ
∂ ϕ ∂ r
1
r sin
⎤
θ
( ϑ ) ˆ 1 ⎡∂(r A ) ∂A
r ⎤ 1
r sin A i
ˆ ⎡ ∂
+ − i = ( sinϑ
A )
φ
θ
⎤
θ
( ) ˆ 1 ⎡∂(r A ) ∂A
r ⎤
r Aφ
i
ˆ
θ
+ − iφ
⎥
⎦
⎥
⎦
r
⎢
⎣
r
⎢
⎣
∂ r
∂ r
∂θ
⎥
⎦
∂θ
⎥
⎦
ϕ
r sinϑ
⎢
⎣∂ϑ
φ
∂Aθ
⎤
− ˆi
∂ ϕ
⎥
⎦
r
+
• Laplaciano
∇
2
2
[] = r [] sinϑ
[] []
2
∂
=
∂ r
2
1
2
r
∂ ⎛
⎜
∂ r ⎝
2 ∂
r ∂ r
∂
∂ r
1
2
r
⎞
⎟ +
⎠ r
2
2
∂
2
∂ϑ
1 ∂ ⎛
⎜
sinϑ
∂ϑ
⎝
[] + [] + [] + [] +
[]
r
2
1 ∂
tanϑ
∂ϑ
∂
∂ϑ
⎞
⎟ +
⎠ r
r
2
2
2
1 ∂
2 2
sin ϑ ∂ϕ
2
1 ∂
2 2
sin ϑ ∂ϕ
=
∇ 2 []
L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A espresso
in coordinate sferiche, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano vettoriale in
coordinate sferiche.