Operatori differenziali: - Consorzio Elettra 2000

Operatori differenziali in coordinate curvilinee:
Si consideri un generico sistema di coordinate curvilinee (u 1 ,u 2 ,u 3 ), e siano
versori fondamentali e (h1,h 2 ,h 3 ) i coefficienti metrici.
Si definiscono gli operatori differenziali nel modo seguente:
( ˆ
1,
uˆ
ˆ
2
, u
3
u )
i rispettivi
• Gradiente
• Divergenza
∇ Φ =
1
h
1
∂Φ
uˆ
∂u
1
1
+
1
h
2
∂Φ
uˆ
∂u
2
2
+
1
h
3
∂Φ
uˆ
∂u
3
3
1 ⎡ ∂
∂
∂ ⎤
∇ ⋅ A = ⎢ (h
2h
3A1)
+ (h
3h1A
2
) + (h1h
2A3
) ⎥
h1h
2h
3 ⎣∂u1
∂u
2
∂u
3 ⎦
• Rotazionale
uˆ
ˆ ˆ
1
u
2
u
3
h ˆ ˆ ˆ
1u1
h
2u
2
h
3u
3
h
2h
3
h
3h1
h1h
1
∇ × A = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂
h h h ∂u1
∂u
2
∂u
3
∂u1
∂u
2
∂u
1 2 3
3
h A h A h A h A h A h A
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
=
uˆ
1
h h
2
uˆ
2
+
h h
1
3
⎡ ∂
⎢
⎣∂u
2
2
⎡ ∂
⎢
⎣∂u
• Laplaciano
2 1 ⎡ ∂
∇ = ⎢
h1h
2h
3 ⎣∂
u
∂
(h
3A
3
) −
∂u
1
3
∂
(h
2A
2
) −
∂u
⎤ uˆ
2
(h
2A
2
) ⎥ +
⎦ h
3h1
2
⎤
(h1A1)
⎥
⎦
⎡ ∂
⎢
⎣∂u
3
∂
(h1A1)
−
∂u
1
⎤
(h
3A
3
) ⎥ +
⎦
h1h
2h
3
1
h1h
2h
3
1
h1h
2h
3
[] ⎜ [] ⎟ +
⎜ [] ⎟ +
⎜ []
1
=
h h h
1
2
3
⎡ ∂
⎢
⎣∂
u
1
⎛
⎜
⎝
h
2
h
h
1
∇ 2 []
1
3
⎛
⎜
⎝
∂
∂
u
1
h
2
1
∂
⎞⎤
1 ⎡ ∂ ⎛ h ⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤
3h1
∂ ⎞ 1 ∂ h1h
2 ∂
[] ⎟ +
⎜ [] ⎟ +
⎜ [] ⎟ ⎥⎦
⎟⎥
⎠⎦
∂
u
1
h
1
h
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
2
h
3
h
⎢
⎣∂
1
h
2
u
2
h
3
⎜
⎝
⎡ ∂
⎢
⎣∂
u
h
L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A
espresso in coordinate curvilinee, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano
vettoriale in coordinate curvilinee. Nel caso vettoriale, occorre però tenere presente che in
generale i versori non sono delle costanti, e quindi vanno anch’essi derivati.
2
2
∂
⎛
⎜
⎝
u
2
h
2
2
⎟⎥
⎠⎦
∂
∂
h
u
1
2
h
2
h
3
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
⎢
⎣∂
u
h
3
1
h
⎜
⎝
2
h
h
3
3
⎡ ∂
⎢
⎣∂
u
∂
u
3
3
⎛
⎜
⎝
h
⎟
⎠
2
3
∂
∂
u
3
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
=