Sistemi di equazioni differenziali lineari - Sezione di Matematica

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
DANIELE ANDREUCCI
DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
andreucci@dmmm.uniroma1.it
1. Lo spazio delle soluzioni
Un sistema N × N lineare omogeneo di equazioni differenziali ordinarie è
y ′ 1 = a 11(t)y 1 + a 12 (t)y 2 + · · · + a 1N (t)y N ,
y ′ 2 = a 21(t)y 1 + a 22 (t)y 2 + · · · + a 2N (t)y N , (1.1)
. . .
y ′ N = a N1(t)y 1 + a N2 (t)y 2 + · · · + a NN (t)y N ,
ove le a ij sono assegnate funzioni continue su un certo intervallo J di R, e la
soluzione (y 1 , . . ., y N ) è una N-upla di funzioni C 1 (J).
Con una notazione più compatta, possiamo riscrivere (1.1) come
ove
⎛
⎞
a 11 (t) a 12 (t) . . . a 1N (t)
A(t) = ⎜ a 21 (t) a 22 (t) . . . a 2N (t)
⎟
⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠
a N1 (t) a N2 (t) . . . a NN (t)
y ′ = A(t)y , (1.2)
⎛ ⎞
y 1 (t)
y = y(t) = ⎜ y 2 (t)
⎟
⎝ . . . ⎠ , t ∈ J .
y N (t)
Le soluzioni di (1.2) costituiscono uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni
di somma tra vettori e prodotto per scalari. Più specificamente
Proposizione
∑
1.1. Siano y i , i = 1, . . . , p, soluzioni di (1.2).
p
i=1 c iy i lo è, per ogni scelta di scalari c i ∈ R.
Dimostrazione. Ovviamente
d
p∑ p∑
c i y i = c i y i ′ dt
=
i=1
i=1
p∑
c i A(t)y i = A(t)
i=1
p∑
c i y i .
i=1
Allora anche
Dunque lo spazio vettoriale S delle soluzioni di (1.2) deve avere una base, la cui
cardinalità coincide—per definizione—con la dimensione dello spazio medesimo.
Ricordiamo che p elementi y 1 ,. . . , y p di S si dicono linearmente indipendenti se
e solo se da
c 1 y 1 + c 2 y 2 + · · · + c p y p = 0 , c i ∈ R , i = 1 , . . ., p ,
segue c i = 0 per ogni i. Si osservi però che gli elementi dello spazio vettoriale
S sono funzioni; dunque l’elemento nullo 0 nell’uguaglianza sopra va inteso
come funzione identicamente nulla. Possiamo quindi enunciare la definizione di
1
□

2 DANIELE ANDREUCCI
lineare indipendenza di funzioni in S così: y 1 ,. . . , y p in S si dicono linearmente
indipendenti se e solo se da
c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + · · · + c p y p (t) = 0 , per ogni t ∈ J,
ove i c i sono scalari, segue c i = 0 per ogni i.
Il nostro prossimo passo sarà la determinazione di una base di S, e quindi della
sua dimensione. Useremo il
Lemma 1.1. Siano y i , i = 1,. . . , p soluzioni di (1.2). Allora le y i sono linearmente
indipendenti in S se e solo se i loro valori y i (t 0 ) in un arbitrario fissato
t 0 ∈ J sono linearmente indipendenti come vettori di R N .
Dimostrazione. Equivalentemente, dimostriamo che le y i sono linearmente dipendenti
in S se e solo se i vettori y i (t 0 ) sono linearmente dipendenti in R N .
Siano le y i linearmente dipendenti; allora esistono p scalari, c i , non tutti nulli,
tali che
c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + · · · + c p y p (t) = 0 , per ogni t ∈ J.
Sostituendo in questa uguaglianza t = t 0 si ottiene che i vettori y i (t 0 ) sono linearmente
dipendenti in R N .
Viceversa, supponiamo che i vettori y i (t 0 ) siano linearmente dipendenti in R N .
Allora esistono p scalari, c i , non tutti nulli, tali che
c 1 y 1 (t 0 ) + c 2 y 2 (t 0 ) + · · · + c p y p (t 0 ) = 0 .
Definiamo, per questa scelta degli scalari c i , la funzione
p∑
y(t) = c i y i (t) , t ∈ J .
i=1
La y è una soluzione di (1.2), per la Proposizione 1.1, ed assume il dato di Cauchy
nullo in t 0 . Quindi, per il teorema di unicità, deve essere nulla per ogni t ∈ J.
Ma, visto che i c i non sono tutti nulli, questo implica che le y i sono linearmente
dipendenti in S.
□
Possiamo ora dimostrare
Teorema 1.1. Sia {v i | i = 1, . . ., N} una base di R N (ossia i v i siano N vettori
di R N linearmente indipendenti). Allora le N soluzioni dei problemi di Cauchy:
{
{
{
y 1 ′ = A(t)y 1 , y 2 ′ = A(t)y 2 ,
y
N ′ . . .
= A(t)y N ,
(1.3)
y 1 (t 0 ) = v 1 ; y 2 (t 0 ) = v 2 ;
y N (t 0 ) = v N ;
costituiscono una base di S. Qui t 0 ∈ J è fissato ad arbitrio (ma è lo stesso in
ognuno degli N problemi di Cauchy).
Dimostrazione. Per il Lemma 1.1, le y i , i = 1, . . . , N, sono linearmente indipendenti,
e occorre pertanto solo dimostrare che generano tutto S. In altri termini,
vogliamo mostrare che ogni soluzione y di (1.2) si può scrivere come combinazione
lineare a coefficienti costanti di y 1 , . . . , y N .
Fissiamo allora una y soluzione di (1.2). Dato che per ipotesi i v i costituiscono
una base di R N , esisteranno certamente N scalari c i , . . . , c N tali che
N∑ N∑
y(t 0 ) = c i v i = c i y i (t 0 ) .
i=1
i=1

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 3
Sia z definita da z(t) = ∑ N
i=1 c iy i (t), per ogni t ∈ J. Allora sia z che y risolvono
{
w ′ = A(t)w ,
w(t 0 ) = y(t 0 ) .
Per il teorema di unicità deve quindi valere z ≡ y in J, ossia
N∑
y(t) = c i y i (t) , per ogni t ∈ J.
i=1
□
Segue subito
Corollario 1.1. La dimensione di S è uguale a N.
Abbiamo quindi dimostrato che tutte e sole le soluzioni di (1.2) si possono scrivere
come
N∑
y(t) = c i y i (t) , t ∈ J , (1.4)
i=1
ove le y i sono una N-upla fissata di soluzioni linearmente indipendenti (cioè una
base di S), e le c i variano ad arbitrio in R. La (1.4) è perciò un integrale generale
di (1.2).
2. Matrici risolventi
Osservazione 2.1. Ricordiamo che, per la definizione del prodotto righe per colonne,
le colonne della matrice prodotto
C = AB , A matrice N × N e B, C matrici N × p,
sono combinazioni lineari delle colonne di A. Più specificamente, se denotiamo
con col j (C) = (c ij ) N i=1 la j-esima colonna della matrice C, e A = (a ij), B = (b ij ),
vale
( N
col j (C) = (c ij ) N i=1 = ∑
) N N∑
a ih b hj = b hj (a ih ) N i=1 = ∑
N b hj col h (A) .
h=1 i=1 h=1
h=1
Ne segue che l’integrale generale (1.4) può essere messo nella forma vettoriale
y = Y (t)C , (2.1)
ove Y è una matrice le cui colonne siano N soluzioni linearmente indipendenti di
(1.2), e C ∈ R N è un arbitrario vettore colonna di scalari. Poniamo allora la
Definizione 2.1. Una matrice Y le cui colonne costituiscano una base di S si
dice matrice risolvente del sistema (1.2).
Il seguente lemma, di dimostrazione quasi banale, risulta di grande importanza:
Lemma 2.1. Sia Y una matrice risolvente di (1.2), e sia B una matrice non
singolare N × N (cioè det(B) ≠ 0) a coefficienti reali. Allora anche Y B è una
matrice risolvente di (1.2).

4 DANIELE ANDREUCCI
Dimostrazione. Visto che ovviamente Y B è non singolare perché
det(Y (t)B) = det(Y (t)) det(B) ≠ 0 ,
basterà dimostrare che tutte le colonne di Y B sono soluzioni di (1.2). Ma questo
segue subito dall’Osservazione 2.1 e dalla Proposizione 1.1.
□
Una conseguenza importante di questo risultato è il seguente teorema, che dà un
modo canonico di scrivere le soluzioni di problemi di Cauchy di (1.2).
Teorema 2.1. Sia t 0 ∈ J e sia Y una matrice risolvente di (1.2). Allora, posto
Φ(t, t 0 ) = Y (t)Y (t 0 ) −1 , l’unica soluzione di
u 0 ∈ R N , è data da
y ′ = A(t)y , y(t 0 ) = u 0 , (2.2)
y(t) = Φ(t, t 0 )u 0 , t ∈ J . (2.3)
Inoltre la matrice Φ non dipende da Y , ossia date due diverse matrici risolventi
Y 1 e Y 2 vale Y 1 (t)Y 1 (t 0 ) −1 = Y 2 (t)Y 2 (t 0 ) −1 per ogni t ∈ J; più in generale, se
Φ 0 (t, t 0 ) è un’altra matrice con la proprietà di fornire tutte le soluzioni di (2.2)
secondo (2.3), questa coincide con Φ(t, t 0 ).
Dimostrazione. Che la y definita in (2.3) sia una soluzione di (1.2) segue subito
dall’Osservazione 2.1 e dal Lemma 2.1. Inoltre
y(t 0 ) = Φ(t 0 , t 0 )u 0 = Y (t 0 )Y (t 0 ) −1 u 0 = Iu 0 = u 0 .
Dunque la y è effettivamente l’unica soluzione di (2.2).
Siano poi Φ 1 (t, t 0 ) = Y 1 (t)Y 1 (t 0 ) −1 , Φ 2 (t, t 0 ) = Y 2 (t)Y 2 (t 0 ) −1 ; per quanto sopra le
due funzioni
y 1 (t) = Φ 1 (t, t 0 )u 0 , y 2 (t) = Φ 2 (t, t 0 )u 0 , t ∈ J ,
sono entrambe soluzioni di (2.2). Per il teorema di unicità, esse devono coincidere
per ogni t ∈ J, ossia per ogni fissato t ∈ J,
Z := Φ 1 (t, t 0 ) − Φ 2 (t, t 0 ) ,
deve soddisfare Zu 0 = 0 per ogni u 0 ∈ R N . Ne segue che Z è la matrice nulla.
Nello stesso modo si procede per una Φ 0 come nell’enunciato.
□
Definizione 2.2. La matrice Φ(t, t 0 ) si dice matrice risolvente canonica, o matrice
di transizione, di (1.2) in t = t 0 .
3. Matrici risolventi per sistemi a coefficienti costanti
In questa sezione ci occupiamo del caso in cui la matrice A ha tutti i coefficienti
costanti, ossia a ij ∈ R per ogni ij. Il sistema diviene allora
y ′ = Ay , A matrice costante. (3.1)
Diamo senza dimostrazione il seguente fondamentale
Teorema 3.1. Sia A una qualunque matrice reale N × N. La matrice esponenziale
e tA e tA :=
∞∑ t i A i
i=0
i!
= I + tA + t2 A 2
2!
+ t3 A 3
3!
+ . . . , (3.2)

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 5
risulta definita per ogni t ∈ R, e vale
d
dt etA = Ae tA , per ogni t ∈ R. (3.3)
Si ricordi che la derivazione di matrici, come anche la convergenza di una serie
di matrici, va intesa elemento per elemento, come nel caso dei vettori. In (3.2)
le potenze A i vanno calcolate secondo l’usuale prodotto righe per colonne. Si
osservi che per t = 0
∞∑
e 0A 0 i A i
= = I .
i!
i=0
La serie di matrici in (3.2) è formalmente ricopiata dallo sviluppo in serie della
funzione esponenziale di numeri reali: vedi il paragrafo 3.2 sotto. Alternativamente,
proprio la (3.3) permetterebbe di definire e tA come l’unica soluzione di
Y ′ = AY con Y (0) = I.
Il teorema asserisce che la serie in (3.2) converge in modo tale da rendere rigoroso
lo scambio delle operazioni di serie e di derivazione (qui inteso solo formalmente)
d
dt etA = d dt
∞∑ t i A i
=
i!
i=0
∞∑
i=0
d t i A i
dt i!
=
∞∑
i=1
i ti−1 A i
i!
∞∑
i=1
Usando la formula (3.3) possiamo dimostrare il
=
A ti−1 A i−1
(i − 1)!
∞∑ t j A j
= A = Ae tA .
j!
Teorema 3.2. La matrice di transizione di (3.1) in t = 0 è e tA . Quindi la
soluzione di
y ′ = Ay , y(0) = u 0 , (3.4)
u 0 ∈ R N , è data da
j=0
y(t) = e tA u 0 , t ∈ R . (3.5)
Dimostrazione. Vale infatti per ogni u 0 ∈ R N e t ∈ R:
inoltre
d
dt y(t) = d dt (etA u 0 ) =
( d
dt etA )
u 0 = Ae tA u 0 = Ay(t) ;
y(0) = e 0A u 0 = Iu 0 = u 0 .
Dunque la matrice esponenziale coincide con l’unica matrice risolvente canonica
di (3.1), secondo il risultato di Teorema 2.1.
□
Osservazione 3.1. È facile verificare che la matrice risolvente canonica per (3.1)
in t = t 0 è e (t−t 0)A .
3.1. Calcolo effettivo di una matrice risolvente. In genere la matrice e tA
non può essere calcolata esattamente senza sommare la serie infinita in (3.2).
Tuttavia esiste un metodo che permette di trovare (basandosi su questa serie)
N soluzioni linearmente indipendenti, evitando il calcolo della serie completa.
Con queste soluzioni si costruisce subito l’integrale generale del sistema, come
spiegato sopra. Una volta trovata così una matrice risolvente Y (t), la matrice di
transizione in t = 0 è data da Y (t)Y (0) −1 (vedi Teorema 2.1).

6 DANIELE ANDREUCCI
Si noti però che i calcoli necessari sono comunque di solito troppo complessi per
essere svolti a mano.
L’idea. Fissata una base (ξ 1 , . . ., ξ N ) di R N , e assegnato un qualunque dato di
Cauchy u 0 , con u 0 = ∑ N
h=1 c hξ h , c h ∈ R, la soluzione di (3.4) si può scrivere
y(t) = e tA u 0 = e tA
N ∑
h=1
c h ξ h =
N∑
c h (e tA ξ h ) =
h=1
N∑
∑
∞
c h
h=1 i=0
t i A i
ξ h . (3.6)
i!
L’idea consiste nello scegliere opportunamente la base ξ h , in modo che tutte le N
serie ∑ ∞
i=0 ti A i
ξ
i! h , h = 1, . . . , N possano, in sostanza, essere calcolate sommando
solo un numero finito di termini diversi da 0, ossia si riducano a somme finite.
Autovettori reali. Cominciamo con l’osservare che questa proprietà è senza dubbio
goduta dagli autovettori della matrice: sia ξ ∈ R N , ξ ≠ 0, un autovettore di A
corrispondente a un autovalore λ ∈ R, ossia
Allora vale
Aξ = λξ , ossia (A − λI)ξ = 0 . (3.7)
e t(A−λI) ξ =
∞∑ t i (A − λI) i
ξ =
i!
i=0
Iξ + t(A − λI)ξ + t2 (A − λI) 2 ξ
2!
+ t3 (A − λI) 3 ξ
3!
+ . . . = Iξ = ξ .
Quindi se per esempio la matrice A ha una base di autovettori ξ h come sopra
(con autovalori λ h ∈ R), le N soluzioni linearmente indipendenti sono 1
e tA ξ h = e t(λ hI+A−λ h I) ξ h = e tλ hI e t(A−λ hI) ξ h = e tλ hI ξ h = e λ ht ξ h . (3.8)
Si noti che ragionando come sopra, si dimostra che e tA ξ è una soluzione (complessa),
anche se ξ è un autovettore corrispondente a un autovalore complesso. Poiché
a noi interessano soluzioni reali, il caso di autovalori complessi viene trattato a
parte nel seguito.
Autovettori generalizzati. Poiché però non tutte le matrici hanno una base di
autovettori, occorre in generale cercare i vettori linearmente indipendenti ξ h non
solo tra gli autovettori, ma tra gli autovettori generalizzati di A: per definizione
si dice che ξ ∈ C N , ξ ≠ 0, è un autovettore generalizzato di A se esistono un
autovalore λ ∈ C di A e un m ∈ N tali che
(A − λI) m ξ = 0 . (3.9)
Più precisamente, si dice che ξ è un autovettore m-generalizzato corrispondente
a λ. Chiaramente, se m = 1 l’autovettore generalizzato è un autovettore in senso
tradizionale.
1 La seconda e l’ultima uguaglianza in (3.8) richiederebbero una dimostrazione, che è facile nel
caso dell’ultima uguaglianza, ma lo è meno nel caso della seconda.

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 7
Se ξ è un autovettore m-generalizzato di A corrispondente a λ, vale
e t(A−λI) ξ =
∞∑ t i (A − λI) i
ξ =
i!
i=0
m−1
∑
i=0
Iξ + t(A − λI)ξ + t2 (A − λI) 2 ξ
2!
t i (A − λI) i
ξ =
i!
+ · · · + tm−1 (A − λI) m−1 ξ
(m − 1)!
=: Q(t; λ, ξ) ,
(3.10)
ove Q è un polinomio di grado m−1 in t (naturalmente con coefficienti vettoriali).
Dunque
e tA ξ = e t(λI+A−λI) ξ = e tλI e t(A−λI) ξ = e tλI Q(t; λ, ξ) = e λt Q(t; λ, ξ) . (3.11)
Osserviamo per inciso che Q(t; λ, ξ) = ξ se m = 1. Dunque anche gli autovettori
generalizzati danno luogo a soluzioni che si possono calcolare sommando solo un
numero finito di termini nella serie e tA ξ. Se si trova una base di autovettori generalizzati
reali, è a questo punto chiaro come procedere per scrivere un integrale
generale di (3.1).
Il caso di autovalori complessi. Tuttavia, si noti che in generale gli autovalori
possono essere complessi. Dato che gli autovalori di A sono tutte e sole le radici
dell’equazione polinomiale a coefficienti reali
det(A − λI) = 0 , (3.12)
se λ = β +iγ (β, γ ∈ R, γ ≠ 0) è un autovalore, anche il suo coniugato ¯λ = β −iγ
lo è. In questo caso, con la notazione di (3.11), osserviamo che
e tA ξ = e βt (cos γt + i sin γt)[Q 1 (t) + iQ 2 (t)] , (3.13)
ove Q 1 (t) = Re Q(t; λ, ξ), Q 2 (t) = Im Q(t; λ, ξ).
(3.13) si riscrive come
Svolte le moltiplicazioni, la
e tA ξ = e βt (Q 1 (t) cosγt − Q 2 (t) sin γt) + ie βt (Q 2 (t) cos γt + Q 1 (t) sinγt)
=: y 1 (t) + iy 2 (t) ,
con y i , i = 1, 2 funzioni reali. È facile verificare che y 1 e y 2 sono separatamente
soluzioni del sistema differenziale. Infatti, sappiamo la che e tA ξ è una soluzione
e dunque:
[y 1 (t) + iy 2 (t)] ′ = [e tA ξ] ′ = Ae tA ξ = A[y 1 (t) + iy 2 (t)] = [Ay 1 (t) + iAy 2 (t)] .
Dato che A è una matrice reale, uguagliando le parti reale e immaginaria dei
membri di destra e di sinistra si ottiene y
i ′ = Ay i, i = 1, 2. Perciò da ogni soluzione
complessa si estraggono due soluzioni reali del sistema; questo è il motivo per cui
nello schema illustrato sotto, considereremo solo uno degli autovalori complessi
λ per ogni coppia di coniugio λ, ¯λ di soluzioni di (3.12).
Ecco infine il metodo di calcolo, che diamo senza dimostrazione:
1) Si determinino tutti gli autovalori di A, ossia tutte le radici distinte λ k ∈ C,
k = 1, . . . , p dell’equazione (3.12); quindi 1 ≤ p ≤ N. Sia ν k la molteplicità
algebrica di λ k ; dunque ∑ p
k=1 ν k = N.
2) Per ogni autovalore reale λ k , e per uno tra λ k e ¯λ k in ogni coppia di autovalori
complessi coniugati: si trovino tutti gli autovettori linearmente indipendenti con
autovalore λ k . Se questi sono in numero inferiore a ν k , si cerchino gli autovettori
2-generalizzati corrispondenti a λ k , poi quelli 3-generalizzati, e così via. Ad ogni

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passo si troverà almeno un autovettore generalizzato linearmente indipendente
dai precedenti, finché se ne saranno trovati esattamente ν k .
3) Per ogni autovalore reale λ k : siano ξ kh , h = 1, . . . , ν k autovettori generalizzati
(reali) corrispondenti a λ k e linearmente indipendenti; allora le
e λ kt Q(t; λ k , ξ k1 ) , e λ kt Q(t; λ k , ξ k2 ) , . . . e λ kt Q(t; λ k , ξ kνk ) ,
sono ν k soluzioni linearmente indipendenti di (3.1). Si noti che i Q(t; λ k , ξ kh )
(definiti in (3.10)) sono polinomi in t di gradi (in genere) diversi tra di loro, ma
comunque inferiori a ν k .
4) Per ogni coppia di autovalori complessi coniugati λ k = β k + iγ k , ¯λ k = β k −
iγ k : siano ξ kh , h = 1, . . . , ν k autovettori generalizzati corrispondenti a λ k e
linearmente indipendenti; allora, posto per ogni ξ kh
con Q 1 e Q 2 polinomi reali, le
Q(t; λ k , ξ kh ) = Q 1 (t; λ k , ξ kh ) + iQ 2 (t; λ k , ξ kh ) ,
e β kt [Q 1 (t; λ k , ξ kh ) cos(γ k t) − Q 2 (t; λ k , ξ kh ) sin(γ k t)] ,
e β kt [Q 2 (t; λ k , ξ kh ) cos(γ k t) + Q 1 (t; λ k , ξ kh ) sin(γ k t)] ,
sono 2ν k soluzioni linearmente indipendenti di (3.1). Si noti che i Q i (t; λ k , ξ kh )
sono polinomi in t di gradi (in genere) diversi tra di loro, ma comunque inferiori
a ν k .
5) Le soluzioni trovate nei punti 3) e 4) sono in numero complessivo di N e
sono linearmente indipendenti; dunque danno un integrale generale del sistema
differenziale a coefficienti costanti (3.1). In altri termini, la matrice Y le cui
colonne sono le N soluzioni trovate sopra è una matrice risolvente.
3.2. Complementi: La serie esponenziale. Per ogni t ∈ R vale
∫ t
e t = 1 +
0
= 1 + t +
= 1 + t +
e τ 1
dτ 1 = 1 +
∫ t ∫ τ 1
0 0
∫ t
0
∫ t
0
(
1 +
∫ τ 1
e τ 2
dτ 2 dτ 1 = 1 + t +
τ 1 dτ 1 +
∫t
= 1 + t + t2 2 +
0
∫t
= 1 + t + t2 2 +
0
∫ t ∫ τ 1 ∫ τ 2
0 0
∫ τ 1 ∫ τ 2
0
0
0
(
1 +
τ 2 1
2 dτ 1 +
∫t
= 1 + t + t2 2 + t3
2 · 3 +
0
0
e τ 2
dτ 2
)
dτ 1
∫ t ∫ τ 1
0
0
e τ 3
dτ 3 dτ 2 dτ 1
∫ τ 3
0
∫ t ∫ τ 1 ∫ τ 2 ∫ τ 3
0 0 0
∫ τ 1 ∫ τ 2 ∫ τ 3
0
0
0
(
1 +
∫ τ 2
e τ 4
dτ 4
)
dτ 3 dτ 2 dτ 1
0
0
e τ 4
dτ 4 dτ 3 dτ 2 dτ 1
e τ 4
dτ 4 dτ 3 dτ 2 dτ 1 .
e τ 3
dτ 3
)
dτ 2 dτ 1
(3.14)

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 9
È chiaro che procedendo in questo modo si arriva a dimostrare per ogni n ≥ 0
e t = 1 + t + t2
2! + t3
3! + · · · + tn
n! + R n+1(t) , (3.15)
ove R n+1 è dato dagli n + 1 integrali ripetuti
Vale
|R n+1 (t)| ≤
R n+1 (t) =
∫ |t| ∫ τ 1
0
0
∫ t ∫ τ 1
0
. . .
0
∫ τ n
0
. . .
∫ τ n
0
e τ n+1
dτ n+1 . . . dτ 2 dτ 1 . (3.16)
e |t| dτ n+1 . . . dτ 2 dτ 1 = e |t| |t| n+1
(n + 1)! .
Sia k ≥ 1 il più grande intero minore o uguale a |t| se |t| ≥ 1, o k = 1 altrimenti.
Quindi per n → ∞ si ha
|R n+1 (t)| ≤ e |t||t| |t|
1 2 . . . |t|
k ·
|t|
k + 1 . . . |t|
n + 1
( )
|t|
|t| n+1−k
n + 1 ≤ C(t) → 0 ,
k + 1
= C(t) |t|
k + 1 . . .
perché |t| < k + 1. Qui C(t) risulta definita dall’uguaglianza sopra e non dipende
da n perché k non dipende da n.
Dunque prendendo il limite n → ∞ in (3.15) si ottiene per ogni t ∈ R
e t = 1 + t + t2
2! + t3
3! + · · · + tn
∞ n! + · · · = ∑ t n
n! . (3.17)
Questo sviluppo in serie di e t vale, di fatto, anche per tutti i numeri complessi t.
n=0
4. Il caso delle equazioni di ordine n
Consideriamo sistemi che provengono da equazioni lineari a coefficienti costanti,
nella forma
y (n) + a 1 y (n−1) + a 2 y (n−2) + · · · + a n−1 y ′ + a n y = 0 , (4.1)
con a 1 , . . . a n numeri reali, e n ≥ 1.
Con le posizioni
y 1 = y , y 2 = y ′ , y 3 = y ′′ , . . . y n = y (n−1) ,
la (4.1) può essere scritta nella forma vettoriale, o di sistema,
y 1 ′ = y 2 ,
y 2 ′ = y 3 ,
. . .
y n−2 ′ = y n ,
y n ′ = −a ny 1 − a n−1 y 2 − · · · − a 1 y n .
(4.2)

10 DANIELE ANDREUCCI
La corrispondente matrice dei coefficienti è data da
⎛
⎞
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
A =
⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎟
⎝ 0 0 0 . . . 1 ⎠ . (4.3)
−a n −a n−1 −a n−2 . . . −a 1
Seguendo le idee del paragrafo 3.1, siamo interessati a trovare gli autovalori di A.
Vale
Proposizione 4.1. Per ogni λ ∈ R si ha
(−1) n det(A − λI) = λ n + a 1 λ n−1 + a 2 λ n−2 + · · · + a n−1 λ + a n . (4.4)
Dimostrazione. Procediamo per induzione. Per n = 2
det(A − λI) =
∣ −λ 1
−a 2 −a 1 − λ∣ = λ2 + a 1 λ + a 2 .
Quindi la (4.4) è verificata in questo caso.
Supponiamo poi lo sia nel caso n − 1. Allora vale
−λ 1 0 . . . 0
0 −λ 1 . . . 0
det(A − λI) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
∣−a n −a n−1 −a n−2 . . . −a 1 − λ∣
∣ −λ 1 . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 . . . 0
= −λ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
+ (−1) n −λ 1 . . . 0
a n . . . . . . . . . . . . . .
∣−a n−1 −a n−2 . . . −a 1 − λ∣
0 0 . . . 1∣
= −λ(−1) n−1 (λ n−1 + a 1 λ n−2 + a 2 λ n−3 + · · · + a n−1 ) + (−1) n a n
Si è usata qui l’ipotesi di induzione.
= (−1) n (λ n + a 1 λ n−1 + a 2 λ n−2 + · · · + a n−1 λ + a n ) .
Definizione 4.1. Il polinomio nel termine di destra della (4.4) si dice polinomio
caratteristico dell’equazione (4.1), mentre l’equazione
si dice equazione caratteristica.
λ n + a 1 λ n−1 + a 2 λ n−2 + · · · + a n−1 λ + a n = 0 (4.5)
Procedendo come indicato nel paragrafo 3.1 si perviene al seguente metodo di
calcolo dell’integrale generale della (4.1):
(1) Determinare tutte le radici dell’equazione caratteristica (4.5); indichiamo
con λ 1 , . . . λ r le radici reali distinte, e con α 1 ± iβ 1 , . . . α s ± iβ s le radici
complesse coniugate distinte (i è l’unità immaginaria, e α k , β k sono reali).
(2) Ad ogni radice reale λ k , di molteplicità algebrica 1 ≤ ν k ≤ n si associano le
ν k funzioni
e λ kt , te λ kt , t 2 e λ kt , . . . t ν k−1 e λ kt . (4.6)
□

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 11
(3) Ad ogni coppia di radici complesse coniugate α k ± iβ k , di molteplicità
algebrica 1 ≤ ˜ν k ≤ n si associano le 2˜ν k funzioni
sin(β k t)e α kt , t sin(β k t)e α kt , . . . t˜ν k−1 sin(β k t)e α kt ,
cos(β k t)e α kt , t cos(β k t)e α kt , . . . t˜ν k−1 cos(β k t)e α kt .
(4) Le funzioni in (4.6) e in (4.7) sono in numero di
ν 1 + · · · + ν r + 2˜ν 1 + · · · + 2˜ν s = n ,
(4.7)
e costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni di (4.1), ossia ogni
soluzione di quest’ultima si esprime come combinazione lineare a coefficienti
costanti di tali funzioni.