Esercizi sulla Riflessione Totale - 27/11/2009

Università "La Sapienza" di Roma – Facoltà di Ingegneria (sede di Latina)
Corso di laurea in Ingegneria dell’Informazione (indirizzi EL e TLC)
Corso di Campi elettromagnetici I – seconda parte
A.a. 2009/2010 – Ing. Paolo Burghignoli
Esercizi sulla riflessione totale
27 novembre 2009
Esercizio 1
Un’onda piana uniforme polarizzata circolarmente destra si propaga in un mezzo
semplice non magnetico e non dissipativo con e 1
= 4e
0
, parallelamente al piano xz .
Essa incide sul piano z = 0 di separazione con il semispazio vuoto z > 0 , con angolo
di incidenza q
i = p/4. Determinare le onde riflessa e trasmessa alla frequenza
f = 6 éGHzù
ê ë ú û
e discuterne le caratteristiche di polarizzazione.
Esercizio 2
Un’onda piana uniforme si propaga in un mezzo semplice non magnetico e non
dissipativo con e r
= 2 e incide con polarizzazione orizzontale sul pianoz = 0 di
separazione fra il semispazio z < 0 occupato da tale mezzo e il semispazio z > 0
occupato dal vuoto. Si calcoli il campo elettromagnetico nei due semispazi
assumendo che l’angolo di incidenza sia q
i = p/3; si calcoli inoltre il vettore di
Poynting dell’onda trasmessa.

Soluzioni
Esercizio 1
Scriviamo il vettore di polarizzazione
i
i
base { = ,
0h 0 0v}
i
E dell’onda incidente rappresentandolo nella
0
e y e (vedi figura) allo scopo di identificarne le componenti in
polarizzazione orizzontale e verticale:
i i i i
= E + E
0 0h 0 0v 0v
E y e
i
h 0h
i
=
0h 0
e y r
e
i
q
r
q
= y
0h 0
r
h 0h
x
i
e 0v
i
i r
h = y
0v 0
q q
r
e 0v
h
r
=-y
0v 0
x
z
t
q
t
h 0h
e
t
= y
0h 0
h
t
q
z
= y
t
0v 0
t
e 0v
Affinché
i
E sia polarizzato circolarmente destro deve essere
0
E
i
0h
= E e
i
0v
arg E - arg E = p / 2 , dunque possiamo scrivere
i
0h
i
0v
( j )
i = E
i i -
0 0 0v 0
E e y
dove i = cos q
i - sin q
i = ( 2 / 2) -( 2 / 2)
e x z x z . Risulta quindi
0v 0 0 0 0
E
=- jE ,
i
i
0h 0
E
= E . Il vettore di polarizzazione del relativo campo magnetico è
i i
0v 0
i
i
i i i i
E0h
i
E0v
= H + H = +
0 0h 0h 0v 0 0h 0
z z
1 1
H h y h y
dove i =- cos q
i + sin q
i =- ( 2 / 2) + ( 2 / 2)
h x z x z .
0h 0 0 0 0
Il vettore di propagazione dell’onda incidente è
i
k b con
i
= k 1 0

w me w e /
1 1 1 r
k
= = c e i i i
b = sin q x + cos q z . Risulta quindi
( )
9 8
k @ 2p ⋅ 6 ⋅ 10 4 / 3 ⋅ 10 = 80pérad/mù
1 ê ë ú û
0 0 0
b z .
i
e = ( 2/2) x + ( 2/2)
0 0 0
L’onda riflessa è ancora piana uniforme, con
( ) ( )
b = sin q x - cos q z = 2 / 2 x - 2 / 2 z .
r i i
0 0 0 0 0
r
k b dove
r
= k 1 0
Per determinare le caratteristiche di propagazione dell’onda trasmessa consideriamo
la legge di Snell:
sin q
t
=
me
1 1
me
2 2
i
sin q
t
i
In questo caso risulta q e q ( p )
sin = sin = 4 sin / 4 = 2 . Essendo 2 > 1,
l’onda trasmessa sarà piana non uniforme, con angolo di trasmissione
t
t
q p/2 jqJ
r
t
q complesso:
= + , cioè si ha la riflessione totale dell’onda incidente. Infatti l’angolo
q = sin me / m e = sin e , ovvero
limite è ( )
i -1 -1 -1
L 1 1 2 2 r
i -1
q = sin 1 / 4 = p/ 6 ; risulta
L
quindi
i i
q q L
> .
Il vettore di fase dell’onda trasmessa è
( )
b t
k i
sin q 80 p sin p / 4 40 2 p érad/mù
1
t t
b = b x con
0
= = = êë
úû . Dalla parte reale della condizione di
t2 t2 2
separabilità per l’onda trasmessa ( b - a = w m e ) ricaviamo
2 2
t
a :
t t2 2 t2 2 2 2 i 2
k sin
2 2 0 0 1 0 0
a = b - wme = b - wme = q - wme =
2 2 i 2 2 i
0 0 r 0 0 0 0 r
= wmeesin q - wme = w me esin q - 1 =
9
w 2 i 2p⋅6⋅ 10
æ
2
ö
= e sin q - 1 @ 4 1 40péNp/mù
r
c
8
- =
3 10 2
êë ú
⋅ ç ÷
û
è ø
2
Il vettore di attenuazione dell’onda trasmessa è ortogonale al piano z = 0 :
a
t t
a = z .
0
Si può dunque scrivere
k = b - ja = b x - ja
z ovvero, posto
t t t t t
0 0
k = k x + k z ,
t t t
x 0 z 0
si ha
k
t
x
b
t
= e
k
t
z
ja
t
=- . Dalle
t
= ,
t
k k sin q
x 2
t
= abbiamo allora
t
k k cos q
z 2

w æp ö
k k w
j
c ç 2
çè ÷ ø c
w æp ö w
k j k j j
c ç 2
çè ÷ ø c
t t t t t
= b = sin q = sin + q = cosh q
x
2 J J
t t t t t
=- a = cos q = cos + q =- sinh q
x
2 J J
da cui otteniamo
cosh q = 2 ,
t
J
sinh q = 1
t
J
, che ci consentirebbero di calcolare q t .
J
Risulta poi
t
sin q = 2 ,
cos
t
q =- j .
e = 4
r
vuoto
i
q
z
t t w t
b = b x = cosh q x
c
x
t t w t
a = a z = sinh q z
0 J 0
c
0 J 0
Calcoliamo ora i coefficienti di riflessione
S e
Eh
Ev
S :
S
S
z
- 2
cos - cos ⋅ + j
2 2 + j jfh
= = = = = e
cos + cos 2 2 - j
cos q + cos q
2 ⋅ - j
z1
2
z
- 2
cos - cos - j -
2 2 + 4j
= = = = = e
cos + cos 2 - 2 + 4j
cos q + cos q
- 2j
+
z
2
2 i t
cos q cos q
z
e
1
r
i
q
t
q 2
Eh z2 i t er
i
q
t
q
2 t i
cos q cos q
z
e
1
r
t
q
i
q 2
Ev z2 t i er
t
q
i
q
1
jf
v
Poiché si ha riflessione totale risulta S = S = 1. Le fasi dei due coefficienti di
h v
riflessione sono invece diverse:
E
E
f
f
h
v
-1
= 2 tan
1
@ 70.53
2
-1
= 2 tan
4
@-38.94
2
Per l’onda riflessa possiamo scrivere:

i i r
=
0 E +
0h 0 E =
0v 0v S Eh E +
0h 0 S Ev E 0v 0v
E y e y e
dove r = cos q
i + sin q
i = ( 2 / 2) + ( 2 / 2)
e x z x z . Risulta:
0v 0 0 0 0
r i i i
= = =
0h Eh 0h Eh 0h 0h
E S E S E E
r i i i
= = =
0v Ev 0v Ev 0v 0v
E S E S E E
dunque
E
r
0h
r
0v
= E , poiché
E
i
0h
i
0v
= E . Inoltre
{ E }
{ E }
r i i
= = +
0h h 0h Eh 0h
argE arg S E argS argE
r i i
= = +
0v v 0v Ev 0v
arg E arg S E argS arg E
dunque arg E r arg E r ( arg E i arg E i
) ( arg S arg S )
- = - + - . Poiché
0h 0v 0h 0v Eh Ev
i
0h
i
0v
arg E - arg E = p / 2 e argS h -
E
argS E v ¹ 0, p risulta
r
0h
r
0v
arg E - arg E ¹ p / 2 ,
quindi l’onda riflessa è polarizzata ellitticamente.
Per l’onda trasmessa in polarizzazione orizzontale si ha:
t t i
= E = T E
0h 0h 0 Eh 0h 0
E y y
( b ja
) ( E )
1 1
H = k ´ E = - ´ y =
t t t t t t
0h 0h 0h 0
wm
wm
2 0
t
i
E0h
t t
E0h
t t
( b x ja z
0 0) y T
0 Eh ( b z ja
x
0 0)
= - ´ = +
wm
wm
0 0
e in polarizzazione verticale:
t t i
= H = T H
0v 0v 0 Hv 0v 0
H y y
1 1
E H k y
( H ) ( b ja
)
t t t t t t
= ´ = ´ - =
0v 0v 0v 0
we
we
2 0
t
i
H0v
= y ´ x - z = - z - x
0 0 0 v 0 0
we
we
0 0
t t
H0v
t t
( b ja ) TH
( b ja
)
Quindi l’onda trasmessa è:

i
t t t i
H0v
t t
= + = T E + T - - j
0 0h 0v Eh 0h 0 Hv 0 0
we0
i
t t t
E0h
t t i
= + = T
0 0h 0v Eh ( b + ja
0 0)
+ T H
Hv 0v 0
wm0
( b a )
E E E y z x
H H H z x y
Dalle espressioni dei coefficienti di riflessione
S Eh
e S Ev
, tenendo conto che
S
Eh
= S , S S
Hh
E v H v
= , T = 1 + S e T = 1 - S , risulta:
E h E h H v H v
Eh
h
1 1 1.33 0.94
Eh
jf
T = + S = + e @ + j
T = 1 - S = 1 - S @ 0.22 + j0.63
Hv Hv Ev
Tenendo poi conto che
E
=- jE ,
i
i
0h 0
H = E / z , per il campo elettrico abbiamo:
i i
0v 0 1
i
t i
E0
t t
=- jT E + T - -j
0 Eh 0 0 Hv 0 0
we0
( b a )
E y z x
ed essendo we = k / z , z = z / e = z /2 si ha we z = k /2,
dunque
0 0 0 1 0 r 0
0 1 0
é
E y z x
ë
æ t
t
t i
0 E 0 jT 2
Eh 0 T b
Hv 0 j a
ö = - + - -
0
ê
ç k k
è
÷
0 0 øú
ù
û
Poiché era
b
t
= k cosh q = k 2 e
t
0 J 0
a
t
= k sin q = k si ha
t
0 J 0
ù
( ) ú
t i
0 E é
E =
0 ê- jT y + 2 2
Eh 0 T - z -
Hv 0 j x =
0
ë
û
@ E ê - j + - j + - j
ë
é( 1.26 0.44) ( 0.94 1.33) ( 0.94 1.33)
i
x y z
0 0 0 0
ù
úû
Poiché il vettore in parentesi quadre ha parte reale e immaginaria non parallele e di
modulo diverso esso risulta polarizzato ellitticamente. Con un’analisi simile si
conclude che anche il campo magnetico è polarizzato ellitticamente.
Esercizio 1
L’onda incidente proviene dal mezzo più denso, dunque occorre verificare se
l’angolo di incidenza
i
q sia minore o maggiore dell’angolo limite
i
q . In questo caso
L

si ha:
q
me me 1 1 p
= = = = =
2 4
i -1 2 2 -1 0 0 -1 -1
sin sin sin sin
L
me mee
1 1 0 0 r er
dunque
i i
q q L
> e l’onda trasmessa sarà piana non uniforme (riflessione totale).
Per l’onda incidente si ha
b
( 3/2) x ( 1/2)
= +
i
0 0 0
e quindi
z
i
k b con k 1
k 0
e r
i
= k 1 0
= e
b
= sin q x + cos q z , da cui
i i i
0 0 0
. Essendo la polarizzazione orizzontale si ha poi
E
= E
y
i i
0 0 0
æ ö æ ö
H E x z y z x
÷ è ø è ÷ ø
i
i 1 i i 1 3 1 i
E0
3 1
= b ´ = 0 0 0 + ´
0 0 ( E0 0)
= -
0 0
z z 2 2 z
2 2
1 1ç
1 ç
Per l’onda riflessa si ha
b
( 3/2) x ( 1/2)
= -
r
0 0 0
z
r
k b con
r
= k 1 0
riflessa ci occorre il coefficiente di riflessione
infatti si ha
b = sin q x -cos
q z , da cui
i r i
0 0 0
. Per calcolare il vettore di polarizzazione dell’onda
S per la polarizzazione orizzontale;
Eh
E = E y = S E y
r r i
0 0 0 Eh 0 0
dove
S E h
=
z
z
z
z
2
1
2
1
cos q
cos q
i
i
- cos q
+ cos q
t
t
Essendo
i i
q q L
> , l’angolo
t
q risulterà complesso. Infatti dalla legge di Snell abbiamo
t
me
1 1 i 3 3
sin q = sin q = 2 = > 1
me
2 2
2 2
dunque
t 2 t
cosq
= 1- sin q = 1- 3/2 = - 1/2 =- j / 2. Essendo inoltre

z = m / e = m / e e = z / e e z = z si ha z / z = e = 2. Dunque
1 1 1 0 0 r 0 r 2 0
2 1 r
S
Eh
1 1
2 + j
2 1 ( 1 ) 2
2 + j + j
= = = =
1 1 1-
j 2
2 - j 2 2
j
e come prevedibile S = 1 (riflessione totale). Abbiamo quindi
Eh r i i
= S E = jE
0 Eh 0 0 0 0
i
r 1 r r 1 i 3 1 E0
3 1
= b ´ = jE
0 0 0 0 - ´ = j
+
0 0 0 0 0
z z 2 2 z
2 2
1 1 ç
1 ç
E y y
æ ö æ ö
H E x z y z x
÷ è ø è ÷ ø
Il campo elettrico totale nel mezzo 1 è quindi
1
i t
() () ()
E r = E r + E r =
æ
3 1
ö æ
3 1
ö
- jk x z jk x z
1 + - -
1
i
ç 2 2 i 2 2
è ÷ ø çè ÷ ø
y
y
0 0 0 0
3 é 1 1 ù
-jk x - jk z + jk z
= E e + jE e
=
i 1 1 1
2 2 2
= E y e e + je =
0 0
ê
ú
ë
û
é
æ
3
1 pö æ 1 pö
p jk z jk z
-jk x j
1 1
i - 1
+ + +
2 4
ç
è 2 4÷ ø çè 2 4÷
ø
y
ê
ú
0 0
= E e e e + e =
ê
ë
ú
û
3
j p -jk x æ
i 1
1 pö = 2Ee 4y
⋅ e 2 cos
k z
0 0 ⋅ ç
+
1
onda progressiva
2 4
çè ÷
ø
lungo x
onda stazionaria
lungo z
ù
La dipendenza da z è del tipo ‘onda stazionaria’ a causa della riflessione totale.
L’onda trasmessa è piana non uniforme con k t = b t - ja t = b
t x - ja
t z . Dalla
0 0
k
i
x
= k si ha
t
x
t i i 3 3
b = k sin q = k e sin q = k 2 = k
1 0 r 0 2
0 2
da cui possiamo ricavare
t a per mezzo della parte reale della condizione di

t2 t2 2
separabilità per l’onda trasmessa ( b - a = w m e ):
2 2
t t2 2 t2 2 t2 2
k
2 2 0 0 0
a = b - wme = b - wme = b - =
2 3 2 3 1
= k - k = k - 1 = k
0 0 0 0
2 2 2
Si ha inoltre
( 1 ) ( 1 )
t t i i i
=
0 E =
0h 0 T Eh E = +
0 0 S Eh E = +
0 0 j E 0 0
E y y y y
( b ja
) ( E )
1 1
H k E y
t t t t t t
= ´ = - ´ =
0 0 0h 0
wm
wm
2 0
t
i
E0h t t
E0
3 1
( b z ja
x
0 0) ( 1 j)
ç z j x
0 0
z k
z 2
0 0 0
2
æ ö ç = + = + + ç çè
÷ ø
Dunque
P
1 1
t t t t
jb x a z jb x a z
= ´ = ´ =
2 2
é
i*
1 t
t
2 z t t* 1 2 z
i
E æ
0 3 1
ö ù
- a
- a
0 0 ( 1 ) 0 0 ( 1 )
= e E ´ H = e + j E y ´ j j
- z - x
0 0
2 2 ê z
2
0 ç
2 ÷
ë è
øú
û
1 t 2
é
-2a
z i 1
æ
3 1
ö ù
= e 2 E j
0 x + z
0 0
2 z
2 0 êçè
2 ÷
ë
øú
û
t t t* t - - t* + -
E H E e e H e e
0 0
Osserviamo che la parte reale del vettore di Poynting è diretta lungo x , cioè
parallelamente all’interfaccia. Dunque non si ha trasporto di potenza media (attiva)
lungo z , a causa della riflessione totale sul piano z = 0 .