Laboratorio di Geometria (esercizi 6a lezione) DI CAPRIO Gaetano ...
Laboratorio di Geometria (esercizi 6a lezione) DI CAPRIO Gaetano ...
Laboratorio di Geometria (esercizi 6a lezione) DI CAPRIO Gaetano ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Laboratorio</strong> <strong>di</strong> <strong>Geometria</strong> (<strong>esercizi</strong> 6 a <strong>lezione</strong>)<br />
<strong>DI</strong> <strong>CAPRIO</strong> <strong>Gaetano</strong>, 4/12/05<br />
[14] Dimostrare che due poligoni simili vengono decomposti dalle <strong>di</strong>agonali condotte dai vertici<br />
omologhi in triangoli simili ed ugualmente <strong>di</strong>sposti. Dimostrare, quin<strong>di</strong>, che le <strong>di</strong>agonali<br />
omologhe <strong>di</strong> due poligoni simili stanno tra loro come i lati omologhi.<br />
COMMENTO: Il concetto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> figure piane è assolutamente intuitivo anche quando si<br />
considerino figure qualsiasi. Si può richiamare, infatti, negli studenti il concetto <strong>di</strong><br />
ingran<strong>di</strong>mento/riduzione che mantiene la stessa “forma” (concetto del tutto naturale). La definizione<br />
<strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne per i poligoni perde quella “forza” dell’intuizione dato che impone una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
proporzionalità dei lati omologhi e <strong>di</strong> uguaglianza degli angoli (perché mai con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong>verse su lati<br />
e angoli?). Paradossalmente, una formalizzazione <strong>di</strong> tipo “superiore” risulterebbe più naturale: due<br />
figure sono simili quando esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti delle due figure che<br />
trasforma le <strong>di</strong>stanze secondo un fattore moltiplicativo costante. Da quest’ultima definizione (e<br />
ancor <strong>di</strong> più dal concetto intuitivo <strong>di</strong> ingran<strong>di</strong>mento/riduzione) emerge infatti in maniera abbastanza<br />
evidente che la similitu<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> due figure implica anche la similitu<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> sottoparti <strong>di</strong> esse che sono<br />
corrispondenti, e, dunque, renderebbe la <strong>di</strong>mostrazione del tutto ovvia.<br />
Utilizzando invece la definizione elementare “lati proporzionali e angoli uguali” la <strong>di</strong>mostrazione<br />
deve per forza <strong>di</strong> cose utilizzare una forma <strong>di</strong> ragionamento induttivo sul numero <strong>di</strong> lati dei poligoni.<br />
Bisognerà naturalmente cercare <strong>di</strong> rendere l’induzione comprensibile senza perdere il rigore. A tale<br />
scopo organizziamo la <strong>di</strong>mostrazione in tre parti, anziché due come tipicamente avviene per<br />
l’induzione. Si supporranno noti i criteri <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne dei triangoli.<br />
Soluzione: Parte A: <strong>di</strong>mostriamo il risultato prima limitandoci al caso <strong>di</strong> due quadrilateri.<br />
Formalizzando:<br />
Ipotesi: ABCD e A’B’C’D’ quadrilateri simili<br />
Tesi: ABC simile a A’B’C’, ADC simile a A’D’C’
Nota: consideriamo soltanto la <strong>di</strong>agonale condotta dal punto A (la <strong>di</strong>mostrazione dei casi delle<br />
<strong>di</strong>agonali condotte dagli altri punti è identica)<br />
Dimostrazione: Dato che i quadrilateri ABCD e A’B’C’D’ sono simili allora vale la proporzione<br />
AB:A’B’=BC:B’C’ e l’uguaglianza degli angoli ABC e A’B’C’. Questo ci permette subito <strong>di</strong><br />
concludere che i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili per il secondo criterio <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne. In<br />
maniera del tutto analoga si vede che AD:A’D’=DC:D’C’ e gli angoli ADC e A’D’C’ sono uguali,<br />
da cui segue ADC simile a A’D’C’ (tesi).<br />
COROLLARIO: dalle similitu<strong>di</strong>ni dei triangoli segue che AB:A’B’=AC:A’C’, ossia che le<br />
<strong>di</strong>agonali omologhe sono in proporzione come i lati dei poligoni.<br />
Parte B: Dimostriamo adesso il risultato considerando il caso <strong>di</strong> due poligoni con 5 lati:<br />
Ipotesi: ABCDE e A’B’C’D’E’ poligoni simili<br />
Tesi: ABC simile a A’B’C’, ADC simile a A’D’C’, ADE simile a A’D’E’<br />
Nota: analogamente al caso precedente, consideriamo soltanto le <strong>di</strong>agonali condotte dal punto A. In<br />
questo caso sono due (AC e AD)<br />
Dimostrazione: Dato che i poligoni ABCDE e A’B’C’D’E’ sono simili allora vale la proporzione<br />
AB:A’B’=BC:B’C’ e l’uguaglianza degli angoli ABC e A’B’C’. Possiamo dunque concludere che i<br />
triangoli ABC e A’B’C’ sono simili per il secondo criterio <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne.<br />
A questo punto osserviamo che possiamo considerare il poligono ABCDE come somma del<br />
triangolo ABC e del quadrilatero ACDE (e, analogamente, possiamo considerare il poligono<br />
A’B’C’D’E’ come somma del triangolo A’B’C’ e del quadrilatero A’C’D’E’)<br />
Osserviamo che i due quadrilateri ACDE e A’C’D’E’ sono simili in quanto<br />
• hanno i lati in proporzione e gli angoli non a<strong>di</strong>acenti al triangolo ABC uguali per ipotesi<br />
• hanno gli angoli EAC e E’A’C’ uguali perché <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> angoli uguali, infatti EAC =<br />
EAB-CAB = E’A’B’-C’A’B’ = E’A’C’.
• in maniera del tutto analoga si vede che gli angoli DCA e D’C’A’ sono uguali perché<br />
<strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> angoli uguali<br />
A questo punto possiamo fare qualche considerazione che ci permette <strong>di</strong> “recuperare” quanto<br />
abbiamo già <strong>di</strong>mostrato per i quadrilateri simili e ottenere imme<strong>di</strong>atamente la tesi anche per i<br />
poligoni <strong>di</strong> cinque lati.<br />
Il quadrilatero ACDE contiene tutte le <strong>di</strong>agonali “restanti” da considerare per il punto A (ossia la<br />
<strong>di</strong>agonale AD). Ma allora, dato che, per quanto visto nel teorema precedente, i triangoli e le<br />
<strong>di</strong>agonali del quadrilatero ACDE sono rispettivamente simili e proporzionali ai corrispondenti<br />
triangoli e <strong>di</strong>agonali del quadrilatero A’C’D’E’, posso concludere che anche per i poligoni <strong>di</strong> cinque<br />
lati vale la tesi. Infatti ho <strong>di</strong>mostrato all’inizio che anche il “triangolo aggiuntivo” rispetto a quello<br />
del quadrilatero è simile al suo corrispondente (tesi)<br />
Parte C: Ricordando che in un poligono <strong>di</strong> n lati da ciascun vertice si possono condurre n-3<br />
<strong>di</strong>agonali formando n-2 triangoli, siamo adesso in grado <strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrare la versione generalizzata del<br />
risultato ossia:<br />
Ipotesi: p e p’ poligoni simili <strong>di</strong> n lati con n>4<br />
Tesi: per ogni vertice, gli n-2 triangoli corrispondenti che si formano conducendo le n-3 <strong>di</strong>agonali<br />
sono simili.<br />
Dimostrazione: Siano A, B, C tre vertici consecutivi <strong>di</strong> p e siano A’, B’, C’ i tre vertici<br />
corrispondenti <strong>di</strong> p’. Dato che p e p’ sono simili allora vale la proporzione AB:A’B’=BC:B’C’ e<br />
l’uguaglianza degli angoli ABC e A’B’C’. Quin<strong>di</strong> i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili per il primo<br />
criterio <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne.<br />
Abbiamo dunque <strong>di</strong>mostrato il risultato per il primo triangolo e per la prima <strong>di</strong>agonale AC condotta<br />
da A. Per proseguire, analogamente a quanto fatto per i poligoni <strong>di</strong> cinque lati, posso considerare i<br />
poligoni q e q’ che si vengono a formare “staccando” rispettivamente il triangolo ABC e il triangolo<br />
A’B’C’. Tali poligoni avranno n-1 lati e saranno simili. È chiaro che riapplicando ancora una volta<br />
lo stesso ragionamento a q e q’ otterrò due poligoni <strong>di</strong> n-2 lati, e, iterando, posso - in un numero<br />
finito <strong>di</strong> passi - ricondurmi al caso <strong>di</strong> due quadrilateri (per i quali ho già <strong>di</strong>mostrato la tesi).<br />
In conclusione, per <strong>di</strong>mostrare la tesi nel caso <strong>di</strong> poligoni <strong>di</strong> n lati ho descritto come realizzare una<br />
catena <strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrazioni (in numero finito) che mi permette <strong>di</strong> considerare tutti gli n-2 triangoli e<br />
tutte le n-3 <strong>di</strong>agonali (tesi).<br />
COROLLARIO: dalle similitu<strong>di</strong>ni dei triangoli segue che le <strong>di</strong>agonali omologhe sono in proporzione<br />
come i lati dei poligoni.