Laboratorio di Geometria (esercizi 6a lezione) DI CAPRIO Gaetano ...

Laboratorio di Geometria (esercizi 6 a lezione)
DI CAPRIO Gaetano, 4/12/05
[14] Dimostrare che due poligoni simili vengono decomposti dalle diagonali condotte dai vertici
omologhi in triangoli simili ed ugualmente disposti. Dimostrare, quindi, che le diagonali
omologhe di due poligoni simili stanno tra loro come i lati omologhi.
COMMENTO: Il concetto di similitudine di figure piane è assolutamente intuitivo anche quando si
considerino figure qualsiasi. Si può richiamare, infatti, negli studenti il concetto di
ingrandimento/riduzione che mantiene la stessa “forma” (concetto del tutto naturale). La definizione
di similitudine per i poligoni perde quella “forza” dell’intuizione dato che impone una condizione di
proporzionalità dei lati omologhi e di uguaglianza degli angoli (perché mai condizioni diverse su lati
e angoli?). Paradossalmente, una formalizzazione di tipo “superiore” risulterebbe più naturale: due
figure sono simili quando esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti delle due figure che
trasforma le distanze secondo un fattore moltiplicativo costante. Da quest’ultima definizione (e
ancor di più dal concetto intuitivo di ingrandimento/riduzione) emerge infatti in maniera abbastanza
evidente che la similitudine di due figure implica anche la similitudine di sottoparti di esse che sono
corrispondenti, e, dunque, renderebbe la dimostrazione del tutto ovvia.
Utilizzando invece la definizione elementare “lati proporzionali e angoli uguali” la dimostrazione
deve per forza di cose utilizzare una forma di ragionamento induttivo sul numero di lati dei poligoni.
Bisognerà naturalmente cercare di rendere l’induzione comprensibile senza perdere il rigore. A tale
scopo organizziamo la dimostrazione in tre parti, anziché due come tipicamente avviene per
l’induzione. Si supporranno noti i criteri di similitudine dei triangoli.
Soluzione: Parte A: dimostriamo il risultato prima limitandoci al caso di due quadrilateri.
Formalizzando:
Ipotesi: ABCD e A’B’C’D’ quadrilateri simili
Tesi: ABC simile a A’B’C’, ADC simile a A’D’C’

Nota: consideriamo soltanto la diagonale condotta dal punto A (la dimostrazione dei casi delle
diagonali condotte dagli altri punti è identica)
Dimostrazione: Dato che i quadrilateri ABCD e A’B’C’D’ sono simili allora vale la proporzione
AB:A’B’=BC:B’C’ e l’uguaglianza degli angoli ABC e A’B’C’. Questo ci permette subito di
concludere che i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili per il secondo criterio di similitudine. In
maniera del tutto analoga si vede che AD:A’D’=DC:D’C’ e gli angoli ADC e A’D’C’ sono uguali,
da cui segue ADC simile a A’D’C’ (tesi).
COROLLARIO: dalle similitudini dei triangoli segue che AB:A’B’=AC:A’C’, ossia che le
diagonali omologhe sono in proporzione come i lati dei poligoni.
Parte B: Dimostriamo adesso il risultato considerando il caso di due poligoni con 5 lati:
Ipotesi: ABCDE e A’B’C’D’E’ poligoni simili
Tesi: ABC simile a A’B’C’, ADC simile a A’D’C’, ADE simile a A’D’E’
Nota: analogamente al caso precedente, consideriamo soltanto le diagonali condotte dal punto A. In
questo caso sono due (AC e AD)
Dimostrazione: Dato che i poligoni ABCDE e A’B’C’D’E’ sono simili allora vale la proporzione
AB:A’B’=BC:B’C’ e l’uguaglianza degli angoli ABC e A’B’C’. Possiamo dunque concludere che i
triangoli ABC e A’B’C’ sono simili per il secondo criterio di similitudine.
A questo punto osserviamo che possiamo considerare il poligono ABCDE come somma del
triangolo ABC e del quadrilatero ACDE (e, analogamente, possiamo considerare il poligono
A’B’C’D’E’ come somma del triangolo A’B’C’ e del quadrilatero A’C’D’E’)
Osserviamo che i due quadrilateri ACDE e A’C’D’E’ sono simili in quanto
• hanno i lati in proporzione e gli angoli non adiacenti al triangolo ABC uguali per ipotesi
• hanno gli angoli EAC e E’A’C’ uguali perché differenze di angoli uguali, infatti EAC =
EAB-CAB = E’A’B’-C’A’B’ = E’A’C’.

• in maniera del tutto analoga si vede che gli angoli DCA e D’C’A’ sono uguali perché
differenze di angoli uguali
A questo punto possiamo fare qualche considerazione che ci permette di “recuperare” quanto
abbiamo già dimostrato per i quadrilateri simili e ottenere immediatamente la tesi anche per i
poligoni di cinque lati.
Il quadrilatero ACDE contiene tutte le diagonali “restanti” da considerare per il punto A (ossia la
diagonale AD). Ma allora, dato che, per quanto visto nel teorema precedente, i triangoli e le
diagonali del quadrilatero ACDE sono rispettivamente simili e proporzionali ai corrispondenti
triangoli e diagonali del quadrilatero A’C’D’E’, posso concludere che anche per i poligoni di cinque
lati vale la tesi. Infatti ho dimostrato all’inizio che anche il “triangolo aggiuntivo” rispetto a quello
del quadrilatero è simile al suo corrispondente (tesi)
Parte C: Ricordando che in un poligono di n lati da ciascun vertice si possono condurre n-3
diagonali formando n-2 triangoli, siamo adesso in grado di dimostrare la versione generalizzata del
risultato ossia:
Ipotesi: p e p’ poligoni simili di n lati con n>4
Tesi: per ogni vertice, gli n-2 triangoli corrispondenti che si formano conducendo le n-3 diagonali
sono simili.
Dimostrazione: Siano A, B, C tre vertici consecutivi di p e siano A’, B’, C’ i tre vertici
corrispondenti di p’. Dato che p e p’ sono simili allora vale la proporzione AB:A’B’=BC:B’C’ e
l’uguaglianza degli angoli ABC e A’B’C’. Quindi i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili per il primo
criterio di similitudine.
Abbiamo dunque dimostrato il risultato per il primo triangolo e per la prima diagonale AC condotta
da A. Per proseguire, analogamente a quanto fatto per i poligoni di cinque lati, posso considerare i
poligoni q e q’ che si vengono a formare “staccando” rispettivamente il triangolo ABC e il triangolo
A’B’C’. Tali poligoni avranno n-1 lati e saranno simili. È chiaro che riapplicando ancora una volta
lo stesso ragionamento a q e q’ otterrò due poligoni di n-2 lati, e, iterando, posso - in un numero
finito di passi - ricondurmi al caso di due quadrilateri (per i quali ho già dimostrato la tesi).
In conclusione, per dimostrare la tesi nel caso di poligoni di n lati ho descritto come realizzare una
catena di dimostrazioni (in numero finito) che mi permette di considerare tutti gli n-2 triangoli e
tutte le n-3 diagonali (tesi).
COROLLARIO: dalle similitudini dei triangoli segue che le diagonali omologhe sono in proporzione
come i lati dei poligoni.