Dispense Metodi Matematici per le Applicazioni - Dipartimento di ...

Università degli Studi
di Firenze
Dipartimento di Matematica
“Ulisse Dini”
Appunti del corso
Metodi Matematici
per le Applicazioni
Luigi Barletti
Dipartimento di Matematica “Ulisse Dini”
Università degli Studi di Firenze
Anno Accademico 2010/2011
Disponibile on-line all’indirizzo: www.math.unifi.it/users/barletti/
Tutti i diritti riservati. Sono vietate la riproduzione e la diffusione, anche parziali, senza
l’esplicita autorizzazione da parte dell’autore.

Indice
1 Serie di Fourier 1
1.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Corda vibrante con estremi fissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Problema del “tamburo rettangolare” . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Problemi di Sturm-Liouville 21
2.1 Problema del tamburo circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Una classe di problemi di Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Armoniche Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Il modello quantistico dell’atomo d’idrogeno . . . . . . . . . . . . 37
3 Trasformate di Fourier 42
3.1 Trasformata di Fourier di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . 42
3.2 Teoremi di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Trasformata di Fourier di funzioni L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Soluzione di equazioni alle derivate parziali . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Equazioni del trasporto e dal calore . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Distribuzioni 62
4.1 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Derivazione di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate . . . . . . . . . 68
4.4 Soluzione dell’equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Soluzione dell’equazione delle onde in R 3 e in R 2 . . . . . . . . . 79
4.6 Distribuzione delta periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Semigruppi 85
5.1 Semigruppi di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Gruppo generato da un operatore limitato . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Cenni sul caso del generatore non-limitato . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Sorgenti e perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5 Equazione di trasporto con collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A Richiami su spazi lineari e spazi L p 106
ii

INDICE
iii
B Esercizi 111
Bibliografia 117

Capitolo 1
Serie di Fourier
1.1 Serie di Fourier
Consideriamo una funzione f : R → C che sia 2π-periodica, ovvero tale che
f(x+2π) = f(x), per ogni x ∈ R.
Studieremo la possibilità di sviluppare tale funzione in una serie del tipo
f(x) =
n∈Zf ∑ n e inx . (1.1)
La (1.1) per il momento si deve intendere soltanto come un’espressione formale
il cui significato preciso si delineerà attraverso i risultati che dimostreremo in
seguito. Osserviamo innanzitutto che dall’identità
∫
1 π
e inx dx =
2π −π
{
1, se n = 0
0, se n ∈ Z\{0}
(1.2)
segue, almeno formalmente,
f n = 1
2π
∫ π
−π
f(x)e −inx dx. (1.3)
Notiamo che, se f ∈ L 1 (−π,π) i numeri complessi f n sono ben definiti e prendono
il nome di coefficienti di Fourier (CdF) di f. Anche se i CdF di f sono
ben definiti, la serie a secondo membro della (1.1), che diremo serie di Fourier
(SdF) di f, non è necessariamente convergente.
Osservazione 1.1 Supponiamo che f assuma solamente valori reali. In questo
caso si ha
f n = f −n
per cui possiamo scrivere
∑ ∞∑
f n e inx (
= f 0 + fn e inx +f −n e −inx) ∞∑
= f 0 + 2Re ( f n e inx)
n∈Z
n=1
1
n=1

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 2
= f 0 +
∞∑
2(Ref n cos(nx)−Imf n sin(nx)).
n=1
Si ottiene così la serie di Fourier reale
dove
f(x) = f 0 +
∞∑
a n cos(nx)+b n sin(nx), (1.4)
n=1
f 0 = 1 ∫ π
f(x)dx,
2π −π
a n = 2Ref n = 1 π
b n = −2Imf n = 1 π
∫ π
−π
∫ π
−π
f(x) cos(nx)dx, n ≥ 1,
f(x) sin(nx)dx, n ≥ 1.
(1.5)
Ogni risultato dimostrato per la SdF complessa varrà in particolare per la SdF
reale.
Per prima cosa ci occupiamo della convergenza puntuale.
Lemma 1.2 (Disuguaglianza di Bessel) Se f ∈ L 2 (−π,π) si ha
∑
n∈Z
In particolare, lim n→±∞ f n = 0.
|f n | 2 ≤ 1
2π
∫ π
−π
|f(x)| 2 dx. (1.6)
Dimostrazione Per ogni N = 0,1,2,... e per ogni x ∈ R poniamo
s N (x) :=
N∑
n=−N
f n e inx . (1.7)
Utilizzando la relazione (1.2) e la definizione (1.3), possiamo scrivere
=
∫ π
−π
0 ≤
∫ π
−π
∫ π
|f(x)| 2 dx+ |s N (x)| 2 dx−
−π
∫ π
N∑
= |f(x)| 2 dx+2π
−π
=
∫ π
−π
|f(x)−s N (x)| 2 dx
∫ π
−π
n=−N
|f(x)| 2 dx−2π
Dunque per ogni N = 0,1,2,... si ha
N∑
n=−N
∫ π
f(x)s N (x)dx− f(x)s N (x)dx
−π
} {|f n | 2 −f n f n −f n f n
N∑
n=−N
|f n | 2 .
|f n | 2 ≤ 1 ∫ π
|f(x)| 2 dx,
2π −π

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 3
da cui segue la tesi passando al limite per N → ∞.
□
Dimostriamo ora che la proprietà di decadimento dei coefficienti di Fourier per
n → ∞ vale più in generale per le funzioni di classe L 1 .
Corollario 1.3 (Lemma di Riemann-Lebesgue per le serie di Fourier)
Se f ∈ L 1 (−π,π) si ha lim n→±∞ f n = 0.
Dimostrazione PoichéC0 ∞ (−π,π) èdensoinL 1 (−π,π) (TeoremaA.8), fissato
ǫ > 0 esiste ϕ ∈ C0 ∞(−π,π) tale che ∫ π
|f(x)−ϕ(x)|dx ≤ ǫ. Possiamo perciò
−π
scrivere
∫ π
∫ π
∫ π
∣ f(x)e −inx dx∣ ≤ ∣ (f −ϕ)(x)e −inx ∣
dx∣+
∣ ϕ(x)e −inx dx∣
−π
≤
∫ π
−π
−π
|f(x)−ϕ(x)|dx+ ∣
∫ π
−π
−π
ϕ(x)e −inx ∣
dx∣.
Poiché la tesi vale per ϕ (che sta in L 2 (−π,π)), l’ultimo integrale (che è il
coefficiente di Fourier di ϕ moltiplicato per 2π) è in modulo più piccolo di ǫ per
|n| sufficientemente grande. Per tali n si ha quindi | ∫ π
−π f(x)e−inx dx| ≤ 2ǫ, da
cui la tesi.
□
Consideriamo ora, per ogni N = 0,1,2,..., la seguente funzione
D N (x) :=
N∑
n=−N
e inx , x ∈ R, (1.8)
detta nucleo di Dirichlet. Il nucleo di Dirichlet ci permette di scrivere le somme
parziali (1.7) in forma di convoluzione. Infatti si ha
s N (x) =
N∑
n=−N
∫ π
= 1
2π
−π
e inx
2π
∫ π
−π
f(y)e −iny dy
f(y)D N (x−y)dy = 1
2π
∫ π
−π
f(x−y)D N (y)dy
dove, all’ultimo passaggio, si è sfruttata la periodicità di f e D N .
Moltiplicando D N (x) per e ix −1 si ottiene
(1.9)
(e ix −1)D N (x) =
e, moltiplicando per e −ix/2 ,
ovvero
N∑
n=−N
e i(n+1)x −e inx = e i(N+1)x −e −iNx
(e ix/2 −e −ix/2 )D N (x) = e i(N+1/2)x −e −i(N+1/2)x ,
D N (x) = sin(N + 1 2 )x
sin x 2
. (1.10)
La rappresentazione delle somme parziali come convoluzione col nucleo di Dirichlet
ci permette di dimostrare un importante risultato di convergenzapuntuale
della serie di Fourier.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 4
Teorema 1.4 Sia f : R → C una funzione 2π-periodica tale che f ∈ L 1 (−π,π)
e sia x ∈ R un punto dove esistono i limiti destro f + (x) e sinistro f − (x), ed
esiste δ > 0 tale che
∫ δ
0
∫ δ
0
|f(x+h)−f + (x)|
h
|f(x−h)−f − (x)|
h
dh < ∞
dh < ∞
(1.11)
(detta “condizione del Dini”). Allora
∑
f n e inx = 1 [
f + (x)+f − (x) ] . (1.12)
2
n∈Z
In particolare, si vede facilmente che la serie di Fourier converge puntualmente
a f nei punti in cui questa è Lipschitziana.
∫
Dimostrazione Dalla definizione (1.8) segue che 1 π
2π −π D N(y)dy = 1 e,
poiché D N è una funzione pari,
1
2π
∫ π
0
D N (y)dy = 1
2π
∫ 0
Dunque, usando la (1.10) e la (1.9), potremo scrivere
= 1 π
∫ 0
−π
= 1 π
−π
D N (y)dy = 1 2 .
s N (x)− 1 [
f + (x)+f − (x) ]
2
f(x−y)−f + (x)
D N (y)dy + 1 ∫ π
f(x−y)−f − (x)
D N (y)dy
2 π 2
∫ π
−π
∫ π
= 1 g x (y) sin ( N +
π
2) 1 ydy
−π
∫
[
gx (y)cos y 1 π
[
2]
sinNydy + gx (y)sin y ]
π
2 cosNydy
dove la funzione g x (y) è così definita:
⎧
f(x−y)−f + (x)
⎪⎨ 2sin y , per y ∈ [−π,0),
2
g x (y) := 0, per y = 0,
f(x−y)−f
⎪⎩
− (x)
2sin y , per y ∈ (0,π).
2
Dalla condizione del Dini segue che la funzione g x (y) è integrabile nell’intorno
dell’origine I = (−δ,δ). Inoltre g x (y) è di classe L 1 in (−π,π) \ I (essendo
f ∈ L 1 (−π,π) e |sin y 2 | > 0 fuori da I). Dunque le funzioni g x(y)cos y 2 e
g x (y)sin y 2 sono di classe L1 (−π,π) e quindi (Corollario 1.3) i loro CdF reali
1
π
∫ π
−π
[
gx (y)cos y 2]
sinNydy,
1
π
tendono a zero per N → ∞, da cui la tesi.
0
−π
∫ π
Dimostriamo ora un risultato di convergenza uniforme.
−π
[
gx (y)sin y ]
2 cosNydy,
□

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 5
Teorema 1.5 Sia f : R → C una funzione 2π-periodica, continua e regolare a
tratti. 1 Allora ∑
|f n | < ∞ (1.13)
n∈Z
e la serie di Fourier converge a f uniformemente su R.
Dimostrazione La derivata f ′ di f è limitata con un numero finito di di
discontinuità di prima specie per cui, indicati con f n ′ i CdF di f′ , si dimostra
facilmente che è possibile integrare per parti in (1.3) ottenendo
f n = i ∣ ∣∣
π
2nπ f(x)e−inx − i ∫ π
f ′ (x)e −inx dx = − i
−π 2nπ −π n f′ n.
(
Pertanto, utilizzando la disuguaglianza ab ≤ 1 2 a 2 +b 2) ,
|f n | = |f′ n|
n ≤ 1 (|f ′
2
n| 2 + 1 )
n 2 .
Poiché chiaramente f ′ ∈ L 2 (−π,π), per i coefficienti f n ′ vale la disuguaglianza
di Bessel (1.6), per cui si ha
∑
|f n | ≤ ∑ 1
(|f
2
n| ′ 2 + 1 )
n 2 < +∞.
n∈Z n∈Z
Dunque la serie di Fourier di f risulta uniformemente convergente. Poiché in
ogni punto x esistono finiti i limiti destro e sinistro di f ′ , si può verificare
facilmente che la condizione del Dini è soddisfatta e possiamo concludere dal
Teorema 1.4 che la serie di Fourier converge proprio a f. □
Osservazione 1.6 Il precedente teorema vale nell’ipotesi più generale che f :
R → C sia 2π-periodica, assolutamente continua su R e tale che f ′ ∈ L 2 (−π,π).
Ricordiamo che una funzione f si dice assolutamente continua (AC) su un intervallo
[a,b] se per ogni ǫ > 0 esiste δ tale che ∑ n
i=1 |f(x i)−f(y i )| < ǫ per ogni
collezione finita di intervalli disgiunti (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), ..., (x n ,y n ) contenuti
in [a,b] e tali che ∑ n
i=1 y i−x i < δ. Si dice poi che f è AC su R se è AC su ogni
[a,b] ⊂ R.
il risultato fondamentale sulle funzioni AC è il seguente. Se f è AC su [a,b]
allora f ′ esiste quasi ovunque con f ′ ∈ L 1 (a,b) e si ha f(y)−f(x) = ∫ y
x f′ (t)dt,
per ogni a ≤ x ≤ y ≤ b. Viceversa, se g ∈ L 1 (a,b), allora la funzione ∫ x
a g(t)dt
è AC su [a,b] e ha quasi ovunque per derivata g. Dunque si può sinteticamente
dire che le funzioni assolutamente continue sono quelle per cui vale il teorema
fondamentale del calcolo (vedi [9]).
1 Per funzione “regolare a tratti” in un intervallo [a,b] ⊂ R si intende che la funzione è
derivabile in [a,b] tranne che in un numero finito di punti, in cui però esistono finiti i limiti
destro e sinistro della derivata. Inoltre, diciamo che una funzione è regolare a tratti in R se
lo è in ogni intervallo [a,b] ⊂ R.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 6
La dimostrazione del Teorema 1.5 in queste ipotesi è sostanzialmente identica a
quella fornita sopra. L’unica cosa che cambia è la verifica della condizione del
Dini, che è un po’ più delicata: posto x = 0 per semplicità possiamo scrivere
∫ δ
0
=
|f(h)−f(0)|
h
∫ δ
0
dh ≤
∫ δ ∫ h
0
0
|f ′ (ξ)|
h
dξdh =
∫ δ ∫ δ
0
ξ
|f ′ (ξ)|
h
|f ′ (ξ)|log(δ/ξ)dξ ≤ ‖f ′ ‖ L2 (0,δ) ‖log(δ/ξ)‖ L 2 (0,δ) < ∞,
dhdξ
dove si è usata la disuguaglianza di Hölder (si lascia al lettore la verifica del
fatto che log(δ/ξ) ∈ L 2 (0,δ)). La verifica della condizione del Dini da sinistra
si fa allo stesso modo.
Il successivo risultato riguarda la convergenza “in media quadratica”, cioè nella
norma L 2 . Si tratta di una convergenza particolarmente “naturale” per la serie
di Fourier in quanto, come sarà sottolineato più avanti, questo risultato ha una
chiara interpretazione nell’ambito della teoria degli spazi di Hilbert.
Teorema 1.7 Se f ∈ L 2 (−π,π) si ha che
∫ π
lim
N→∞ −π
e inoltre, se anche g ∈ L 2 (−π,π),
1
2π
∫ π
|f(x)−s N (x)| 2 dx = 0 (1.14)
−πf(x)g(x)dx = ∑ n∈Z
In particolare, prendendo g = f, si avrà
1
2π
∫ π
−π
|f(x)| 2 dx = ∑ n∈Z
formula nota come Teorema di Parseval.
f n g n . (1.15)
|f n | 2 , (1.16)
Dimostrazione Ricordiamo che L 2 (−π,π) è uno spazio di Hilbert con il
prodotto hermitiano
〈f,g〉 :=
∫ π
−π
f(x)g(x)dx, f,g ∈ L 2 (−π,π) (1.17)
e la norma ‖f‖ 2
= 〈f,f〉 1/2 = (∫ π
−π |f(x)|2 dx ) 1/2
. È noto che le funzioni di
classe C ∞ 0 (−π,π) formano un sottospazio denso di L2 (−π,π) (Teorema A.8)
per cui, fissato ǫ > 0, esiste una funzione ϕ ∈ C ∞ 0 (−π,π) tale che
‖f −ϕ‖ 2
≤ ǫ/3.
È evidente che ϕ può essere estesa periodicamente a una funzione di classe
C 1 (R). In base al teorema precedente, la serie di Fourier di ϕ converge a ϕ
uniformemente su R (e quindi anche in norma L 2 su (−π,π)). Siano ϕ n i

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 7
coefficienti di Fourier di ϕ e sia σ N (x) := ∑ N
n=−N ϕ ne inx la corrispondente
successione delle somme parziali. Per N sufficientemente grande si avrà dunque
‖ϕ−σ N ‖ 2
≤ ǫ/3.
I coefficienti di Fourier e le somme parziali di f −ϕ sono dati, rispettivamente,
da f n −ϕ n e da s N (x)−σ N (x). Poiché f−ϕ ∈ L 2 (−π,π), dalla disuguaglianza
di Bessel segue
‖s N −σ N ‖ 2
≤
(
2π ∑ |f n −ϕ n | 2) 1/2
≤ ‖f −ϕ‖2 ≤ ǫ/3.
n∈Z
Pertanto, usando la disuguaglianza triangolare, si ottiene
‖f −s N ‖ 2
≤ ‖f −ϕ‖ 2
+‖ϕ−σ N ‖ 2
+‖σ N −s N ‖ 2
≤ ǫ,
il che prova il risultato di convergenza (1.14). Per dimostrare la (1.15) osserviamo
che
cioè
∫
1 π
s N (x)g(x)dx = 1
2π −π 2π
N∑
n=−N
1
2π 〈s N,g〉 =
∫ π
f n e inx g(x)dx =
N∑
−π
n=−N
f n g n .
N∑
n=−N
f n g n ,
Ricordando che il prodotto Hermitiano in uno spazio di Hilbert è continuo,
passando al limite per N → +∞ si ottiene la (1.15).
□
Come corollario immediato del precedente teorema si ha l’univocità dei coefficienti
di Fourier per le funzioni L 2 .
Corollario 1.8 Siano f e g due funzioni di classe L 2 (−π,π) con gli stessi
coefficienti di Fourier. Allora f(x) = g(x) quasi ovunque.
Dimostrazione Poiché i coefficienti di Fourier di h := f −g sono tutti nulli,
dal teorema di Parseval segue che ‖h‖ 2
= 0 e quindi h(x) = 0 quasi ovunque. □
Osservazione 1.9 Se f assume solo valori reali, utilizzando le relazioni f n =
1
2 (a n −ib n ), f −n = 1 2 (a n +ib n ) (che seguono dalla definizione (1.5) di a n e b n )
si ottiene il teorema di Parseval reale:
1
2π
∫ π
−π
|f(x)| 2 dx = f 2 0 +
∞∑
n=1
a 2 n +b 2 n
. (1.18)
2
Come abbiamo anticipato, il risultato del Teorema 1.7 ha un chiaro significato
geometrico nell’ambito della teoria degli spazi di Hilbert.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 8
Corollario 1.10 Posto
e n (x) := 1 √
2π
e inx , (1.19)
l’insieme B := {e n | n ∈ Z} è una base ortonormale dello spazio di Hilbert
L 2 (−π,π), ovvero un sottoinsieme numerabile, ortonormale e completo. 2
Dimostrazione L’ortonormalità di B segue dall’eq. (1.2) che implica
〈e m ,e n 〉 = δ mn , m,n ∈ Z. (1.20)
La completezza di B segue dal Teorema 1.7, in quanto esso ci dice che ogni
funzione f ∈ L 2 (−π,π) può essere approssimata con precisione arbitraria da
combinazioni lineari finite (le somme parziali s N ) delle funzioni e n . □
Osservazione 1.11 Osseviamo che il CdF f n è proporzionale alla componente
〈f,e n 〉 del “vettore” f nella “direzione” e n :
f n = 1 ∫ π
f(x)e −inx dx = √ 1 〈f,e n 〉.
2π −π 2π
La serie di Fourier e il teorema di Parseval possono essere quindi scritti nella
forma
f = ∑ 〈f,e n 〉e n , ‖f‖ 2 2 = ∑ |〈f,e n 〉| 2 , (1.21)
n∈Z
n∈Z
che vale, più in generale, per qualunque base ortonormale di L 2 (−π,π). Il
teorema di Parseval, dunque, non è altro che il teorema di Pitagora in uno
spazio a dimensione infinita.
Una conseguenza immediata del Corollario 1.10 è la seguente.
Corollario 1.12 L’applicazione
f ↦→ √ 2π(...,f −1 ,f 0 ,f 1 ,...)
che a f associa la successione dei suoi coefficienti di Fourier (moltiplicati per
√
2π) definisce un isomorfismo isometrico F fra gli spazi di Hilbert L 2 (−π,π) e
l 2 (Z,C).
Dimostrazione La dimostrazione è lasciata per esercizio. Ricordiamo che
l 2 (Z,C) è lo spazio di Hilbert delle successioni (...,a −1 ,a 0 ,a 1 ,...), con a n ∈ C
per ogni n ∈ Z, tali che (∑ n∈Z |a n| 2) 1/2
< +∞.
□
2 Per “completo” si intende che ogni vettore di L 2 (−π,π) è approssimabile con precisione
arbitraria tramite combinazioni lineari finite di elementi di B.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 9
Derivazioni successive Per k = 0,1,2,..., indichiamo con f n (k) i coefficienti
di Fourier della derivata k-esima f (k) di f. Nel corso della dimostrazione del
Teorema 1.5 abbiamo già visto che f n (1) = inf n . Ragionando per ricorrenza, se
f ∈ C k (R), si otterrà la seguente formula
f (k)
n = (in) k f n (1.22)
che lega i CdF della f e quelli delle sue derivate. Osserviamo quindi che la
derivazione di f si rilegge sui CdF f n come moltiplicazione per in (questo significa,
fra l’altro, che a una maggiore regolarità di f corrisponde una maggiore
rapidità di convergenza della SdF). Intuitivamente, si può pensare l’operatore
lineare di derivazione d
dx come rappresentato nella base {e n | n ∈ Z} dalla
matrice diagonale (con infinite righe e infinite colonne)
D nm = 〈 d
dx e m,e n 〉 = inδ nm , n,m ∈ Z.
Convoluzioni Se f e g sono due funzioni 2π-periodiche, di classe L 1 (−π,π),
definiamo la convoluzione di f con g come la funzione
(f ∗g)(x) =
∫ π
−π
f(x−y)g(y)dy =
∫ π
−π
f(y)g(x−y)dy = (g ∗f)(x). (1.23)
Risulta che f ∗ g è ancora una funzione 2π-periodica di classe L 1 (−π,π). Si
mostri per esercizio che i suoi coefficienti di Fourier sono dati da:
(f ∗g) n = 2πf n g n .
Dunque, a meno di un fattore 2π, l’n-esimo coefficiente della convoluzione di f
con g è il prodotto dell’n-esimo coefficiente di f con l’n-esimo coefficiente di g.
La Serie di Fourier come sviluppo di Laurent Osserviamo che la SdF
(1.1) può essere riguardata come “traccia” sulla circonferenza unitaria nel piano
complesso della serie di Laurent
f(z) := ∑ n∈Zf n z n . (1.24)
Poiché la parte ascendente della serie di Laurent, ∑ +∞
n=0 f nz n , ha un raggio di
convergenza R, mentre la parte discendente ∑ −∞
n=−1 f nz n ha un “anti-raggio di
convergenza” r (cioè la serie converge per |z| > r e non converge per |z| < r),
allora la serie di Laurent completa avrà una corona circolare di convergenza.
La serie di Fourier può convergere se r ≤ 1 ≤ R. Nel caso r < 1 < R si ha
che ∑ n∈Z f ne inx ) è una funzione analitica (restrizione al cerchio unitario della
funzione f(z), analitica nella corona circolare r < |z| < R).
Funzioni 2l-periodiche Sia l > 0. Se f : R → C è 2l-periodica, allora
g(x) := f ( l
π x) è 2π-periodica. Lo sviluppo in SdF di g porta a uno sviluppo

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 10
in serie di Fourier 2l-periodica di f:
( π
)
f(x) = g
l x = ∑ n∈Z
f n := g n = 1
2π
= 1 2l
∫ l
−l
∫ π
−π
f n e inπ l x (1.25)
g(x)e −inx dx = 1 ∫ π
( ) l
f
2π −π π x e −inx dx
f(x)e −inπ l x dx.
(1.26)
È evidente che tutti i risultati dimostrati per la SdF 2π-periodica valgono più
in generale per la SdF 2l-periodica (a meno di evidenti modifiche alle costanti
che compaiono nelle formule).
1.2 Corda vibrante con estremi fissi
Come esempio fondamentale di applicazione della serie di Fourier, studiamo in
dettaglio il problema della corda vibrante con estremi fissi, ovvero l’equazione
delle onde unidimensionale con condizioni al contorno di Dirichlet e dati iniziali
di Cauchy: ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
u tt (x,t) = c 2 u xx (x,t), x ∈ (0,l), t > 0,
u(0,t) = u(l,t) = 0, t ≥ 0,
(1.27)
u(x,0) = ϕ(x), x ∈ (0,l),
u t (x,0) = ψ(x), x ∈ (0,l).
Tale sistema descrive il comportamento di un mezzo elastico unidimensionale
ideale e, in prima approssimazione, può essere usata per descrivere le vibrazioni
di una corda, ad esempio quella di uno strumento musicale, al variare del tipo di
eccitazione iniziale (pizzicata, percossa, ecc.). In questo caso u(x,t) rappresenta
lo scostamento trasversale della corda nel punto x all’istante t dalla posizione
di riposo u(x,t) = 0.
La nostra discussione inizierà in modo “formale”, nel senso che cercheremo di
ricavareun’espressionedellasoluzionesenzapreoccuparcidellasuaeffettivabuona
definizione, né tantomeno della sua regolarità. La questione se l’espressione
trovata sia effettivamente una soluzione del problema, in senso rigoroso, sarà
oggetto di una discussione successiva.
Per cominciare, tentiamo una soluzione a variabli separate, cioè del tipo
u(x,t) = X(x)T(t).
Sostituendo nella prima delle (1.27) otteniamo
e, dividendo per c 2 X(x)T(t)
X(x)T ′′ (t) = c 2 X ′′ (x)T(t)
T ′′ (t)
c 2 T(t) = X′′ (x)
X(x) .

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 11
Poiché al primo e al secondo membro di questa equazione ci sono, rispettivamente,
una funzione della sola t e una funzione della sola x, l’unica possibilità
affinché l’uguaglianza valga per ogni x e t è che le due espressioni siano costanti.
Dovremo perciò imporre la condizione
T ′′ (t)
c 2 T(t) = X′′ (x)
X(x) = µ (1.28)
doveµèunacostante. Inoltre, lacondizionealcontorno(lasecondadelle(1.27))
sarà sicuramente soddisfatta se X(0) = X(l) = 0. Siamo perciò condotti a
risolvere il problema (detto di Sturm-Liouville) di trovare se esistono costanti µ
e funzioni X tali che
{
X ′′ (x) = µX(x), x ∈ (0,l),
(1.29)
X(0) = X(l) = 0.
Osservazione 1.13 Come vedremo un po’ meglio nel capitolo successivo, il
problema di Sturm-Liouville (1.29) è interpretabile come il problema di trovare
gli autovalori di un operatore lineare (in questo caso la derivata seconda con
condizioni di Dirichlet) che agisce su un certo spazio di funzioni. Le costanti
µ e le corrispondenti funzioni X (non identicamente nulle) che risolvono tale
problema saranno perciò chiamate “autovalori” e “autofuzioni”. In particolare,
l’insieme degli autovalori è chiamato spettro dell’operatore.
La soluzione generale dell’equazione differenziale X ′′ = µX è
X(x) = ae λx +be −λx , µ = λ 2 , (1.30)
dove a e b sono costanti arbitrarie (in generale complesse). Imponendo la
condizione X(0) = X(l) = 0 otteniamo il sistema
{
a+b = 0
ae λl +be −λl = 0.
Tale sistema ammette soluzioni che non siano quella banale (a = b = 0), se e
solo se ( ) 1 1
det
e λl e −λl = e −λl (1−e 2λl ) = 0,
ovvero se e solo se
λ = ik n = i nπ
l , n ∈ Z.
Sostituendo ik n per λ nella (1.30), e tenuto conto della condizione a = −b, si
ottiene, per ogni n ∈ Z fissato, la soluzione
X n (x) = Asin(k n x),
( nπ
µ n = (ik n ) 2 = −
l
con A = 2ia costante arbitraria. Notiamo che per n = 0 la soluzione è identicamente
nulla (e quindi non è un’autofunzione) e che −n e n danno la stessa
) 2,

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 12
soluzione. Prendendo A = 1 abbiamo così individuato la famiglia di coppie
autofunzione-autovalore che risolvono il problema di Sturm-Liouville (1.29):
X n (x) = sin(k n x), µ n = −k 2 n , k n = nπ l
, n = 1,2,... (1.31)
Adesso, tornando alla (1.28), per ogni µ = µ n , troviamo un’equazione per T(t),
T ′′ (t) = µ n c 2 T(t) = −(ck n ) 2 T(t),
che, non imponendo ulteriori condizioni, ha la soluzione generica
T n (t) = Acos(ω n t)+Bsin(ω n t), (1.32)
dove si è posto ω n = ck n = cnπ/l, con A e B costanti arbitrarie. Dunque, in
definitiva, per ogni n intero positivo, abbiamo trovato una soluzione a variabili
separate
u n (x,t) = X n (x)T n (t) = A n cos(ω n t)sin(k n x)+B n sin(ω n t)sin(k n x), (1.33)
con A n e B n costanti arbitrarie. È chiaro che ogni u n, per costruzione, soddisfa
l’equazionedelle onde e soddisfa le condizionial contornodi Dirichlet, e lo stesso
si può dire per ogni combinazione lineare finita delle u n . Tuttavia, in generale,
talisoluzioninonsoddisfanolecondizioniiniziali(omegliosoddisfanocondizioni
iniziali molto speciali, cioè combinazioni lineari finite di seni e coseni). Ma la
teoria della serie di Fourier ci dice che ogni funzione definita su un intervallo
(purché sufficientemente regolare) è una combinazione lineare infinita di seni
e coseni! Perciò l’idea è quella di cercare la soluzione più generale del nostro
problema come combinazione lineare infinita delle u n :
u(x,t) =
∞∑
A n sin(k n x)cos(ω n t)+B n sin(k n x)sin(ω n t). (1.34)
n=1
Se vogliamo che u soddisfi i dati iniziali, otteniamo le condizioni
∞∑
A n sin(k n x) = ϕ(x),
n=1
∞∑
ω n B n sin(k n x) = ψ(x),
n=1
x ∈ (0,l).
Possiamo interpretare queste equazioni come sviluppi in serie di Fourier delle
funzioni ϕ e ψ estese in modo dispari (perché sono sviluppi in soli seni) nell’intervallo
[−l,l]. Dunque, le condizioni iniziali sono (almeno formalmente)
soddisfatte se A n e ω n B n sono i coefficienti di Fourier delle funzioni ϕ e ψ,
intese come prolungamento dispari, ovvero
A n = 1 l
∫ l
B n = 1
lω n
∫ l
−lϕ(x)sin(k n x)dx = 2 l
−l
∫ l
0
ϕ(x)sin(k n x)dx (1.35)
ψ(x)sin(k n x)dx = 2 ∫ l
ψ(x)sin(k n x)dx. (1.36)
lω n
0

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 13
Con tale scelta dei coefficienti A n e B n , la (1.34) è la nostra soluzione formale
del problema (1.27).
Prima di discuterne il significato fisico, preoccupiamoci ora di dimostrare sotto
quali condizioni la soluzione trovata è effettivamente una soluzione in senso
rigoroso.
Osservazione 1.14 Nonostanteche il problema(1.27)siaformulatoper istanti
successivi a quello iniziale (t ≥ 0) dimostreremo che la soluzione è in realtà ben
definita per tutti i tempi t ∈ R. Ciò poteva essere prevedibile osservando che,
cambiando t in −t, il problema (1.27) resta invariato (salvo prendere il dato
−ψ al posto di ψ). In altre parole, le proprietà matematiche del problema non
dipendono dalla direzione del tempo.
Teorema 1.15 Se ϕ ∈ C 2 [0,l] e ψ ∈ C 1 [0,l], con ϕ ′′ e ψ ′ regolari a tratti, 3 e
se ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ ′′ (0) = ϕ ′′ (l) = ψ(0) = ψ(l) = 0, allora la funzione u(x,t)
definita da (1.34), (1.35), (1.36), è soluzione regolare (cioè di classe C 2 ([0,l]×
R)) del problema (1.27).
Dimostrazione Consideriamo ϕ e ψ estese in modo dispari sull’intervallo
(−l,l). Come si può facilmente verificare, le ipotesi del teorema assicurano che
le estensioni 2l-periodiche di ϕ, ϕ ′ , ϕ ′′ ψ e ψ ′ a tutto R sono continue e regolari
a tratti. Dunque possiamo applicare il Teorema 1.5, in particolare, alle funzioni
ϕ, ϕ ′′ , ψ e ψ ′ per cui, indicati con ϕ n , ϕ ′′ n , ψ ne ψ n ′ i CdF di tali funzioni si ha
∞∑ ∞∑ ∞∑ ∞∑
|ϕ n | < ∞, |ϕ ′′ n| < ∞, |ψ n | < ∞, |ψ n| ′ < ∞.
n=1
n=1
n=1
Ora, poiché A n = ϕ n e ω n B n = ψ n , si ha chiaramente
n=1
|u n (x,t)| ≤ |A n |+|B n | = |ϕ n |+| ψ n
|,
ω n ∣ ∂ 2 u n ∣∣∣
∣ ∂x 2 (x,t) ≤ |knA 2 n |+|knB 2 n | = |ϕ ′′ n|+ 1 c |ψ′ n|,
∣
∂ 2 u n
∂t 2 (x,t) ∣ ∣∣∣
≤ |ω 2 nA n |+|ω 2 nB n | = |c 2 ϕ ′′ n|+|cψ ′ n|,
per ogni x ∈ [0,l] e t ∈ R. Poiché, come abbiamo appena visto, i membri di
destra di queste disuguaglianze sono i termini di serie convergenti, si ha che la
serie delle u n (x,t) e delle sue derivate del secondo ordine sono uniformemente
convergenti. Pertanto vale il teorema di derivazione per serie e possiamo concludere
che u ∈ C 2 ([0,l]×R) con u tt = c 2 u xx . Inoltre, chiaramente, valgono le
condizioni iniziali e quelle al contorno.
□
Osservazione 1.16 Se si suppone meno regolarità sui dati iniziali, la serie che
definisce u potrà essereancoraconvergentema non averela regolaritànecessaria
per poter derivare in senso classico. Si otterranno perciò soluzioni in un qualche
senso generalizzato (p.es. soluzioni deboli [7]).
3 Vedi nota a pag. 5.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 14
n = 1 n = 2
n = 3 n = 4
Figura 1.1: Profili delle prime quattro armoniche della corda vibrante con estremi
fissi. Sono evidenziati i punti nodali.
Per capire meglio il significato fisico della soluzione (1.34), osserviamo che essa
è data dalla sovrapposizione di infinite funzioni u n , che sono dette armoniche.
Riscriviamo l’armonica u n nel modo seguente:
u n (x,t) = α n sin(ω n t+γ n )sin(k n x), (1.37)
dove abbiamo introdotto l’ampiezza α n e la fase γ n date da
α n = √ A 2 n +B2 n , cosγ n =
B
√ n
.
A
2 n +Bn
2
Osserviamoquindi cheu n si comportacome un’onda stazionaria, ovveroun profilo
costante sin(k n x) modulato armonicamente nel tempo dall’ampiezza oscillante
α n sin(ω n t+γ n ). In particolare, osserviamo che, durante l’oscillazione, i
punti in cui si annulla il fattore sin(k n x) rimangono fermi. Tali punti sono detti
punti nodali e si ottengono risolvendo k n x = qπ con q ∈ Z e x ∈ (0,l). Risulta
perciò che l’n-esima armonica ha esattamente n−1 punti nodali, dati da
x = ql
n ,
q = 1,2,...n−1
(si veda la figura 1.1). Il fattore α n sin(ω n t+γ n ) oscilla con frequenza
ν n = ω n
2π = nc
2l = n √ σ
2l ρ ,
dove si è usata la relazione c =
√
σ
ρ
, in cui σ è la tensione della corda e ρ la
sua densità (lineare). Dunque u n corrisponde a un “suono” di frequenza ν n ,

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 15
detto suono armonico. Il più basso dei suoni armonici è quello dell’armonica
fondamentale u 1 , che vibra con frequenza
ν 1 = 1 2l
e che sostanzialmente determina l’altezza del suono prodotto dalla corda vibrante.
Semplificando un po’ le cose, possiamo dire che la sovrapposizione delle
diverse armoniche che vanno a formare u (ce ne sono infinite ma di fatto solo le
prime unità, massimo decine, sono importanti) contribuiscono a determinare il
timbro del suono. 4 Per quanto riguarda l’intensità, questa è legata all’energia
della vibrazione:
E(t) = 1 2
∫ l
0
√ σ
ρ
[
ρu
2
t (x,t)+σu 2 x (x,t)] dx (1.38)
in cui si distinguono una parte di energia cinetica e una parte di energia potenziale
elastica. Ora, poiché
∞∑
u t (x,t) = ω n α n cos(ω n t+γ n )sin(k n x),
u x (x,t) =
n=1
∞∑
k n α n sin(ω n t+γ n )cos(k n x),
n=1
possono essere interpretati come sviluppi in serie di Fourier di una funzione
dispari e una pari su [−l,l], per il teorema di Parseval reale (1.18) si ha
∫ l
0
∫ l
0
u 2 t (x,t)dx = 1 2
u 2 x(x,t)dx = 1 2
∫ l
−l
∫ l
−l
u 2 t (x,t)dx = ∞ ∑
u 2 x(x,t)dx =
n=1
∞∑
n=1
l
2 (ω nα n ) 2 cos 2 (ω n t+γ n ),
l
2 (k nα n ) 2 sin 2 (ω n t+γ n ).
Pertanto, ricordando che σ = c 2 ρ, si ottiene
E(t) = σ ∫ l
[ ] u
2
t (x,t)
2 c 2 +u 2 x(x,t) dx = σl ∞∑
(k n α n ) 2 = σl
4 4
0
n=1
∞∑
kn(A 2 2 n +Bn).
2
Osserviamo che E(t) = E(0) := E per ogni t, e dunque si ha la conservazione
dell’energia. Infine, ricordando che A n = ϕ n e ω n B n = ψ n , dove ϕ n e ψ n sono
i coefficienti di Fourier del prolungamento dispari di ϕ e ψ a (−l,l), si può
scrivere l’energia in funzione di tali coefficienti:
E =
∞∑
n=1
n=1
l ( ∑
ρψ
2
4 n +σknϕ 2 2 n) ∞ lρ (
= ψ
2
4 n +ωnϕ 2 2 )
n . (1.39)
n=1
Esercizio 1.17 Utilizzando la conservazione dell’energia enunciare e dimostrare
un risultato di unicità per la soluzione del problema della corda vibrante.
4 In realtà il timbro caratteristico di uno strumento dipende da molti altri fattori, come
ad esempio l’attacco, il rilascio e, più in generale, l’evoluzione temporale della forma d’onda.
Teniamo sempre presente che il sistema (1.27) è una descrizione molto semplificata della realtà
(in particolare non prevede effetti dissipativi, per cui il suono si estenderebbe indefinitamente
nel tempo).

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 16
1.3 Problema del “tamburo rettangolare”
Consideriamo una membrana elastica ideale di forma rettangolare, con lati di
lunghezza a e b, vincolata a rimanere fissa sul bordo. Posto
R = {(x,y) ∈ R 2 | 0 < x < a, 0 < y < b},
le vibrazioni di tale membrana (“tamburo rettangolare”) sono descritte dal
seguente sistema:
⎧
u tt (x,y,t) = c 2 (u xx +u yy )(x,y,t), (x,y) ∈ R, t > 0,
⎪⎨ u(x,y,t) = 0, (x,y) ∈ ∂R, t ≥ 0,
(1.40)
u(x,y,0) = ϕ(x,y), (x,y) ∈ R,
⎪⎩
u t (x,y,0) = ψ(x,y), (x,y) ∈ R,
dove ϕ e ψ sono opportuni dati iniziali. Risolviamo il problema per separazione
di variabili, come nell’esempio precedente. Se cerchiamo una soluzione della
forma
u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t),
dalla prima delle (1.40) otteniamo
X(x)Y(y)T ′′ (t) = c 2 [X ′′ (x)Y(y)T(t)+X(x)Y ′′ (y)T(t)]
e, analogamente al caso precedente, dividendo per c 2 X(x)Y(y)T(t) si ottiene la
condizione
T ′′ (t)
c 2 T(t) = X′′ (x)
X(x) + Y ′′ (x)
Y(y) = µ.
con µ costante. Ancora, dall’uguaglianza X′′ (x)
X(x)
= µ − Y ′′ (x)
Y(y)
deduciamo che
dovrà esistere un’altra costante η per cui
X ′′ (x)
X(x) = µ− Y ′′ (x)
Y(y) = η.
Osserviamo inoltre che la condizione al contorno risulterà soddisfatta se
X(0) = X(a) = Y(0) = Y(b) = 0.
Ci troviamo perciò di fronte a una coppia di problemi di Sturm-Liouville:
{
X ′′ (x) = ηX(x), x ∈ (0,a),
X(0) = X(a) = 0,
{
Y ′′ (y) = γY(y), y ∈ (0,b),
Y(0) = Y(b) = 0,
(1.41)
dove γ = µ −η. Come abbiamo già visto nel risolvere il problema della corda
vibrante, entrambi questi problemi hanno una famiglia numerabile di soluzioni
(coppie autofunzione-autovalore) date da
X m (x) = sin(k a mx), η m = −(k a m) 2 , k a m = mπ
a , m = 1,2,...
Y n (x) = sin(k b ny), γ n = −(k b n) 2 , k b n = nπ
b , n = 1,2,... (1.42)

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 17
Per ogni scelta di m e n si ha perciò
[ (mπ ) 2 ( nπ
µ = µ mn = η m +γ n = − +
a b
e la corrispondente equazione per T(t) è
T ′′ (t) = −ωmnT(t),
2
) 2
]
(1.43)
dove √ (mπ ) 2 ( nπ
) 2
√
ω mn = c + = c (k
a b
m) a 2 +(kn) b 2 .
Tale equazione ha soluzione generale
T mn (t) = Acos(ω mn t)+Bsin(ω mn t),
con A e B costantiarbitrarie. Si è perciòtrovatala soluzione a variabiliseparate
u mn (x,y,t) = X m (x)Y n (y)T mn (t)
= [A mn cos(ω mn t)+B mn sin(ω mn t)]sin(kmx)sin(k a ny)
b (1.44)
= α mn sin(ω mn t+γ mn )sin(km a x)sin(kb n y),
con A mn , B mn costanti arbitrarie e
α mn = √ A 2 mn +B2 mn , cosγ mn =
B mn
√ .
A
2 mn +Bmn
2
Sempre procedendo come nel caso della corda vibrante, cerchiamo la soluzione
generale del problema (1.40) come somma di infinite “armoniche” u mn :
u(x,y,t) =
∞∑
m,n=1
Imponendo il dato iniziale otteniamo le condizioni
∞∑
m,n=1
∞∑
m,n=1
A mn sin(km a x)sin(kb ny) = ϕ(x,y),
u mn (x,y,t). (1.45)
ω mn B mn sin(k a m x)sin(kb n y) = ψ(x,y). (1.46)
Per andare avanti occorre fare una piccola digressione sullo sviluppo in serie di
Fourier di una funzione di due variabili definita nel rettangolo [−a,a]×[−b,b]:
f(x,y), −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b.
Per ogni y fissata, la funzione f(x,y) (vista come funzione della sola x) può
essere sviluppata (almeno formalmente) in serie di Fourier:
f(x,y) = ∑ m∈Z
f m (y)e imπ a x , f m (y) = 1
2a
∫ a
−a
mπ −i
f(x,y)e a x dx.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 18
I coefficienti di Fourier f m (y), che sono ovviamente funzioni di y ∈ [−b,b],
possono essere a loro volta sviluppati in serie di Fourier:
f m (y) = ∑ n∈Z
f mn e i nπ
b y ,
f mn = 1 2b
∫ b
−b
nπ −i
f m (y)e a y dy.
In definitiva si ha perciò lo sviluppo di f in “serie di Fourier doppia”
f(x,y) = ∑
f mn e i(ka m x+kby) n
,
f mn = 1
4ab
m,n∈Z
∫ a ∫ b
−a
−b
f(x,y)e −i(ka m x+kb n y) dxdy.
(1.47)
dove, come precedentemente definito, km a = mπ
a , kb n = nπ b
. Senza preoccuparci
di scrivere un’espressione generale per il caso reale, limitiamoci ad osservare che
se f è reale e dispari (cioè f(−x,y) = f(x,−y) = −f(x,y)) allora lo sviluppo
(1.47) si può scrivere
f(x,y) =
a mn = 1 ab
= 4 ab
∞∑
m,n=1
∫ a ∫ b
−a −b
∫ a ∫ b
0
a mn sin(k a m x)sin(kb n y)
0
f(x,y)sin(k a m x)sin(kb n y)dxdy
f(x,y)sin(k a mx)sin(k b ny)dxdy.
(1.48)
Tornando al nostro problema, se confrontiamo (1.46) con (1.48), possiamo riconoscere
in (1.46) lo sviluppo in serie di Fourier doppia dei prolungamenti dispari
di ϕ e ψ al rettangolo [−a,a]×[−b,b]. Quindi le condizioni iniziali sono (formalmente)
soddisfatte se le costanti arbitrarie A mn e ω mn B mn sono i coefficienti
dello sviluppo in serie di Fourier doppia delle funzioni dispari ϕ e ψ, ovvero
A mn = 4 ab
∫ a ∫ b
0
B mn = 1
ω mn
4
ab
ϕ(x,y)sin(k a mx)sin(k b ny)dxdy. (1.49)
0
∫ a ∫ b
0
0
ψ(x,y)sin(km a x)sin(kb ny)dxdy. (1.50)
Con tale scelta dei coefficienti A mn e B mn , la (1.45) è la soluzione formale
del problema (1.40). Naturalmente si possono dimostrare per questa soluzione
risultati rigorosi analoghi al Teorema 1.15.
Per quanto riguarda l’interpretazione fisica, valgono considerazioni analoghe a
quelle svolte per la corda vibrante. Notiamo, in particolare, che le armoniche
u mn consistono in una modulazione, di frequenza temporale ω mn /2π, del
profilo sin(km a x)sin(kb ny). In questo caso i punti che rimangono fissi durante
l’oscillazione (corrispondenti all’annullarsi del fattore sin(kmx) a o del fattore
sin(kny)) b formanodelle linee nodali parallele agli assicartesiani. Perl’esattezza,
l’armonica u mn ha m−1 linee nodali parallele all’asse y, di equazioni
x = qa m ,
q = 1,2,...m−1,

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 19
Figura 1.2: Rappresentazione dei profili spaziali di alcune armoniche del tamburo
rettangolare (in questo esempio b = a/2). Le tonalità di grigio corrispondono a diverse
altezze della membrana e sono evidenziate le linee nodali.
e n−1 linee nodali parallele all’asse x, di equazioni
(si veda la figura 1.2).
y = qb
n ,
q = 1,2,...n−1,
Osservazione 1.18 Nell’esempio precedente abbiamo incontrato la serie di
Fourier doppia (1.47). Naturalmente si può scrivere, più in generale, lo sviluppo
in serie di Fourier di una funzione f, di N variabili, definita nel rettangolo
R = [−l 1 ,l 1 ]×[−l 2 ,l 2 ]×···[−l N ,l N ]
(ed eventualmente estesa periodicamente al di fuori di esso). Generalizzando la
(1.47), la forma di tale sviluppo (serie di Fourier multipla) è la seguente:
f(x) = ∑
∫
f n e ikn·x 1
, f n = f(x)e −ikn·x dx (1.51)
mis(R)
n∈Z N R
dove
x = (x 1 ,x 2 ,...,x N ), n = (n 1 ,n 2 ,...,n N ) k n =
(
n1 π
l 1
, n 2π
l 2
,..., n Nπ
l N
)
.

CAPITOLO 1. SERIE DI FOURIER 20
Per la serie di Fourier multipla valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel
caso unidimensionale. 5
5 Ancora più in generale, si può estendere la serie di Fourier anche a funzioni definite su in
insieme di tipo LR, dove R è il rettangolo sopra definito e L è una qualunque trasformazione
lineare con determinante non nullo.

Capitolo 2
Problemi di Sturm-Liouville
e funzioni speciali
2.1 Problema del tamburo circolare
Consideriamo il problema di studiare le oscillazioni di una membrana elastica di
forma circolare vincolata a rimanere fissa sul bordo, studiamo cioè il problema
del “tamburo circolare” di raggio r. Posto
D = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 +y 2 < r 2 },
il problema differenziale da risolvere, analogo al problema (1.40) ma in una
diversa geometria, è
⎧
u tt (x,y,t) = c 2 (u xx +u yy )(x,y,t), (x,y) ∈ D, t > 0,
⎪⎨ u(x,y,t) = 0, (x,y) ∈ ∂D, t ≥ 0,
(2.1)
u(x,y,0) = ϕ(x,y), (x,y) ∈ D,
⎪⎩
u t (x,y,0) = ψ(x,y), (x,y) ∈ D,
dove ϕ e ψ sono i dati iniziali. La tecnica di separazione delle variabili, rispetto
alle variabili x e y, risulta problematica perché la condizione al bordo è, per
così dire, “non fattorizzabile”. Possiamo però provare a usare la separazione di
variabili rispetto alle coordinate polari
{
x = ρcosθ,
ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π,
y = ρsinθ,
in cui la condizione al bordo si esprimerè tramite la sola ρ. Posto ˜f(ρ,θ) =
f(ρcosθ,ρsinθ) e ricordando l’epressione dell’operatore Laplaciano in coordi-
21

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 22
nate polari, il problema si trasforma in
⎧
ũ tt (ρ,θ,t) = c 2( ũ ρρ + 1 ρ ũρ + 1 )
ρ 2 ũθθ (ρ,θ,t), 0 < ρ < r, 0 < θ < 2π, t > 0,
⎪⎨ ũ(r,θ,t) = 0, 0 ≤ θ < 2π, t ≥ 0,
ũ(ρ,θ,0) = ˜ϕ(ρ,θ), 0 < ρ ≤ r, 0 ≤ θ < 2π,
⎪⎩
ũ t (ρ,θ,0) = ˜ψ(ρ,θ), 0 < ρ ≤ r, 0 ≤ θ < 2π,
(2.2)
Come negli esempi visti nel capitolo precedente, cerchiamo una soluzione a
variabili separate:
ũ(ρ,θ,t) = R(ρ)H(θ)T(t),
da cui (omettendo l’indicazione delle variabili indipendenti) la condizione
RHT ′′ = c
(R 2 ′′ HT + 1 ρ R′ HT + 1 )
ρ 2 RH′′ T .
Dividendo per c 2 RHT e separando il termine che dipende solo da t si ottiene
T ′′
c 2 T = R′′
R + R′
ρR + H′′
ρ 2 H
= −µ. (2.3)
con µ costante (il segno meno è per la successiva convenienza di scrittura).
Moltiplicando per ρ 2 e separando il termine che dipende solo da θ si ottiene
altresì
ρ 2 R ′′
R + ρR′
R +ρ2 µ = − H′′
H = ν,
dove ν è un’altra costante. Tenuto conto che la condizione al bordo del disco è
soddisfatta se R(r) = 0 e che la variabile θ è da considerarsi periodica, siamo
condotti alla coppia di problemi di tipo Sturm-Liouville
{ {
H ′′ = −νH, ρ 2 R ′′ +ρR ′ +(ρ 2 µ−ν)R = 0,
(2.4)
H(θ) = H(θ +2π), R(r) = 0.
Occupiamoci per prima del problema per H. La soluzione generica dell’equazione
H ′′ = −νH è
H(θ) = ae λθ +be −λθ ,
λ = √ −ν,
con a e b costanti arbitrarie. Posto λ = α + iβ, con α,β ∈ R si vede che la
soluzione può essere periodica solo se α = 0. Con α = 0 si ha una soluzione di
periodo 2π/|β|. Pertanto, se vogliamo che la soluzione sia 2π-periodica, bisogna
che β sia un numero intero e dunque λ = λ m = im, con m ∈ Z. Si ha quindi la
famiglia di coppie autofunzione-autovalore
H m (θ) = e imθ , ν m = −λ 2 m = m2 , m ∈ Z (2.5)
(che corrispondeallabase di Fourieranalizzatanel precedentecapitolo). Fissato
dunque ν = ν m = m 2 , studiamo il problema per R
{
ρ 2 R ′′ +ρR ′ +(ρ 2 µ−m 2 )R = 0,
R(r) = 0.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 23
Conviene cambiare variabile, ponendo
ξ = √ µρ, g(ξ) = R(ξ/ √ µ),
e definire N := |m|. Si ottiene così la seguente equazione differenziale per g
ξ 2 g ′′ (ξ)+ξg ′ (ξ)+ ( ξ 2 −N 2) g(ξ) = 0, (2.6)
dettaequazione di Bessel di ordine N. Proviamoarisolverel’equazionediBessel
per serie: ponendo g(ξ) = ∑ ∞
k=0 c kξ k si ha
∞∑
∞∑ ∞∑ ∑
∞
k(k −1)c k ξ k + kc k ξ k + c k−2 ξ k −N 2 c k ξ k = 0
k=2
k=1
per cui, uguagliando i coefficienti delle uguali potenze di ξ, si ottengono le
relazioni ricorsive
⎧
⎪⎨
N 2 c 0 = 0,
(1−N 2 )c 1 = 0,
⎪⎩
(k 2 −N 2 )c k +c k−2 = 0, k ≥ 2.
Notiamo che i c k sono tutti nulli fino a k = N − 1 (infatti solo per k = N
l’equazione ricorsiva è compatibile con c k ≠ 0) e dunque
Conviene quindi definire
k=2
c 0 = c 1 = ··· = c N−1 = 0.
a j := c N+j , j = 0,1,2,...
per cui a 0 non è necessariamente nullo e la serie di potenze di g diventa
∑
∞
g(ξ) = ξ N a j ξ j .
Inoltre, (k 2 −N 2 )c k +c k−2 scritta per k = N +j, con j ≥ 0, diventa
e dunque
j=0
[(N +j) 2 −N 2 ]c N+j +c N+j−2 = 0,
• per j = 0 si ottiene 0a 0 = 0, perciò a 0 è arbitrario;
• per j = 1 si ottiene (1+2N)a 1 = 0, perciò a 1 = 0;
• per j ≥ 2 si ottiene la formula ricorsiva
a j = − a j−2
j(j +2N) .
k=0

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 24
Osserviamo che gli a j con j dispari sono tutti nulli: a 1 = a 3 = a 5 = ··· = 0.
Posto j = 2k, si ha
a 2k = − a 2(k−1)
4k(k +N) ,
da cui
e, scegliendo
otteniamo
Si ha così
g(ξ) =
a 2k = (−1) k a 0 N!
4 k k!(k +N)! .
a 2k =
∞∑
k=0
a 0 = 1
2 N N! ,
(−1) k
2 2k+N k!(k +N)! .
(−1) k ( ) 2k+N ξ
=: J N (ξ). (2.7)
k!(k +N)! 2
Notiamo che la serie di potenze converge su tutto R a una funzione analitica
J N detta funzione di Bessel di prima specie di ordine N.
Torniamo quindi alla funzione radiale R. Abbiamo trovato che
R(ρ) = g( √ µρ) = J |m| ( √ µρ)
ma dobbiamo ancora imporre la condizione R(r) = 0. Risulta che J N , ha una
successione infinita di zeri che numeriamo a partire dal primo zero strettamente
positivo 1 0 < ξ N 0 < ξN 1 < ξN 2 < ...
(vedi figura 2.1). Dunque la condizione R(r) = 0 è soddisfatta se e solo se
√ µr = ξ
|m|
n , ovvero
µ = kmn 2 , k mn := ξ|m| n
r ,
per un certo n = 0,1,2,.... Abbiamo dunque trovato la famiglia di coppie
autovalore-autofunzione
µ mn = k 2 mn , R mn(ρ) = J |m| (k mn ρ), m ∈ Z, n = 0,1,2,... (2.8)
Fissati m ed n, dalla (2.3) si ottiene l’equazione per T(t)
T ′′ = −c 2 k 2 mn T
che ha soluzione generica T mn (t) = Acos(ω mn t) + Bsin(ω mn t), con A e B
costanti complesse, dove si è posto
ω mn = ck mn = cξ|m| n
r
1 Per N ≥ 1 c’è sempre uno zero anche nell’origine, che non contiamo.
.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 25
1
N = 0
N = 1
N = 2
0.5
0
−0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Figura 2.1: Plot delle prime tre funzioni di Bessel, J 0, J 1 e J 2.
Così, analogamente al caso della corda vibrante e del tamburo rettangolare, abbiamo
trovato le soluzioni a variabiliseparate, ovverole armoniche, del tamburo
circolare,
dove si è posto
ũ mn (ρ,θ,t) = [A mn cos(ω mn t)+B mn sin(ω mn t)]W mn (ρ,θ).
W mn (ρ,θ) := J |m| (k mn ρ)e imθ , (2.9)
che chiameremo funzioni cilindriche. Cerchiamo la soluzione del problema (2.1)
come somma di infinite armoniche,
ũ(ρ,θ,t) = ∑ ∞∑
[A mn cos(ω mn t)+B mn sin(ω mn t)]W mn (ρ,θ), (2.10)
m∈Z n=0
per cui le condizioni iniziali diventano
∑ ∞∑
A mn W mn (ρ,θ) = ˜ϕ(ρ,θ),
m∈Z n=0
∑
m∈Z n=0
∞∑
ω mn B mn W mn (ρ,θ) = ˜ψ(ρ,θ).
(2.11)
Si presenta quindi l’esigenza di sviluppare funzioni definite su (ρ,θ) ∈ (0,r) ×
(0,2π)inunaseriedifunzionicilindriche. Sipuòdimostrarechevalelaproprietà
di ortogonalità
∫ 2π ∫ r
0
0
W mn (ρ,θ)W m ′ n ′(ρ,θ)ρdρdθ = C(N,n)δ mm ′δ nn ′, (2.12)
dove la costante di normalizzazione C(|m|,n) risulta essere
C(N,n) = πr 2[ J ′ N(
ξ
N
n
)] 2. (2.13)

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 26
Pertanto lo sviluppo (formale) in serie di funzioni cilindriche è così fatto:
f(ρ,θ) = ∑ m∈Z
f mn =
1
C(|m|,n)
∞∑
f mn W mn (ρ,θ),
n=0
∫ 2π ∫ r
0
0
f(ρ,θ)W mn (ρ,θ)ρdρdθ.
(2.14)
Per questo tipo di sviluppo valgono risultati analoghi a quelli visti per le serie
di Fourier (si veda [5] e più avanti in questo capitolo).
Osservazione 2.1 Losviluppo(2.14)èunosviluppocomplesso. Analogamente
a quanto fatto per le serie di Fourier, se f è una funzione a valori reali, si può
scrivere lo sviluppo di f in serie di funzioni cilindriche reali. Si lascia al lettore
per esercizio la verifica che tale sviluppo ha la seguente forma:
f(ρ,θ) =
∞∑
m=0n=0
∞∑
a mn [f] cos(mθ)J m (k mn ρ)+b mn [f] sin(mθ)J m (k mn ρ)
a mn [f] =
{
f0n , se m = 0,
2Ref mn , se m ≥ 1,
b mn [f] = −2Imf mn .
(2.15)
Figura 2.2: Alcune funzioni cilindiriche reali di tipo cos(mθ)J m(k mnρ). Le corrispondenti
funzioni di tipo sin(mθ)J m(k mnρ) si ottengono semplicemente con una rotazione
π
di attorno al’asse del disco. L’interpretazione dei grafici è la stessa della figura 1.2.
2m
Notare le linee nodali radiali e quelle angolari.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 27
Dunque, le condizioni iniziali (2.11) fissano le costanti A mn B mn che, con le
notazioni appena introdotte, sono date da
A mn = ˜ϕ mn , B mn = 1
ω mn
˜ψmn .
Pertanto, sostituendo i due sviluppi complessi nella (2.10) con i corrispondenti
sviluppi reali, si ottiene la formula finale per la soluzione:
ũ(ρ,θ,t) =
+
∞∑
m,n=0
∞∑
m,n=0
cos(ω mn t)[a mn [˜ϕ] cos(mθ)+b mn [˜ϕ] sin(mθ)]J m (k mn ρ)
sin(ω mn t)
[
]
a mn [˜ψ] cos(mθ)+b mn [˜ψ] sin(mθ) J m (k mn ρ)
ω mn
(2.16)
Notiamo che la soluzione si scompone in una sovrapposizionedi onde stazionare
il cui profilo spaziale è dato dalle funzioni cilindriche reali
cos(mθ)J m (k mn ρ), sin(mθ)J m (k mn ρ), m,n = 0,1,2,...
Osserviamo che (per entrambi i tipi di funzione) si hanno esattamente m nodi
angolari, che per m ≠ 0 sono dati da
θ = qπ m (per il seno), θ = qπ m + π
2m
e n nodi radiali
(vedi figura 2.2).
ρ = ξn q
k mn
,
(per il coseno), q = 1,2,...,m,
q = 0,1,...,n−1
2.2 Una classe di problemi di Sturm-Liouville
Come abbiamo visto dagli esempi fin qui considerati, il metodo di separazione
delle variabili per la soluzione di equazioni alle derivate parziali conduce spesso
a un problema differenziale, alle derivate ordinarie, del seguente tipo (detto
problema di Sturm-Liouville): determinare u : (a,b) → C e µ ∈ C che soddisfino
⎧ [ (
1 d ⎪⎨ p(x) d ) ]
ρ(x) dx dx u(x) −q(x)u(x) +µu(x) = 0, a < x < b,
(2.17)
⎪⎩
+ opportune condizioni lineari in x = a e x = b,
dove ρ, p e q sono funzioni assegnate. Se esistono una costante µ ∈ C e una
funzione u non identicamente nulla per cui vale la (2.17), si dice allora che u è
un’autofunzione, relativa all’autovalore µ, dell’operatore di Sturm-Liouville
A = 1
ρ(x)
[
− d
dx
(
p(x) d
dx
)
+q(x)
]
(+ condizioni in a e b).

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 28
Il motivo di tale terminologia deriva dal fatto che l’eq. (2.17) si può riscrivere,
almeno formalmente,
Au = µu,
e dunque è interpretabilecome problemaagli autovalori(in un opportuno spazio
vettoriale a dimensione infinita) per l’operatore lineare A.
Ci sono diverse categoriedi problemi di questo tipo, a seconda delle varie ipotesi
sulle funzioni ρ, p q e sulle condizioni al contorno. Un risultato piutosto generale
(che ci limitiamo ad enunciare, senza dimostrazione) è il seguente.
Teorema 2.2 Supponiamo p, p ′ , q, ρ reali e continue in [a,b], con p > 0 e
ρ > 0 in (a,b), e consideriamo il problema (2.17) con le seguenti condizioni
negli estremi:
⎧
⎨α 1 u(a)+α 2 u ′ (a) = 0, se p(a) ≠ 0, β 1 u(b)+β 2 u ′ (b) = 0, se p(b) ≠ 0,
⎩
lim
x→a +u(x)
< ∞, se
p(a) = 0, ⎧
⎨
⎩
lim
x→b−u(x) < ∞, se p(b) = 0,
(2.18)
dove α 1 ,α 2 ,β 1 ,β 2 sono costanti reali tali che (α 1 ,α 2 ) ≠ (0,0) e (β 1 ,β 2 ) ≠ (0,0).
Allora si ha:
(i) il problema di Sturm-Liouville (2.17) con le condizioni al contorno (2.18)
ha un’infinità numerabile di soluzioni regolari {(u n ,µ n ) | n = 0,1,2,...};
(ii) gli autovalori µ n sono reali, distinti e formano una successione crescente
µ 0 < µ 1 < µ 2 < ··· tendente a +∞;
(iii) le autofunzioni u n formano una base ortogonale (che si può sempre supporre
ortonormale) dello spazio di Hilbert (complesso) L 2 ((a,b),ρ(x)dx),
pertanto, se f appartiene a tale spazio, la serie
∞∑
f n u n (x), f n =
n=0
converge a f in L 2 ((a,b),ρ(x)dx);
∫ b
a
f(x)u n (x)ρ(x)dx (2.19)
(iv) l’autofunzione u n (n = 0,1,2,...) è reale e ha esattamente n zeri isolati
nell’intervallo (a,b);
(v) se f è continua e regolare a tratti, e inoltre soddisfa le condizioni al contorno
(2.18), allora la serie (2.19) converge assolutamente e uniformemente
a f.
La dimostrazione di questo teorema si può trovare in [5] e [13]. Cerchiamo
comunque di capire in maniera intuitiva il significato di questi risultati e della
particolare forma dell’operatore di Sturm-Liouville A. Riguardiamo A come
operatore lineare su un opportuno sottospazio D(A) dello spazio di Hilbert X =
L 2 ((a,b),ρ(x)dx):
D(A) = {u ∈ X |u ′′ ∈ X e u soddisfa le c.c. (2.18)}.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 29
Ricordando che il prodotto hermitiano in X è dato da
〈u,v〉 =
∫ b
a
u(x)v(x)ρ(x)dx,
possiamo scrivere, sfruttando ripetutamente l’integrazione per parti,
〈Au,v〉 =
∫ b
a
∫
[−(pu ′ ) ′ v +quv]dx = −pu ′ v∣ b b
+ [pu ′ v ′ +quv]dx
a
= −pu ′ v∣ b ∣ ∫
∣∣
b b
a +puv′ + [−u(pv ′ ) ′ +quv] dx.
a
Ma, per ipotesi, u e v stanno entrambe in D(A) e dunque entrambe soddisfano
le condizioni agli estremi (2.18) (con le stesse costanti α i e β i ), le quali fanno sì
che il termine di bordo p(uv ′ −u ′ v) ∣ ∣ b a si annulla sia in a che in b.2 Si ha perciò
〈Au,v〉 =
∫ b
a
[−u(pv ′ ) ′ +quv] dx =
a
∫ b
a
a
[ ]
−u(pv) ′ +uqv dx = 〈u,Av〉
La relazione 〈Au,v〉 = 〈u,Av〉 appena trovata ci dice che A è un operatore
hermitiano, in analogia con le matrici hermitiane del caso a dimensione finita.
Dunque, i precedenti enunciati (i), (ii) e (iii) ci dicono che vale un risultato analogoal
teoremaspettrale a dimensione finita: l’operatorehermitiano Aammette
una base ortonormale formata da autovettori con autovalori reali.
Osservazione 2.3 Lecondizionialcontorno“miste”in (2.18)hannocomecaso
particolare le condizioni di Dirichlet omogenee (caso α 2 = β 2 = 0) e quelle di
Neumann omogenee (caso α 1 = β 1 = 0). Per questi casi valgono proprietà
supplementari ad esempio la seguente:
q(x)
µ 0 ≥ ω := inf
x∈(a,b) ρ(x) . (2.20)
Infatti, per condizioni di Neumann o di Dirichlet, una singola integrazione per
parti ci permette di scrivere
〈Au,u〉 =
∫ b
a
(pu ′ u ′ +quu)dx =
∫ b
e quindi se u = u n è un’autofunzione si ha
a
(p|u ′ | 2 +q|u| 2) ∫ b
dx ≥ q m |u| 2 ρdx
〈Au n ,u n 〉 = µ n ‖u n ‖ 2 ≥ ω‖u n ‖ 2 ,
da cui segue la (2.20). Notiamo, in particolare, che se q ≥ 0 gli autovalori sono
non-negativi e vale la proprietà 〈Au,u〉 ≥ 0, per cui A è quello che si chiama un
operatore semidefinito positivo.
2 In particolare, in un estremo in cui il problema è singolare si avrà che anche u ′ è limitata
perché la condizione u ′′ ∈ X implica che u ′ (x) = ∫ x
x u ′′ (y)dy < ∞ per ogni a ≥ x ≥ b.
0
Pertanto l’annullarsi di p al bordo comporta l’annularsi di tutto il prodotto p(uv ′ −u ′ v).
a

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 30
Osservazione 2.4 IlTeorema2.2può essereestesoin varimodi affinchétutte o
alcune delle conclusioni (i)-(v) continuino a valere sotto condizioni più generali.
Ad esempio, almeno per condizioni di Dirichlet, l’ipotesi che q sia continua fino
agli estremi dell’intervallo [a,b] può essere sostituita con l’ipotesi più debole che
(x−a)q(x) e (b−x)q(x) siano funzioni continue su [a,b] (vedi [5]).
Le condizioni miste agli estremi possono essere sostituite con condizioni periodiche.
In questo caso l’unicità dell’autovalore per ogni autofunzione non è
più garantita. (ne abbiamo visto un esempio risolvendo il primo dei problemi
(2.4): allo stesso autovalore m 2 corrispondono due autofunzioni, e imθ e e −imθ
e di conseguenza ci sono una successione “ascendente” e una “discendente” di
autofunzioni);
Inoltre l’intervallo [a,b] può essere illimitato da una o da entrambe le parti (in
altre parole, possiamo considerare −∞ ≤ a < b ≤ +∞). In questo caso si deve
richiedere
√
lim ρ(x)u(x) = 0
|x|→∞
(e inoltre ci vogliono opportune ipotesi sul comportamento di q all’infinito).
Infine si possono considerare problemi di Sturm-Liouville in cui le funzioni p, q
e ρ non sono regolari ma soddisfano solamente ipotesi di integrabilità.
Per queste e altre estensioni si può consultare la dettagliata monografia [15].
Vediamo ora alcuni esempi di particolare interesse.
Esempio 2.5 Consideriamo il problema di S-L (già incontrato nel risolvere il
problema della corda vibrante con estremi fissi):
⎧
⎪⎨
d 2
dx2u(x)+µu(x) = 0, 0
⎪⎩
u(0) = u(l) = 0.
< x < l
Si ha in questo caso a = 0, b = l, ρ ≡ 1, p ≡ 1, q ≡ 0. Le soluzioni sono
u n (x) = sin nπx ( nπ
) 2,
l , µ n = n = 1,2,...
l
(2.21)
Esempio 2.6 Consideriamo il problema di S-L incontrato nel risolvere il problema
del tamburo circolare: 3
⎧
⎪⎨
d 2
1 d
dx 2u(x)+ xdx ⎪⎩
u(0) < ∞, u(r) = 0
ν2
u(x)−
x2u(x)+µu(x) = 0, 0 < x < r,
(2.22)
(ν è un intero non-negativo fissato). Si ha in questo caso a = 0, b = r, ρ(x) = x,
p(x) = x, q(x) = ν2
x
. Le soluzioni sono:
u n (x) = J ν
( ξ
ν
n x
r
) ( ) ξ
ν 2
, µ n = n
, n = 0,1,2,...
r
3 Osserviamo che, cercando una soluzione in serie di potenze, avevamo implicitamente
imposto la condizione di finitezza in in x = 0.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 31
dove J ν è la funzione di Bessel di prima specie di ordine ν e ξ ν n sono i suoi
zeri positivi.
Più in generale, l’equazione differenziale di Bessel
1 d ν2
dx 2u(x)+ u(x)−
xdx x 2u(x)+µu(x) = 0
ammette una soluzione generica del tipo
d 2
u(x) = αJ ν (x)+βN ν (x)
dove α e β sono costanti arbitrarie e N ν è la cosiddetta funzione di Neumann
(o funzione di Bessel di seconda specie) di ordine ν. Le funzioni di Neumann
sono singolari in x = 0 ed è per questo che il problema (2.22) ha soluzioni solo
del tipo J ν (cioè con β = 0). Soluzioni del tipo u(x) = αJ ν (x) + βN ν (x) si
incontrano risolvendo il problema “regolare” dato dall’equazione di Bessel su
un intervallo [r min ,r max ] con r min > 0.
Esempio 2.7 Consideriamo ora il problema di S-L:
⎧ (
1 d ⎪⎨ sinθ d )u(θ)− m2
sinθ dθ dθ sin 2 u(θ)+µu(θ) = 0, 0 < θ < π,
θ
⎪⎩
u(0) < ∞, u(π) < ∞
(2.23)
(m ≥ 0 è un qualunque intero non-negativo fissato). Si ha in questo caso a = 0,
b = π, ρ(θ) = sinθ, p(θ) = sinθ, q(θ) = m2
sinθ
. Le soluzioni sono:
u l (θ) = P m l (cosθ), µ m l = l(l+1), l = m, m+1, m+2,...
dove le funzioni P m l
(x) sono definite da:
Pl m (x) = (1−x2 m/2 dm
)
dx m P l(x)
e le funzioni P l (x) ≡ Pl 0 (x) sono definite da:
d l
P l (x) = 1
2 l l! dx l(x2 −1) l ,
cosicché risulta
Pl m (x) = (1−x2 ) m/2 d m+l
2 l l! dx m+l(x2 −1) l . (2.24)
Le funzioni P l (x) si chiamano polinomi di Legendre mentre le Pl m (x) sono
le funzioni di Legendre associate. Queste soddisfano la seguente relazione di
ortogonalità
∫ 1
−1
Pl m (x)Pl m (x)dx = 2 (l+m)!
′
2l+1 (l−m)! δ ll ′, l,l′ ≥ m, (2.25)
per ogni m ≥ 0 fissato. Notiamo che, essendo
∫ 1
−1
P m l (x)Pm l ′ (x)dx = ∫ π
0
Pl m (cosθ)Pm l ′ (cosθ) sinθdθ,
la (2.25) si può correttamente interpretare come relazione di ortogonalità nello
spazio di Hilbert L 2 ((0,π),sinθdθ).

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 32
Esempio 2.8 Consideriamo il problema di S-L:
⎧
⎪⎨ d 2
dx 2u(x)−x2 u(x)+µu(x) = 0, x ∈ R,
⎪⎩
u(x) → 0 per x → ±∞.
(2.26)
Si ha in questo caso a = −∞, b = +∞, ρ ≡ 1, p ≡ 1, q = x 2 . Le soluzioni sono:
u n (x) = e −x2 /2 H n (x), µ n = 2n+1, n = 0,1,2,... (2.27)
dove le funzioni H n (x) sono i polinomi di Hermite, definiti da
d n
dx n e−x2 = (−1) n H n (x)e −x2
(cioè sono, a meno del segno, i fattori polinomiali nelle derivate di e −x2 ). Si ha,
ad esempio, H 0 = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 −2.
Esempio 2.9 Consideriamo infine il problema di S-L:
⎧ (
d ⎪⎨ x d ) ( ) x
u(x)−
dx dx 4 + s2
u(x)+µu(x) = 0, x > 0,
4x
⎪⎩
u(0) < ∞ e u(x) → 0 per x → +∞
(2.28)
(s è un intero non-negativo fissato). Si ha in questo caso a = 0, b = +∞, ρ ≡ 1,
p(x) = x, q(x) = x 4 + s2
4x
. Le soluzioni sono:
u n,s (x) = c s nx s/2 e −x/2 L s n(x) µ s n = n+ s+1 , n ≥ 0, (2.29)
2
dove c s n è un fattore di normalizzazione, dato da
e le funzioni L s n(x) sono definite da
c s n = √ n!(n+s)!(2n+s+1), (2.30)
L s n(x) = ex
x s d n
dx n (
e −x x n+s) . (2.31)
Queste ultime risultano essere dei polinomi. Quelli di tipo L 0 n sono i polinomi
di Laguerre mentre in generale gli L s n sono detti polinomi di Laguerre
generalizzati (o “associati”).
2.3 Armoniche Sferiche
Possiamo interpretare lo sviluppo in serie di Fourier come lo sviluppo di una
funzione definita sulla circonferenza unitaria S 1 :
f(θ) = ∑ n∈Zf n e inθ .

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 33
Analogamente, lo sviluppo in serie di Fourier su un rettangolo lo possiamo
interpretare come lo sviluppo di una funzione definita sul toro bidimensionale
T 2 :
f(θ,ϕ) = ∑
f mn e i(mθ+nϕ)
m,n∈Z
e, più in generale, la serie di Fourier n-dimensionale (1.51) corrisponderà allo
sviluppo di funzioni definite sul toro T n . Vogliamo ora vedere l’analogo dello
sviluppo di Fourier per funzioni definite sulla sfera unitaria S 2 . Poiché le
funzioni e inθ sono autofunzioni dell’operatore derivata seconda su S 1 (difatti
d 2
dθ 2 e inθ = −n 2 e inθ e e in(θ+2π) = e inθ ), l’idea è quella di andare a cercare le
autofunzioni della “derivata seconda” sulla sfera, ovvero dell’operatore Laplaciano
sferico. Per introdurre in maniera appropriata tale operatore, ricordiamo
il sistema delle coordinate polari di R 3 :
ϕ
z
θ
ρ
y
x = ρ sinθ cosϕ
y = ρ sinθ sinϕ
z = ρ cosθ
θ ∈ (0,π) = angolo polare,
ϕ ∈ (−π,π) = angolo azimutale,
x
determinante Jacobiano = ρ 2 sinθ
L’operatore Laplaciano (tridimensionale) espresso in tali coordinate è dato da
˜∆ = 1 (
∂
ρ 2 ρ 2 ∂ )
+
∂ρ ∂ρ
1
ρ 2 sinθ
(
∂
sinθ ∂ )
+
∂θ ∂θ
1
ρ 2 sin 2 θ
∂ 2
∂ϕ 2 . (2.32)
Se lo facciamo agire su una funzione definita su S 2 (sempre interpretabile come
una funzione definita su R 3 che non dipende da ρ e che restringiamo a ρ = 1),
otteniamo il Laplaciano sferico (o operatore di Laplace-Beltrami 4 sulla sfera):
∆ S2 = 1
sinθ
(
∂
sinθ ∂ )
+ 1
∂θ ∂θ sin 2 θ
∂ 2
∂ϕ 2 . (2.33)
Cerchiamo allora gli autovalori e le autofunzioni di ∆ S2 , o meglio di −∆ S2 ,
risolvendo il problema
{
∆S2 u(θ,ϕ)+µu(θ,ϕ) = 0, 0 < θ < π, ϕ ∈ R,
(2.34)
u(θ,ϕ) = u(θ,ϕ+2π).
4 In generale, l’operatore di Laplace-Beltrami su una varietà Riemanniana (corrispondente
al “Laplaciano” sulla varietà) è definito, in un sistema di coordinate locali, come
∆ LB f = √ 1 (√ )
∂ i |g|g ij ∂ j f , |g| := |detg ij |.
|g|

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 34
Se tentiamo una soluzione a variabili separate, u(θ,ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ), otteniamo
(
1 d
sinθ dΘ )
Φ+ Θ d 2 Φ
sinθ dθ dθ sin 2 +µΘΦ = 0,
θ dϕ2 e quindi (usando gli apici per denotare le derivate)
(sinθΘ ′ ) ′
Θsinθ
il che implica che esiste η ∈ C tale che
+ 1 Φ ′′
sin 2 +µ = 0,
θ Φ
sinθ
Θ (sinθΘ′ ) ′ +sin 2 θµ = − Φ′′
Φ = η.
Il problema differenziale per Φ, tenuto conto del fatto che ϕ è una coordinata
periodica, è
{ Φ ′′ +ηΦ = 0
che, come già sappiamo, ha soluzioni
Φ(ϕ) = Φ(ϕ+2π),
Φ m (ϕ) = e imϕ , η m = m 2 , m ∈ Z. (2.35)
Una volta fissato η = η m = m 2 , il problema differenziale per Θ è
(
1 d
sinθ dΘ ) )
+
(µ− m2
sinθ dθ dθ sin 2 Θ = 0,
θ
per il quale cerchiamo soluzioni limitate in θ = 0 e θ = π. Siamo perciò di
fronte al problema di Sturm-Liouville considerato nell’esempio 2.7, per il quale
sappiamo che la soluzione è data dalle funzioni di Legendre
Θ m l
(θ) = P|m|
l
(cosθ), µ = l(l+1), l ≥ |m|.
Le soluzioni trovate per separazione di variabili sono dunque
⎧
⎨u lm (θ,ϕ) = Θ m l (θ)Φ m(ϕ) = P |m|
l
(cosθ)e imϕ
⎩µ lm = l(l+1), m ∈ Z, l ≥ |m|.
(2.36)
e sono dette armoniche sferiche. Notiamo che, fissato l ≥ 0, ci sono 2l+1
diverse armoniche sferiche u lm .
Ricordando le relazioni di ortogonalità (2.25) delle funzioni di Legendre e (1.2)
delle funzioni e imϕ , si possono normalizzare le funzioni u lm e ridefinire le armoniche
sferiche come
per cui si ha
∫ π
0
Y m l (θ,ϕ) =
√
2l+1(l−m)!
4π (l+m)! P|m| l
(cosθ)e imϕ , (2.37)
∫ π [
]
dθ dϕ Yl m (θ,ϕ)Ym′ l
(θ,ϕ) sinθ = δ ′ ll ′ δ mm ′, (2.38)
−π

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 35
per m,m ′ ∈ Z e l ≥ |m|, l ′ ≥ |m ′ |. Osservando che dσ = sinθdθdϕ è l’elemento
di superficie della sfera di raggio 1, possiamo riscrivere la precedente equazione
come relazione di ortonormalità nello spazio di Hilbert L 2 (S 2 ,C):
∫
Yl m Yl m′ dσ = δ ′ ll ′ δ mm ′ , (2.39)
S 2
Vogliamo ora sviluppare una funzione f definita sulla sfera S 2 , per la quale
utilizzeremo la rappresentazione in coordinate sferiche f(θ,ϕ), in una serie di
armoniche sferiche:
f(θ,ϕ) = ∑ m∈Z
∑
l≥|m|
f lm Y m l (θ,ϕ) = +∞ ∑
l∑
l=0 m=−l
f lm Y m l
(θ,ϕ). (2.40)
Se f ∈ L 2 (S 2 ,C) possiamo trovare i coefficienti f lm moltiplicando per Yl m entrambi
i membri della (2.40) e integrando su S 2 in dσ. Usando la (2.39) si
ottiene
∫
f lm = Yl m f dσ
S 2
ovvero, più esplicitamente,
f lm =
∫ π
0
∫ π
]
dθ dϕ
[Yl m(θ,ϕ)f(θ,ϕ) sinθ . (2.41)
−π
Come sempre siamo interessati a mettere meglio a fuoco il caso in cui f assume
valori reali. In tal caso, osservando che
si potrà scrivere
∑ ∑
m∈Z
f l−m = f lm ,
Y −m
l
= Y m l ,
∑ (
flm Yl m )
+f lm Yl
m
lm Yl l≥|m|f m = ∑ l0 Yl l≥0f 0 + ∑ m≥1 l≥m
= ∑ f l0 Yl 0 +2 ∑ ∑
Re(f lm Yl m )
l≥0 m≥1 l≥m
e perciò, posto
{
fl0 , se m = 0,
a lm =
2Ref lm , se m ≥ 1,
b lm =
{
0, se m = 0,
−2Imf lm , se m ≥ 1,
(2.42)
si avrà lo sviluppo in armoniche sferiche reali:
f(θ,ϕ) = ∑ ∑ [
alm Yl m (θ,ϕ)+b lmY −m
l
(θ,ϕ) ] , (2.43)
m≥0 l≥m
dove
Y m
l = Re(Y m l ) =
Y −m
l
√
= Im(Y m l ) = √
2l+1(l−m)!
4π (l+m)! Pm l (cosθ) cos(mϕ), m ≥ 0
(2.44)
2l+1(l−m)!
4π (l+m)! Pm l (cosθ) sin(mϕ), m ≥ 1.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 36
Figura 2.3: Alcune armoniche sferiche rappresentate mediante toni di grigio sulla
sfera. Si notino meridiani e paralleli nodali e si ricordi che le figure con m negativo
π
si ottengono dalle corrispondenti con m positivo tramite una rotazione di attorno 2m
al’asse polare.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 37
Osservazione 2.10 Comegiàosservatonelladiscussionesultamburocircolare,
le funzioni cos(mϕ) e sin(mϕ) hanno m zeri in [0,π) più altri m a distanza
π. Dunque l’armonica sferica Yl
m ha 2m meridiani nodali opposti (ovvero m
cerchi massimi nodali). D’altra parte, come sappiamo dalla teoria generale dei
problemi di Sturm-Liouville, per ogni m ≥ 0 fissato, le funzioni di Legendre
Pl m (cosθ), l = m,m + 1,m + 2,..., hanno esattamente l − m zeri in (0,π)
(nel caso delle funzioni di Legendre tali zeri sono sempre simmetrici rispetto a
θ = π/2 in quanto Pl m(x) = ±Pm m
l (−x)). Ne consegue che l’armonica sferica Yl
ha l−m paralleli nodali. Paralleli e meridiani nodali delimitano sulla superficie
della sfera max{2m,1}×(l−m+1) zone a segno alterno (vedi figura 2.3).
Osservazione 2.11 Un risultato utile nelle applicazioni è il Teorema di addizione
delle armoniche sferiche: se due vettori di coordinate polari (ρ,θ,ϕ) e
(ρ ′ ,θ ′ ,ϕ ′ ) formano fra loro un angolo 5 γ, allora si ha
P l (cosγ) = 4π
2l+1
l∑
m=−l
Y m l (θ′ ,ϕ ′ )Y m l
(θ,ϕ). (2.45)
2.4 Il modello quantistico dell’atomo d’idrogeno
Ricordiamo alcuni postulati fondamentali della meccanica quantistica.
1. Lo stato di una particella è descritto da una funzione d’onda
ψ ∈ L 2 (R 3 ,C), ‖ψ‖ 2
= 1;
2. ilmoduloquadrato|ψ(x)| 2 dellafunzioned’ondaèladensitàdi probabilità
di trovare la particella nella posizione x;
3. i possibili valori E dell’energia della particella si trovano risolvendo l’equazione
di Schrödinger stazionaria
Hψ = Eψ, (2.46)
ovvero ricercando autovalori e autovettori dell’operatore H, detto Hamiltoniana
(quantistica) del sistema; gli autovettori ψ E relativi all’autovalore
E (detti “autostati”) sono stati stazionari in cui l’energia del sistema
assume con certezza il valore E;
4. l’Hamiltoniana quantistica si ottiene da quella classica con la sostituzione
p −→ −i∇,
(dove = h/2π e h è la costante di Planck, h ≈ 6.63×10 −34 Js); dunque,
se l’Hamiltoniana classica ha la forma p2
2m
+V(x), si ha
H = − 2
2m ∆+V.
5 Risulta che cosγ = cosθcosθ ′ +sinθsinθ ′ cos(ϕ−ϕ ′ ).

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 38
Il modello quantistico dell’atomo di idrogeno, ovvero di un elettrone nel campo
elettrico generato da una carica positiva puntiforme posta nell’origine, si ottiene
considerando il potenziale Coulombiano attrattivo
ovvero l’Hamiltoniana quantistica
V(x) = − e2
4πǫ 0 |x|
H = − 2
∆−
e2
2m e 4πǫ 0 |x| ,
dove m e è la massa dell’elettrone. I possibili livelli energetici dell’atomo d’idrogeno
si trovano dunque risolvendo il problema agli autovalori
dove per brevità si è posto
−c∆ψ(x)− α
|x| ψ(x) = Eψ(x), ψ ∈ L2 (R 3 ,C). (2.47)
c := 2
2m e
,
α := e2
4πǫ 0
.
Data la simmetria del problema conviene passare alle cooordinate polari, per
cui la precedente equazione diventa
[ ( c ∂
ρ 2 ρ 2 ∂ ) (
c ∂
+
∂ρ ∂ρ ρ 2 sinθ ∂ )
c ∂ 2
+
sinθ ∂θ ∂θ ρ 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 + α ]
ρ +E ˜ψ = 0
ovvero, ricordando la definizione del Laplaciano sferico (2.33),
[ ( c ∂
ρ 2 ρ 2 ∂ )
+ c
∂ρ ∂ρ ρ 2 ∆ S 2
+ α ]
ρ +E ˜ψ = 0. (2.48)
Cerchiamo una soluzione a variabili separate, della forma
˜ψ(ρ,θ,ϕ) = R(ρ)S(θ,ϕ).
Sostituendo nella precedente equazione si ottiene
da cui, moltiplicando per
c
ρ 2 (ρ2 R ′ ) ′ S + cR
ρ 2 ∆ S 2
S +
(ρ 2 R ′ ) ′
( α
ρ +E )
RS = 0
ρ 2
cRS
, si ha che deve esistere µ ∈ C tale che
R + ρ c (α+Eρ) = −∆ S 2
S
S
= µ. (2.49)
Come sappiamo, l’equazione −∆ S2 S = µS ha come soluzioni le armoniche
sferiche:
µ = µ lm = l(l+1), S(θ,ϕ) = Y m l (θ,ϕ), m ∈ Z, l ≥ |m|.
Fissati l e m, dunque, il problema per la parte radiale diventa
[ ρ
]
ρ 2 R ′′ +2ρR ′ +
c (α+Eρ)−l(l+1) R = 0 (2.50)

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 39
e, posto g(ρ) = √ ρR(ρ) si ottiene per g(ρ) l’equazione
[ ρ
ρ 2 g ′′ +ρg ′ +
c
]
(2l+1)2
(α+Eρ)− g = 0.
4
SupponiamooradirestringerelaricercadellesoluzionialcasoE < 0(inanalogia
col caso classico dove le soluzioni del problema di Keplero con energia E < 0
sono orbite chiuse). Allora col cambio di variabile
ξ = 2 √ (
−E/c ρ, g(ρ) = f 2 √ )
−E/c ρ ,
si ottiene per f(ξ) l’equazione
[
ξ 2 f ′′ +ξf ′ +
Dividendo per ξ e ponendo
si ottiene infine
[
ξf ′′ +f ′ + λ−
αξ
2 √ −cE − ξ2
4 − (2l+1)2
4
α
λ =
2 √ −cE
( ξ
4 + (2l+1)2
4ξ
]
f = 0.
)]
f = 0, (2.51)
che è un’equazione di Laguerre con s = 2l+1 (vedi Esempio 2.9). Sappiamo
allora che gli autovalori sono dati da
λ = n r + s+1
2
Esprimendo E in funzione di λ si ottiene
da cui, posto
= n r +l+1, n r = 0,1,2,....
α 2
E = −
4c(n r +l+1) 2
n = n r +l+1,
e ricordando le definizioni di c e α, si ottengono i possibili livelli energetici
dell’atomo d’idrogeno:
E n = − e4 m e
32π 2 ǫ 2 0 2 1
n 2 = − e4 m e
8ǫ 2 0 h2 1
n 2 , n = 1,2,3,....
Risulta che il fattore e4 m e
8ǫ 2 0 h2 vale all’incirca 13.6eV. Ora, si può dimosrare che
gli stati elettronici di energia E ≥ 0 corrispondono a stati in cui l’elettrone non
è più legato al protone. Pertanto l’energia di 13.6eV è la cosiddetta energia di
ionizzazione dell’atomo d’idrogeno. Il valore trovato teoricamente corrisponde
perfettamente al valore trovato per via sperimentale. Anche le misure delle
energie di transizione fra un livello e l’altro (lo spettro dell’idrogeno) hanno un
ottimo accordo con i dati sperimentali.

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 40
Peridentificareleautofunzioniradialiconvieneutlizzaregliindicinel,piuttosto
che n r e l. Sappiamo quindi dall’Esempio 2.9 che tali autofunzioni si possono
esprimere esplicitamente in termini di polinomi di Laguerre:
f n,l (ξ) = c 2l+1
n r
ξ 2l+1
2 e −ξ/2 L 2l+1
n r
(ξ) = c 2l+1
n−l−1 ξ 2l+1
2 e −ξ/2 L 2l+1
n−l−1 (ξ).
Quindi, ponendo
κ n := 2 √ −E n /c = α
2cn = e2 m e
4πǫ 0 2 n ,
e risostituendo g(ρ) = f(2 √ E n /cρ) = f(κ n ρ) e R(ρ) = ρ −1/2 g(ρ), possiamo
scrivere
R n,l (ρ) = ρ −1/2 f n,l (κ n ρ) = c 2l+1
n−l−1 κ2l+1 2
n ρ l e −κnρ/2 L 2l+1
n−l−1 (κ nρ). (2.52)
Leautofunzionicomplete,detteancheorbitalidell’atomodiidrogeno,sonoinfine
date da
˜ψ n,l,m (ρ,θ,ϕ) = R n,l (ρ)Y m l (θ,ϕ). (2.53)
Gli indici che abbiamo utilizzato per identificare gli orbitali sono i cosiddetti
• numero quantico principale: n = n r +l+1 = 1,2,3,...,
• numero quantico orbitale: l = 0,1,2,...,n−1,
• numero quantico magnetico: −l ≤ m ≤ l
(n r si chiama numero quantico radiale). Notiamo che per ogni n fissato ci sono
n−1
∑
n−1
∑
(2l+1) = 2 l+n = 2 n(n−1)
2
l=0
l=0
+n = n 2
orbitali che hanno la stessa energia E n . In termini più matematici, l’autospazio
relativo all’autovalore E n ha dimensione n 2 .
Un orbitale caratterizzato dai numeri quantici n, l e m (oppure da n r , l e
m) presenta certe superfici nodali in cui la funzione d’onda si annulla e che
possiamo dedurre dalla discussione già effettuata sulle armoniche sferiche (per
quanto riguarda la parte angolare) e dal punto (iv) del teorema 2.2 (per quanto
riguarda la parte radiale). In particolare, avremo l−|m| coni nodali (superfici
con θ costante, che per θ = 0 sono piani orizzontali e che per θ ≠ 0 si presentano
sempre a due falde simmetriche), |m| piani verticali nodali (superfici con ϕ
mod π costante) e n r (cioè n−l−1) sfere nodali (superfici con ρ costante).
Osservazione 2.12 Tipicamente, il numero quantico principale è detto anche
“livello energetico” e il numero quantico orbitale viene identificato da lettere:
“s” per l = 0, “p” per l = 1, “d” per l = 2, “f” per l = 3, “g” per l =
4. Per caratterizzare completamente un orbitale si introduce, piuttosto che
l’indicazione del numero quantico magnetico m, una particolare notazione che
identifica le superfici nodali angolari (che naturalmente dipendono da m). Ad

CAPITOLO 2. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 41
esempio, gli orbitali 2p x , 2p y e 2p z hanno n = 2, l = 1 e sono caratterizzati,
rispettivamente, daipiani nodali x = 0, y = 0ez = 0 (corrispondentia m = −1,
m = 1 e m = 0). L’orbitale 3d x 2 −y2 ha n = 3, l = 2 ed è caratterizzato dalla
coppia di piani nodali x 2 −y 2 = 0 (ovvero x = y e x = −y), corrispondente a
m = 2. L’orbitale 3d 2z 2 −x 2 −y 2 (di solito abbreviato in 3d z2) ha n = 3, l = 2
e presenta il cono nodale descritto dall’equazione 2z 2 − x 2 − y 2 = 0 (ovvero
cosθ = 1/ √ 3), corrispondente a m = 0.
Per una piacevole ed accurata galleria di orbitali atomici (e molecolari) si può
visitare il sito web www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/ (The Orbitron: a
gallery of atomic and molecular orbitals). 6
6 Sarà bene ricordare che quanto detto finora riguarda, a rigore, solamente l’atomo di
idrogeno. La descrizione resta inoltre valida anche per l’elettrone più esterno degli elementi
cosiddetti alcalini (la prima colonna a sinistra nella tavola periodica). Più in generale, gli
orbitali degli atomi con più elettroni hanno una struttura, in prima approssimazione, simile a
quella appena descritta (per cui si può parlare ancora di orbitali di tipo “s”, “p” ecc.) ma con
una differenza fondamentale: l’interazione coulombiana fra gli elettroni fa sì che orbitali che
sarebbero energeticamente equivalenti nel caso dell’idrogeno non lo siano più per atomi più
complicati. È per questo motivo che gli orbitali degli atomi della tavola periodica hanno un
particolare “ordine di riempimento”, che segue la crescita dell’energia propria degli orbitali
stessi.

Capitolo 3
Trasformate di Fourier
3.1 Trasformata di Fourier di funzioni integrabili
Consideriamo il seguente problema ai valori iniziali per l’equazione delle onde:
⎧
u tt (x,t) = c 2 u xx (x,t), x ∈ R, t > 0,
⎪⎨ u(x,0) = ϕ(x), x ∈ R,
(3.1)
u t (x,0) = ψ(x), x ∈ R,
⎪⎩ lim u(x,t) < ∞, t ≥ 0.
|x|→∞
Osserviamo che, a differenza dei problemi studiati finora, questo è posto sull’intera
retta reale, e le usuali condizioni al contorno di Dirichlet o Neumann sono
state sostituite dalla condizione di finitezza della soluzione. Proviamo tuttavia
a cercare come al solito una soluzione a variabili separate u(x,t) = X(x)T(t),
che ci porta alla condizione
T ′′
c 2 T = X′′
X = µ ∈ C
e al seguente problema di Sturm-Liouville per la X:
⎧
⎨X ′′ (x) = µX(x), x ∈ R
⎩ lim X(x) < ∞. (3.2)
|x|→∞
Posto µ = λ 2 , la soluzione generale dell’equazione X ′′ (x) = µX(x) è
X(x) = ae λx +be −λx
che non ha soluzioni limitate se Reλ ≠ 0. Dunque λ dev’essere del tipo λ = ik
con k ∈ R. Si perviene perciò alla conclusione che i µ ammissibili sono dati da
µ = −k 2 , k ∈ R,
42

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 43
e le corrispondenti soluzioni del problema di Sturm-Liouville sono
X k (x) = ae ikx +be −ikx , k ∈ R, a, b ∈ C.
Risolvendoanchel’equazionedifferenzialeperT siottienelafamigliadisoluzioni
a variabili separate
u k (x,t) = [ a(k)e ikx +b(k)e −ikx] cos(ckt)+ [ c(k)e ikx +d(k)e −ikx] sin(ckt).
Notiamo che l’evidente differenza col caso dell’intervallo finito consiste nel fatto
cheadessolafamigliadisoluzionidipendedall’indicecontinuok chehasostituito
l’indice discreto n. Si può pensare quindi di scrivere la soluzione generale,
almeno formalmente, come integrale su k ∈ R delle soluzioni u k :
u(x,t) =
∫ +∞
−∞
u k (x,t)dk =
∫ +∞
−∞
[
A(k)e ikx cos(ckt)+B(k)e ikx sin(ckt) ] dk,
dove A(k) = a(k)+b(−k) e B(k) = c(k)−d(−k), per cui, affinché i dati iniziali
siano soddisfatti, ci ritroviamo con le condizioni
∫ +∞
−∞
A(k)e ikx dk = ϕ(x),
∫ +∞
−∞
ckB(k)e ikx dk = ψ(x).
Ci si trova quindi di fronte al seguente problema generale: data una funzione
f(x), x ∈ R, determinare, se possibile, una funzione F(k), k ∈ R, tale che
∫ +∞
−∞
F(k)e ikx dk = f(x). (3.3)
Questo problema è analogo a quello che ci eravamo posti all’inizio della discussione
sulle serie di Fourier, quando ci chiedevamo se fosse possibile sviluppare
una funzione periodica in una serie del tipo (1.1). Difatti, la (3.3) si può considerare
la versione continua della serie di Fourier (1.1): la serie è diventata un
integrale, l’indice n è diventato una variabile continua 1 e i coefficienti di Fourier
sono divenuti una funzione, F(k), detta trasformata di Fourier di f.
Per analogia con i coefficienti di Fourier ci aspettiamo quindi che (a meno di
fattori di normalizzazione) la trasformata di Fourier abbia la forma
F(k) =
∫ +∞
−∞
f(x)e −ikx dx.
Partendo da queste motivazioni, passiamo a introdurre e studiare le trasformate
di Fourier in un quadro rigoroso.
1 Più esattamente, confrontando la (3.3) con la seriedi Fourier 2l-periodica (1.25), siosserva
che è la variabile discreta k n = nπ/l a essere diventata la variabile continua k per l → ∞. I
punti k n, per n ∈ Z, costituiscono il cosiddetto reticolo reciproco del reticolo periodico 2ml,
m ∈ Z. Se si interpreta la serie di Fourier come una sovrapposizione di oscillazioni elementari
di frequenze k n/2π, possiamo interpretare la (3.3) come una sovrapposizione di oscillazioni
elementari le cui frequenze k/2π variano in un continuo.

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 44
Definizione 3.1 Si chiama trasformata di Fourier di f ∈ L 1 (R N ) la funzione
∫
1
ˆf(k) := f(x)e −ik·x dx, k ∈ R N . (3.4)
(2π) N/2 R n
Osserviamo subito che ˆf(k) è ben definita, anzi, è limitata su R N , difatti
∫
1
|ˆf(k)| ≤ |f(x)|dx = c
(2π) N/2 N ‖f‖ 1
, (3.5)
R n
dove, per comodità, abbiamo posto
c N :=
1
. (3.6)
(2π)
N/2
Possiamo dire, in altre parole, che la trasformazione di Fourier f ↦→ ˆf è un’applicazione
continua da L 1 (R N ) in L ∞ (R N ). Vediamo di dimostrare qualcosa di
più.
Lemma 3.2 (di Riemann-Lebesgue) Se f ∈ L 1 (R) si ha lim ˆf(k) = 0. 2
|k|→+∞
Dimostrazione Fissato ǫ > 0, per il Teorema A.8 esiste g ∈ C ∞ 0 (R) tale che
‖f −g‖ 1
< ǫ. Usando la (3.5) (e la linearità della trasformazione di Fourier)
potremo scrivere
|ˆf(k)| ≤ |ĝ(k)|+|ˆf(k)−ĝ(k)| ≤ |ĝ(k)|+c 1 ‖f −g‖ 1
≤ |ĝ(k)|+c 1 ǫ.
Sia ρ > 0 tale che il supporto di g è contenuto in (−ρ,ρ). Utilizzando l’integrazione
per parti si ottiene:
∣∫ ρ
∣∫ ρ
∣∣
|ĝ(k)| = c 1 g(x)e −ikx ∣∣
dx∣ = c 1
−ρ
≤ c 1
|k|
∫ +∞
−∞
−ρ
|g ′ (x)|dx ≤ c 1‖g ′ ‖ 1
,
|k|
g ′ (x) e−ikx
ik dx ∣ ∣∣
Per |k| sufficientemente grande quest’ultima quantità potrà essere resa più piccola
di ǫ e si avrà perciò |ˆf(k)| ≤ (c 1 +1)ǫ.
□
Proposizione 3.3 Se f ∈ L 1 (R N ) allora ˆf ∈ C(R N ) e lim ˆf(k) = 0.
|k|→+∞
Dimostrazione La continuità segue dal teorema della convergenza dominata
osservando che
ˆf(k)− ˆf(k 0 ) = c N
∫R n f(x) ( e −ik·x −e −ik0·x) dx,
e che, per ogni x ∈ R N , si ha lim k→ko f(x) ( e −ik·x −e −ik0·x) = 0 con
|f(x) ( e −ik·x −e −ik0·x) | ≤ 2|f(x)|.
2 Notare l’analogia con il lemma di Riemann-Lebesgue per le serie di Fourier (Corollario
1.3).

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 45
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
Figura 3.1: Grafico della funzione sincx.
Per N = 1 la proprietà di decadimento all’infinito è il lemma di Riemann-
Lebesgue. Per N ≥ 1, se |k| → ∞, esisterà almeno una direzione j tale che
|k j | → ∞. Per il Teorema di Fubini possiamo scrivere
∫
ˆf(k) = c N f(x)e ik·x dx j
}dx 1···dx j ···dx N .
R N−1 {∫ +∞
−∞
Per il lemma di Riemann-Lebesgue la funzione integranda ∫ +∞
f(x)eik·x
−∞
dx j
tende a 0 e inoltre è limitata dalla funzione integrabile ∫ +∞
−∞ |f(x)|dx j. Dunque
si può applicare il Teorema della convergenza dominata e concludere che ˆf(k)
tende a 0 per |k| → ∞.
□
Esempio 3.4 Fissatoα > 0, con un calcolodiretto si ottiene che la trasformata
di Fourier della funzione
{
1, per −α ≤ x ≤ α,
f(x) =
0, altrimenti.
è
ˆf(k) =
dove sincx := sinx
x
(vedi Figura 3.1)
√
2 sin(αk)
√ = α√ 2
√ sinc(αk),
π k π
Esercizio 3.5 Dimostrare le seguenti proprietà della trasformata di Fourier ˆf
di f ∈ L 1 (R N ):
1. se f è reale, allora ˆf(k) = ˆf(−k);
2. se f è reale pari allora ˆf è reale pari, e se f è reale dispari allora ˆf è
immaginaria dispari;

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 46
3. fissato a ∈ R, e posto (T a f)(x) := f(x−a), si ha
̂T a f(k) = e −ik·a ˆf(k). (3.7)
Proposizione 3.6 Sia f ∈ L 1 (R). Se x n f ∈ L 1 (R), allora ˆf è derivabile n
volte e
(
̂x n f = i d ) n
ˆf . (3.8)
dk
Se f ∈ C n (R), con f (m) ∈ L 1 (R) per ogni 0 ≤ m ≤ n, allora
per ogni 0 ≤ m ≤ n.
̂d m f
dx m = (ik)m ˆf, (3.9)
Dimostrazione Dimostriamo entrambe le proposizioni nel caso n = 1, dopodiché
il caso generale segue facilmente per induzione su n. Per dimostrare
la (3.8) osserviamo che | ∂
∂k f(x)e−ikx | = |−ixf(x)e −ikx | = |xf(x)|, con |xf(x)|
integrabile, e dunque si può derivare sotto il segno di integrale 3 ottenendo
d
dk
−∞
∫ +∞
−∞
f(x)e −ikx dx = −i
∫ +∞
−∞
xf(x)e −ikx dx,
che ci dà la (3.8) (per n = 1).
df
Per dimostrare la (3.9) osserviamo che, poiché per ipotesi
dx ∈ L1 (R), si può
scrivere ∫ +∞
∫
df
R
df
dx (x)e−ikx dx = lim
R→+∞ −R dx (x)e−ikx dx.
Inoltre poiché, sempre per ipotesi, f ∈ C 1 (R), si può integrare per parti:
∫ R
−R
df
dx (x)e−ikx dx = f(x)e −ikx ∣ ∣∣
x=R
x=−R +ik ∫ R
−R
f(x)e −ikx dx.
Supponiamo per un momento che f(x) abbia limite per x → ±∞: poiché f è
integrabile tale limite dev’essere 0 e si ha perciò, passando al limite per R → ∞,
∫ +∞
−∞
df
dx (x)e−ikx dx = ik
∫ +∞
−∞
f(x)e −ikx dx,
ovvero la (3.9) (per n = 1). Resta quindi solo da dimostrare che il limite
x → ±∞ di f(x) esiste. Ma df
dx
∈ C(R), e dunque si può scrivere
f(x) = f(0)+
∫ x
0
df
dx (x′ )dx ′ .
3 Ricordiamo il seguente teorema: se g : R 2 → R, g = g(x,k), è integrabile rispetto a x per
ogni k, derivabile rispetto a k per ogni x e inoltre | ∂ g(x,k)| ≤ γ(x) con γ integrabile, allora
∂k
∫ ∫
d ∂
g(x,k)dx =
dk ∂k g(x,k)dx

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 47
Essendo df
dx ∈ ∫ x L1 (R) si ha che lim x→±∞ 0
lim x→±∞ f(x) esiste.
df
dx (x′ )dx ′ esiste e perciò anche
□
Utilizzando il teorema di Fubini si può estendere il precedente risultato al caso
N-dimensionale. A questo scopo ricordiamo la notazione “multi-indice”. Un
multi-indice è una N-upla di interi non-negativi α = (α 1 ,α 2 ,...,α N ). L’ordine
del multi-indice è
|α| := α 1 +α 2 +···+α N .
Se x = (x 1 ,x 2 ,...,x N ) ∈ R N si pone
x α := x α1
1 xα2 2 ···xαN N
e, se f : R N → C ha derivate fino all’ordine |α|, si pone
∇ α ∂ |α| f
f := .
∂x α1
1 ∂xα2 2 ···∂xαN N
Teorema 3.7 Sia f ∈ L 1 (R N ). Se |x| n f(x) ∈ L 1 (R N ), allora ˆf ha derivate
fino all’ordine n e, per ogni multi-indice α con |α| ≤ n, si ha
̂x α f = (i∇) α ˆf . (3.10)
Se f ∈ C n (R N ), e le derivate di f fino all’ordine n stanno in L 1 (R N ) allora,
per ogni multi-indice α con |α| ≤ n, si ha
̂∇ α f = (ik) α ˆf. (3.11)
Osserviamo dunque che la trasformazione di Fourier ha la fondamentale proprietà
di trasformare derivazioni in moltiplicazioni per polinomi e viceversa. 4 Il
contenuto di questi risultati si può riassumere nelle semplici regole mnemoniche:
x↦−→i∇
ˆ
∇↦−→ik.
ˆ
A questo punto è opportuno introdurre uno spazio funzionale molto importante
per la teoria delle trasformate di Fourier.
Definizione 3.8 Lo spazio di Schwartz S(R N ) è lo spazio vettoriale delle funzioni
f ∈ C ∞ (R N ) tali che, per ogni coppia di multi-indici α e β, esiste M αβ ≥ 0
tale che
|x α ∇ β f(x)| ≤ M αβ
per ogni x ∈ R N .
Osserviamo che le funzioni di Schwartz sono funzioni C ∞ tali che esse e tutte
le loro derivate decadono all’infinito più rapidamente dell’inverso di qualunque
polinomio. Di conseguenza si ha
Osservamo anche che
C ∞ 0 (RN ) ⊂ S(R N ) ⊂ L 1 (R N ).
4 Si noti l’analogia con la proprietà (1.22) dei coefficienti di Fourier.

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 48
(i) lo spazio di Schwartz è chiuso per moltiplicazione tra funzioni; in altre
parole, se f,g ∈ S(R N ) si ha fg ∈ S(R N ).
(ii) lospaziodiSchwartzèchiusoperderivazioniemoltiplicazioniperpolinomi
ovvero,se f ∈ S(R N ) eαèun qualunque multi-indice, si ha∇ α f ∈ S(R N )
e x α f ∈ S(R N ).
Sullo spazio di Schwartz definiamo una particolare nozione di convergenza. 5
Definizione 3.9 Sia {f n } una successione di funzioni di Schwartz. Diciamo
che f n converge in S(R N ) a f ∈ S(R N ) se per ogni coppia di multi-indici α e
β si ha che
lim
n→∞ xα ∇ β f n (x) = x α ∇ β f(x)
uniformemente rispetto a x.
Proposizione 3.10 a) Se f ∈ S(R N ) allora ˆf ∈ S(R N ).
b) La trasformazione di Fourier è continua sullo spazio di Schwartz, ovvero
se f n → f in S(R N ) (definizione 3.9) allora ˆf n → ˆf in S(R N ).
Dimostrazione a) Osserviamo innanzitutto che le ipotesi del Teorema 3.7
sono soddifatte da ogni funzione di Schwartz per ogni ordine n. Dunque, Se
f ∈ S(R N ) e se α e β sono due multi-indici qualunque, utilizzando (3.10) e
(3.11) si potrà scrivere
k α ∇ β ˆf = k α [(−ix) β f]̂= (−i) |α|+|β| [∇ α x β f]̂.
Poiché, come sopra osservato, S(R N ) è chiuso sotto l’applicazione di ∇ α e x β ,
allora ∇ α x β f è anch’essa una funzione di Schwartz e si ha, in particolare, che
∇ α x β f ∈ L 1 (R N ). Dunque
|k α ∇ β ˆf(k)| ≤ cN ‖∇ α x β f‖ 1
=: M αβ
e perciò ˆf ∈ S(R N ).
b) Sia ora f n → f una successione convergente in S(R N ) (definizione 3.9).
Per linearità basterà considerare il caso f = 0. Fissati due multi-indici α e β,
dobbiamodunquedimostrarechek α ∇ β ˆf n (k) → 0uniformemente. Conpassaggi
analoghi ai precedenti si ottiene
e d’altra parte possiamo scrivere
|k α ∇ β ˆfn (k)| ≤ c N ‖∇ α x β f n ‖ 1
∫
‖∇ α x β (|x| 2N +1)|∇ α x β f n (x)|
f n ‖ 1
=
R N |x| 2N dx.
+1
∫
1
≤
R N |x| 2N dx sup |(|x| 2N +1)∇ α x β f n (x)|.
+1 x∈R N
5 Si potrebbe far vedere che questa è la nozione di convergenza associata ad una certa
topologia su S(R N ).

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 49
L’integrale ∫ 1
R dx è finito e, per l’ipotesi di convergenza f N |x| 2N +1 n → 0 in
S(R N ), si ha
lim sup |(|x| 2N +1)∇ α x β f n (x)| = 0
n→∞
x∈R N
(perché(|x| 2N +1)∇ α x β f n sipuòovviamentescriverecomesommadiunnumero
finito di espressioni del tipo x γ ∇ δ f). Pertanto lim n→∞ ‖∇ α x β f n ‖ 1
= 0, il che
dimostra che k α ∇ β ˆf n (k) → 0 uniformemente.
□
Esempio 3.11 Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione φ(x) =
e −αx2 /2 , con α > 0. Osserviamo che φ è caratterizzata dall’essere l’unica
soluzione del problema di Cauchy
φ ′ (x)+αxφ(x) = 0, φ(0) = 1.
Utilizzando le regole x↦→i ˆ
d
dk , d
dx ↦→ik, ˆ la trasformata ˆφ soddisfa
ˆφ ′ (k)+ 1 α k ˆφ(k) = 0,
con la condizione iniziale
φ(0) = √ 1 ∫ +∞
2π
−∞
e −αx2 /2 dx = 1 √
2π
√
2
α
∫ +∞
−∞
e −y2 dy = √ 1
√
2 √ 1 π = √α . 2π α
Perciò si ottiene il risultato 6 ˆφ(k) =
1 √α e −k2 /2α . (3.12)
L’estensione della (3.12) al caso N-dimensionale
φ N (x) = e −α|x|2 /2 , x ∈ R N ,
è una semplice applicazione del teorema di Fubini; essendo infatti
N∏
φ N (x)e −ik·x = φ 1 (x j )e −ikjxj ,
j=1
si ottiene
̂φ N (k) =
N∏
j=1
̂φ 1 (k j ) = 1
α N/2 e−|k|2 /2α . (3.13)
Osserviamo che che per α = 1 si trova ˆφ = φ, ovvero che la funzione e −|x|2 /2 è
un punto fisso per la trasformazione di Fourier.
6 In alternativa si poteva anche fare un calcolo diretto della trasformata, utilizzando
l’integrale notevole
∫ +∞ √ π
e −(aξ+bξ2) dξ =
−∞ b ea2 /4b , a,b ∈ C, Re(b) ≥ 0.

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 50
Abbiamo visto alcune proprietà notevoli della trasformazione di Fourier, in particolare
quella di trasformare derivazioni in moltiplicazioni per polinomi, e viceversa.
Ora vediamo un’altra interessante proprietà: quella di trasformare
convoluzioni in prodotti e viceversa. La convoluzione f ∗ g di due funzioni
f : R N → C e g : R N → C è formalmente definita da
∫ ∫
(f ∗g)(x) := f(x−y)g(y)dy = f(y)g(x−y)dy. (3.14)
R N R N
Proposizione 3.12 Se f,g ∈ L 1 (R N ), allora f ∗g ∈ L 1 (R N ), con ‖f ∗g‖ 1
≤
‖f‖ 1
‖g‖ 1
, e
c N ̂f ∗g = ˆf ĝ. (3.15)
Dimostrazione Cominciamo col dimostrare che f ∗g ∈ L 1 (R N ):
∣∫
∣∣∣ ‖f ∗g‖ 1
= f(x−y)g(y)dy
∣
∫R dx
N R N
≤
∫R N ∫
R N |f(x−y)||g(y)|dy = ‖f‖ 1
‖g‖ 1
< +∞.
dove, l’ultima uguaglianza è dovuta al teorema di Tonelli (Teorema A.9). Si ha
poi:
∫ ∫
(̂f ∗g)(k) = c N f(x−y)g(y)dy e −ik·x dx
R N R
∫
N
= c N
R N ∫
R N f(x−y)g(y)dy e −ik·(x−y) e −ik·y dx
∫ ∫
∗
= c N f(x−y)e −ik·(x−y) dx g(y)e −ik·y dy = c −1 ˆf(k)ĝ(k). N
R N R N
Osseviamo che l’uguaglianza contrassegnata con l’asterisco è dovuta al teorema
di Fubini, essendo la funzione f(x−y)g(y)e −ik·(x−y) e −ik·y sommabile su R 2N
(come sopra dimostrato).
□
Il “viceversa” di questo risultato lo vedremo un po’ più avanti (proposizione
3.20).
Esercizio 3.13 Dimostrare che l’operazione di convoluzione fra funzioni L 1 (R N )
è associativa.
3.2 Teoremi di inversione
All’inizio di questocapitoloabbiamointrodottoempiricamentela trasformatadi
Fourier come una funzione F(k) che ci permette di esprimere una funzione f(x)
mediante la formula (3.3). Dimostreremo ora che la trasformata di Fourier ˆf(k)
è effettivamente la funzione che assolve questo compito: dimostreremo cioè che
è possibile ricostruire una funzione f(x) “antitrasformando” la sua trasformata
ˆf(k). I teoremi di inversione della trasformazione di Fourier servono quindi a
dare un senso alla formula (3.3), esattamente come i teoremi di convergenza

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 51
della serie di Fourier servono a dare un senso allo sviluppo (1.1). Analogamente
al caso della serie di Fourier, non esiste un solo teorema di inversione ma una
molteplicità di risultati che dipendono dalla regolarità della funzione f. Anche
in questo caso ci limiteremo a presentare solo alcuni dei risultati più importanti.
Lemma 3.14 (Approssimazione dell’identità) Sia ϕ continua e limitata
su R N e sia f σ : R N → R una famiglia di funzioni integrabili, dipendenti dal
parametro σ > 0, tali che
(1) f σ ≥ 0, per ogni σ > 0;
(2) ∫ f
R N σ (x)dx = 1, per ogni σ > 0;
∫
(3) lim σ→0 +
|x|>R f σ(x)dx = 0, per ogni R > 0.
Allora si ha
∫
lim f σ (x−y)ϕ(y)dy = ϕ(x). (3.16)
σ→0 + R N
Dimostrazione Scriviamo, per un generico R > 0,
∫
∫
f σ (x−y)ϕ(y)dy = f σ (y)ϕ(x−y)dy =
R N R N
∫ ∫
∫
f σ (y)ϕ(x)dy+ f σ (y)[ϕ(x−y)−ϕ(x)] dy+ f σ (y)ϕ(x−y)dy
|y|≤R
|y|≤R
|y|>R
Fissatoǫ > 0,perlacontinuitàdiϕinx, esisteR > 0taleche|ϕ(x−y)−ϕ(x)| ≤
ǫ/3 per ogni |y| ≤ R e perciò, con questa scelta di R, si ha
∫
∣ f σ (y)[ϕ(x−y)−ϕ(x)] dy∣ ≤ ǫ 3
|y|≤R
dove si è sfruttata anche la proprietà (2). Poiché inoltre ϕ è limitata, grazie alla
proprietà (3) esisterà σ 1 tale che
∫
∣ f σ (y)ϕ(x−y)dy∣ ≤ ǫ 3 , per ogni 0 < σ < σ 1.
|y|>R
Infine, per le proprietà (2) e (3), esisterà σ 2 < σ 1 tale che
∫
∫
∣
∣1− f σ (y)dy∣ = ∣ f σ (y)dy∣ ≤ ǫ 3 , per ogni 0 < σ < σ 2.
|y|≤R
|y|>R
Si ha dunque che, per ogni fissato ǫ > 0 esiste σ sufficientemente piccolo tale
che ∣∫
∫
∣∣ ∣
f σ (x−y)ϕ(y)dy −ϕ(x) ∣ ≤ |ϕ(x)| ∣1− f σ (y)dy∣
R N |y|≤R
∫
∫
∣
+ ∣ f σ (y)[ϕ(x−y)−ϕ(x)] dy∣+
∣ f σ (y)ϕ(x−y)dy∣ < ǫ,
|y|≤R
il che dimostra il limite (3.16).
|y|>R
Una famiglia di funzioni con le proprietà (1), (2) e (3) del lemma precedente è
detta approssimazione dell’identità.
□

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 52
Lemma 3.15 La famiglia di curve gaussiane
g σ (x) :=
è un’approssimazione dell’identità.
1
(2πσ 2 ) N/2 e−|x|2 /2σ 2 , σ > 0. (3.17)
Dimostrazione La proprietà (1) è evidente. Utilizzando il teorema di Fubini
e l’integrale notevole ∫ +∞
−∞ e−ξ2 dξ = √ π si ottiene
∫
R N e −|x|2 /2σ 2 dx =
N∏
i=1
∫ +∞
−∞
e −x2 i /2σ2 dx i =
N∏ √ +∞
2σ 2∫
e −ξ2 dξ = (2πσ 2 ) N/2
e perciò ∫ +∞
−∞ g σ(x)dξ = 1 (proprietà (2)). Infine, per dimostrare la proprietà
(3) basta osservare che, per ogni fissato R > 0, si ha
∫
1
g σ (x)dx = e −|z|2 /2 dz,
|x|>R
i=1
(2π) N/2 ∫|z|>R/σ
−∞
che chiaramente tende a 0 per σ → 0 + .
□
Possiamo ora dimostrare il primo teorema di inversione, che riguarda le funzioni
di Schwartz. Ricordiamo che se f ∈ S(R N ) allora ˆf ∈ S(R N ).
Teorema 3.16 Se f ∈ S(R N ) si ha
f(x) = c N
∫R N ˆf(k)e ik·x dk (3.18)
per ogni x ∈ R N .
Dimostrazione Per ogni x ∈ R n e per ogni α > 0, la funzione
(k,y) ↦→ c 2 N ei(x−y)·k f(y)e −α2 |k| 2 /2
è integrabile su R 2N e perciò possiamo applicare il teorema di Fubini ed eseguire
l’integrale su R 2N di tale funzione in due modi: rispetto a y e poi rispetto a k
e viceversa. Si ottiene così l’uguaglianza
∫
∫
c N
ˆf(k)e ik·x e −α2 |k| 2 /2 dk = c [e ̂ ]
N −α2 |k| 2 /2
(y −x)f(y)dy.
R N
Come abbiamo visto nell’esempio 3.11, la trasformata di e −α2 |k| 2 è data da
R N
e quindi
[
e
−α ̂ ] 2 |k| 2 /2
(x) = 1 /2α 2
α N e−|x|2 = c −1
N g α(x)
∫
c N
ˆf(k)e
∫R ik·x e −α2 |k| 2 /2 dk = g α (x−y)f(y)dy.
N R N

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 53
Passando al limite per α → 0 + (con il teorema della convergenza dominata) e
utilizzando i due lemmi precedenti si ottiene
c N
∫R N ˆf(k)e ik·x dk = f(x).
Introduciamo la notazione F : S(R N ) → S(R N ), F : f ↦→ ˆf per indicare la
trasformazione di Fourier sullo spazio di Schwartz. Posto
(F ∗ f)(x) := c N
∫R N f(k)e ik·x dk (3.19)
il teorema precedente ci dice che F ∗ F = I. Inoltre, posto
(Jf)(x) := f(−x) (3.20)
e osservato che F e F ∗ sono legate dalla semplice relazione
si ha anche
F ∗ = FJ = JF , (3.21)
FF ∗ = F J F = F ∗ F
e quindi FF ∗ = I. Pertanto F è una corrispondenza biunivoca di S(R N ) in sé
e F ∗ è la sua inversa:
F ∗ = F −1 . (3.22)
La trasformazione F ∗ prende il nome di trasformazione di Fourier inversa e la
funzione F ∗ f è detta antitrasformata di f.
Esercizio 3.17 Verificare che
F 2 = J, F 3 = F ∗ , F 4 = I (3.23)
(analogamente al ciclo dell’unità immaginaria: i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1).
Enunciamo ora, senza dimostrazione, due ulteriori teoremi di inversione. Il primo
ci dice che la (3.18) vale (quasi ovunque) anche per funzioni L 1 , nell’ipotesi
che anche ˆf sia una funzione L 1 .
Teorema 3.18 Se f e ˆf stanno entrambe in L 1 (R N ) allora vale la (3.18) per
quasi ogni x ∈ R N .
Corollario 3.19 Se f ∈ L 1 (R N ) e ˆf ∈ S(R N ), allora f ∈ S(R N ) (nel senso
che f è uguale quasi ovunque a una funzione di Schwartz).
Dimostrazione Poiché ˆf ∈ S(R N ), si ha F ∗ ˆf ∈ S(R N ). Ma per il Teorema
3.18 si ha che F ∗ ˆf = f quasi ovunque. □
Come prima applicazione di questi risultati dimostriamo un altro teorema sulle
convoluzioni, che è un il viceversa della Proposizione 3.12, almeno per funzioni
di Schwartz.
□

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 54
Proposizione 3.20 Se f, g ∈ S(R N ), allora f ∗g ∈ S(R N ) e
̂fg = c N ˆf ∗ĝ. (3.24)
Dimostrazione Dalla Proposizione 3.12 otteniamo che ̂f ∗g = c −1
N ˆf ĝ ∈
S(R N ), e dunque f ∗ g ∈ S(R N ) per il corollario precedente. Inoltre, poiché
(come si può facilmente verificare) la (3.15) vale anche per le antitrasformate,
c N F ∗ (f ∗g) = F ∗ f F ∗ g,
riscrivendoquesta identità per ˆf e ĝ al posto di f e g si ottiene c N F ∗ (ˆf∗ĝ) = fg
e da questa, applicando F ad ambo i membri, si ottiene la (3.24). □
Un altro teorema di inversione che enunciamo senza dimostrazione è l’analogo
del teorema di convergenza puntuale 1.4 visto per le serie di Fourier (anche la
dimostrazione è simile) e vale solo nel caso unidimensionale.
Teorema 3.21 Se f appartiene a L 1 (R) ed è regolare a tratti 7 allora esiste il
limite ∫ +R ∫ +∞
lim ˆf(k)e ikx dk =: v.p. ˆf(k)e ikx dk (3.25)
R→+∞ −R
−∞
(detto “valore principale” dell’integrale) e si ha
∫
1 +∞
√ v.p. ˆf(k)e ikx dk = f+ (x)+f − (x)
2π −∞
2
(3.26)
per ogni x ∈ R (dove f + (x) e f − (x) indicano i limiti destro e sinistro di f nel
punto x).
Osserviamo che se ˆf ∈ L 1 (R) allora v.p. ∫ +∞
−∞ ˆf(k)e ikx dk = ∫ +∞
−∞ ˆf(k)e ikx dk.
Osservazione 3.22 Riscriviamo la fomula di inversione (3.18) esplicitamente
f(x) = 1 ∫ ∫
(2π) N e ik·x f(y)e −ik·y dydk.
R N R N
Notiamo che non si può applicare il teorema di Fubini: questo non è l’integrale
su R 2N della funzione f(k)e −ik·y e ik·x (perché questa non è sommabile) e
quindi gli integrali vanno fatti nell’ordine indicato. Tuttavia, se potessimo applicare
il teorema di Fubini invertendo l’ordine delle integrazioni si otterrebbe
l’espressione:
f(x) = 1 ∫ ∫
(2π) N e ik·(x−y) dkf(y)dy
R N R N
da cui si vede che la “funzione”
δ(x) = 1
(2π) N ∫
R N e ik·x dk
7 Vedi nota a pag. 5. Attenzione: qui non si richiede la continuità di f.

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 55
ha la proprietà di una “delta di Dirac”, ovvero la sua convoluzione con una
funzione riproduce la funzione stessa:
∫
R N δ(x−y)f(y)dy = f(x).
Queste considerazionisarannoinquadratecorrettamentenell’ambito della teoria
delle distribuzioni che vedremo nel prossimo capitolo.
3.3 Trasformata di Fourier di funzioni L 2
Anche nella teoria delle trasformate di Fourier, come in quella delle serie, lo
spazio L 2 è il vero protagonista. Il motivo risulta chiaro dal risultato seguente
che è, per le trasformate, l’analogo del teorema di Parseval (eq. (1.16)) per le
serie.
Lemma 3.23 Se f,g ∈ S(R N ), allora 〈f,g〉 = 〈ˆf,ĝ〉. In particolare, ‖f‖ 2
=
‖ˆf‖ 2
.
Dimostrazione Il lemmaèunasempliceconseguenzadel teoremadiinversione
3.16 e del teorema di Fubini. Si ha infatti:
∫
〈f,g〉 = f(x)g(x)dx = c N
ˆf(k)e
∫R
∫R ik·x dkg(x)dx
N N R
∫ ∫ ∫
N
= c N
ˆf(k) g(x)e ik·x dx dk = ˆf(k)ĝ(x)dx = 〈ˆf,ĝ〉
R N R N R N
Questo semplice ma importante risultato ci permette di estendere la trasformazione
di Fourier a tutte le funzioni L 2 .
Teorema 3.24 La trasformazione di Fourier F : S(R N ) → S(R N ), f ↦→ ˆf, si
estende in modo unico ad una isometria di L 2 (R N ) in sé.
Dimostrazione Sia f ∈ L 2 (R N ). Allora, poiché S(R N ) è denso in L 2 (R N ),
esiste una successione di funzioni f n ∈ S(R N ) tale che f n → f nello spazio
L 2 (R N ). Poiché la successione f n è convergente, allora sarà anche di Cauchy
in L 2 (R N ), cioè per ogni ǫ > 0 esisterà n ǫ tale che ‖f n −f m ‖ 2
< ǫ per ogni
n,m ≥ n ǫ . Ma per il teorema precedente si ha
‖f n −f m ‖ 2
= ‖ˆf n − ˆf m ‖ 2
e quindi anche ˆf n è una successione di Cauchy in L 2 (R N ). Poiché lo spazio
L 2 (R N ) è completo, esisterà un elemento di L 2 (R N ), che chiameremo Ff, tale
che
lim
n→+∞ ‖ˆf n −Ff‖ 2
= 0.
Dunque, ad ogni f ∈ L 2 (R N ) possiamo associare, con il procedimento al limite
appena descritto, un elemento Ff ∈ L 2 (R N ): tale elemento sarà, per definizione,
la trasformata di Fourier di f e l’applicazione F : L 2 (R N ) → L 2 (R N ),
f ↦→ Ff, sarà detta trasformazione di Fourier. Si può verificare facilmente che:
□

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 56
• la definizione di Ff non dipende dalla successione approssimante scelta;
• F è lineare;
• F è un’isometria, ovvero 〈f,g〉 = 〈Ff,Fg〉 per ogni f,g ∈ L 2 (R N ) (Teorema
di Plancherel);
• F è invertibile; 8
• se F ′ : L 2 (R N ) → L 2 (R N ) è una trasformazionelineare e continua tale che
F ′ |S(R N ) = F |S(R N ), allora F ′ = F (in questo senso l’estensione è unica).
Il seguente teorema assicura la consistenza della precedente definizione con la
definizione (3.4) nel caso di funzioni che sono L 2 e anche L 1 . Ove sia possibile
applicare entrambe le definizioni, denotiamo con Ff la trasformata di Fourier
in L 2 definita dal precedente teorema e con ˆf la trasformata di Fourier in senso
L 1 , ovvero definita dall’integrale (3.4).
Lemma 3.25 Se f ∈ L 2 (R N ) ha supporto compatto, allora (Ff)(k) = ˆf(k)
per q.o. k ∈ R N .
Dimostrazione Sia Ω un aperto limitato contenente il supporto di f e sia g n
una successione di funzioni in C0 ∞ (Ω) che approssimano f in L 2 (Ω) (e quindi
anche in L 2 (R N )). Allora, ricordando l’osservazione A.6, f ∈ L 1 (Ω) e g n → f
in senso L 1 , il che implica (per la (3.5)) che ĝ n (x) → ˆf(k) uniformemente in Ω.
Dunque, essendo Ω limitato, ĝ n → ˆf in L 2 . Ma, per definizione, ĝ n → Ff in
L 2 e quindi Ff = ˆf quasi ovunque.
□
□
Teorema 3.26 Se f ∈ L 2 ∩L 1 (R N ), allora (Ff)(k) = ˆf(k) per q.o. k ∈ R N .
Dimostrazione Per ogni R > 0 sia
{
f(x), se |x| ≤ R,
f R (x) =
0, se |x| > R.
Per il precedente Lemma si ha ˆf R = Ff R q.o. in R N . Dal teorema della convergenza
dominata segue che, per R → ∞, f R converge a f sia in norma L 1 che
in norma L 2 . Di conseguenza:
(i) per la (3.5) si ha che ˆf R (k) → ˆf(k) uniformemente;
(ii) peril lemma precedenteeperla continuitàdi F siha che ˆf R = Ff R → Ff
in senso L 2 .
8 Si può dedurre da linearità e isometricità, il che è facile a dimensione finita ma richiede un
po’ più di lavoro in dimensione infinita. Altrimenti basta estendere F ∗ da S(R N ) a L 2 (R N ),
con la stessa procedura, dopodiché è facile mostrare che F ∗ è l’inversa di F.

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 57
Si può dimostrare (si veda [9] Teorema 3.12) che allora esiste una sottosuccessione
ˆf Rn che converge a Ff puntualmente quasi ovunque. Ma, per il punto
(i), ogni sottosuccessione di ˆfR converge puntualmente a ˆf e dunque possiamo
concludere che Ff = ˆf quasi ovunque.
□
Notiamo che come altra conseguenza del Lemma 3.25 vale il seguente risultato.
Corollario 3.27 Se f ∈ L 2 (R N ) si ha
∫
(Ff)(k) = lim
R→∞
|x|≤R
dove il limite è da intendrsi nella norma L 2 .
e −ik·x f(x)dx, (3.27)
Dimostrazione Per il Lemma 3.25 si ha ˆf R = Ff R e, per la continuità di F,
si ha ˆf R → Ff in L 2 (R N ) per R → ∞. Scrivendo esplicitamente questo limite
si ottiene la (3.27).
□
Una volta visto che le trasformate in senso L 1 e in senso L 2 coincidono per
funzioni che stannoin entranbigli spazi, si usaadottarelanotazione ˆf ancheper
funzioni L 2 , tenendo però presente che per tali funzioni, in generale, l’integrale
(3.4) non ha senso (mentre ha senso il limite (3.27)).
Esempio 3.28 La trasformata della funzione
{
1, per −1 ≤ x ≤ 1,
rect(x) :=
0, altrimenti.
√ √
2
è
π sinc(k) = 2 sink
π k
(vedi Esempio 3.4). Questo è un esempio di funzione
L 1 (R) la cui trasformata non sta in L 1 (R) poiché, infatti, si ha
∫ +∞
sink
∣ k ∣dk = +∞.
−∞
Naturalmente, essendo rect ∈ L 2 (R), la sua trasformata deve stare in L 2 (R), e
infatti risulta ∫ +∞
sink
2
∣
−∞ k ∣ dk < +∞.
Questosignificacheallafunzionesinc nonpuòessereapplicatalatrasformazione
(o l’anti-trasformazione) di Fourier in senso L 1 mentre può essere applicata
quella in senso L 2 . Chiaramente, essendo la trasformazione biunivoca su L 2 (R),
risulterà F ∗ (sinc) = √ π
2
rect e tale formula va interpretata come
lim
R→∞
∫ R
−R
ikx sink
e dk = πrect(x), (3.28)
k
dove il limite è inteso in L 2 (R) (Corollario 3.27). Per di più, essendo rect ∈
L 1 (R) e regolare a tratti, possiamo applicare il Teorema 3.21 e concludere che
il limite (3.28) può essere inteso anche in senso puntuale, almeno nei punti in
cui rect è continua. In particolare, per x = 0 si otterrà il limite notevole
lim
R→∞
∫ R
−R
sink
k
dk = π. (3.29)

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 58
3.4 Soluzione di equazioni alle derivate parziali
Vediamo ora alcuni esempi di utilizzo delle trasformate di Fourier per risolvere
equazioni alle derivate parziali. Poiché la trasformazione di Fourier agisce su
funzionidefinitesuR N , sinoteràcheilmetodoèadattoaproblemiilcuidominio
spaziale è l’intero R N .
3.4.1 Equazioni del trasporto e dal calore
Consideriamo il problema ai valori iniziali per l’equazione del trasporto
{
ut (x,t)+v ·∇u(x,t) = 0, x ∈ R, t > 0,
u(x,0) = ϕ(x), x ∈ R,
(3.30)
dove v ∈ R N è un vettore fissato e ϕ è un dato iniziale fissato. Sia û(k,t)
la trasformata di u(x,t) rispetto a x. Il corrispondente problema per û è il
seguente: {ût (k,t)+iv ·kû(k,t) = 0, k ∈ R, t > 0,
û(k,0) = ˆϕ(k), k ∈ R,
e dunque (ricordando la proprietà (3.7))
û(k,t) = e −itv·kˆϕ(k) = ̂T tv ϕ(k).
Antitrasformando, si trova perciò
u(x,t) = ϕ(x−vt). (3.31)
Consideriamo ora il problema ai valori iniziali per l’equazione del calore
{
ut (x,t) = c∆u(x,t), x ∈ R N , t > 0,
u(x,0) = ϕ(x), x ∈ R N ,
(3.32)
dove c > 0 è una costante fissata e ϕ è un dato iniziale fissato. Come sopra, sia
û(k,t) la trasformata di u(x,t) rispetto a x; per û il problema diventa
{ût (k,t) = −c|k| 2 û(k,t), k ∈ R, t > 0,
e dunque
û(k,0) = ˆϕ(k), k ∈ R,
û(k,t) = e −ct|k|2 ˆϕ(k).
Per antitrasformare occorre ricordare la (3.24) (che vale anche per l’antitrasformata),
per cui si ha (con qualche abuso di notazione)
)
u(x,t) = c N
((F ∗ e −ct|k|2 )∗ϕ (x)
L’antitrasformata F ∗ e −ct|k|2 di e −ct|k|2 si calcola facilmente usando la (3.13)
(con α = 2ct) e F ∗ = JF:
F ∗ e −ct|k|2 = JFe −ct|k|2 =
1
(2ct) N/2e−|x|2 /4ct .

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 59
Dunque
che scriviamo
u(x,t) =
=
∫
c N
(2ct) N/2
∫
1
(4πct) N/2
dove (ricordando anche la definizione (3.17))
R N e −|x−y|2 /4ct ϕ(y)dy
R N e −|x−y|2 /4ct ϕ(y)dy
∫
u(x,t) = Γ(x−y,t)ϕ(y)dy, (3.33)
R N
Γ(x,t) =
1 /4ct
(4πct) N/2 e−|x|2 = g √ 2ct
(x) (3.34)
è detta soluzione fondamentale dell’equazione del calore.
3.4.2 Equazione delle onde
Consideriamo il problema ai valori iniziali per l’equazione delle onde
⎧
⎪⎨
u tt (x,t) = c 2 ∆u(x,t), x ∈ R, t > 0,
u(x,0) = ϕ(x), x ∈ R,
⎪⎩
u t (x,0) = ψ(x), x ∈ R
(3.35)
dove c > 0 è una costante fissata e ϕ , ψ sono i dati iniziali. Procedendo come
negli esempi precedenti otteniamo il problema per û(k,t)
⎧
û ⎪⎨ tt (k,t) = −c 2 |k| 2 û(k,t), k ∈ R, t > 0,
û(k,0) = ˆϕ(k), k ∈ R,
⎪⎩
û t (k,0) = ˆψ(k), k ∈ R.
La soluzione generica dell’equazione differenziale è
û(k,t) = A(k)e ic|k|t +B(k)e −ic|k|t . (3.36)
Imponendo le condizioni iniziali si ottiene
⎧ (
⎧
⎪⎨ A(k)+B(k) = ˆϕ(k), A(k) = ⎪⎨
1 ˆϕ(k)+ ˆψ(k)
)
,
2 ic|k|
⎪⎩ A(k)−B(k) = ˆψ(k)
ic|k| , =⇒ (
⎪⎩ B(k) = 1 ˆϕ(k)− ˆψ(k)
)
,
2 ic|k|
e dunque
û(k,t) = ˆϕ(k) eic|k|t +e −ic|k|t
2
= ˆϕ(k) cos(c|k|t)+
+ ˆψ(k) eic|k|t −e −ic|k|t
2ic|k|
sin(c|k|t) ˆψ(k) .
c|k|
(3.37)

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 60
Adesso, per trovare la soluzione u(x,t), dovremmo applicare la trasformazione
di Fourier inversa a quest’ultima espressione, il che implicherebbe antitrasformare
le funzioni cos(c|k|t) e sin(c|k|t)
|k|
, che non sono né di classe L 1 né di classe
L 2 . Ci troviamo perciò in una difficoltà che si potrà superare solo con un’opportuna
estensione del concetto di trasformazione di Fourier, estensione di cui
ci occuperemo nel capitolo successivo (in particolare riprenderemo l’equazione
delle onde nel paragrafo 4.5). Tuttavia, a dimensione N = 1 riusciamo ad eseguire
l’antitrasformazione fin d’ora. Infatti, in questo caso, |k| è semplicemente
il valore assoluto della variabile scalare k e la (3.37) si puó riscrivere
ovvero, ricordando la (3.7),
û(k,t) = ˆϕ(k) eickt +e −ickt
+
2
ˆψ(k) eickt −e −ickt
2ick
û(k,t) = 1 2
= ˆϕ(k) eickt +e −ickt
2
+ ˆψ(k) 1 2
[̂T −ct ϕ(k)+ ̂T +ct ϕ(k)]
+ 1 2
∫ t
∫ t
−t
−t
e icks ds
̂T −cs ψ(k)ds.
Pertanto otteniamo la soluzione dell’equazione delle onde unidimensionale
u(x,t) = 1 2 [ϕ(x+ct)+ϕ(x−ct)]+ 1 2
nota come formula di D’Alembert.
= 1 2 [ϕ(x+ct)+ϕ(x−ct)]+ 1 2c
∫ t
ψ(x+cs)ds
−t
∫ x+ct
x−ct
ψ(y)dy,
(3.38)
Tornando ora al caso N-dimensionale, analogamente a quanto fatto nel paragrafo
1.2 per la corda vibrante di lunghezza finita, studiamo l’energia 9 associata
al sistema (3.35)
E(t) = 1 (
u
2
∫R 2 t(x,t)+c 2 |∇u(x,t)| 2) dx. (3.39)
N
Applicando il Teorema di Plancherel ‖f‖ 2
= ‖ˆf‖ 2
e la formula (3.37) possiamo
scrivere ∫
R N (
|û 2 t (k,t)|+c2 |k| 2 |û(k,t)| 2) dk
∫ ∣ ∣∣∣
= |ck| 2 −ˆϕ(k) sin(c|k|t)+
R N
∫ ∣
+ |ck|
∣∣∣ˆϕ(k) 2 cos(c|k|t)+
R N
=
ˆψ(k)
cos(c|k|t)
c|k|
ˆψ(k)
sin(c|k|t)
c|k|
2
∣ dk
2
∣ dk
|ck|
(|ˆϕ(k)|
∫R 2 2 + |ˆψ(k)| 2 )
(
N |ck| 2 dk = |ck|
∫R 2 |ˆϕ(k)| 2 +|ˆψ(k)| 2) dk.
N
9 Per la precisione, E(t) definita in (3.39) è una quantità proporzionale all’energia.

CAPITOLO 3. TRASFORMATE DI FOURIER 61
Dunque, come nel caso della corda vibrante finita, si ha E(t) = E(0) =: E,
ovvero l’energia rimane costante nel tempo, e si ha
E = 1 2
∫R N (
|ck| 2 |ˆϕ(k)| 2 +|ˆψ(k)| 2) dk (3.40)
che è l’analogo dell’espressione (1.39) ottenuta per la corda vibrante finita.
Un’altra rappresentazione dell’energia la otteniamo dalla forma (3.36) della soluzione
trasformata. Poiché u è reale, si deve avere û(k,t) = û(−k,t), da cui
segue
A(k)e −ic|k|t +B(k)e ic|k|t = A(−k)e ic|k|t +B(−k)e −ic|k|t
(per ogni t ∈ R), il che implica
A(k) = B(−k).
Dunque, poiché
{
ˆϕ = A+B,
ˆψ = i|ck|(A−B),
=⇒
{
|ϕ| 2 = [ AA+BB +2Re(AB) ] ,
|ψ| 2 = |ck| 2[ AA+BB −2Re(AB) ] ,
si ha
E = 1 (
|ck|
2
∫R 2 |ˆϕ(k)| 2 +|ˆψ(k)| 2) dk = 1 ∫
|ck| 2( AA+BB ) (k)dk
2
N R N
= 1 ∫
|ck| 2( |A(k)| 2 +|A(−k)| 2) ∫
dk = |ck| 2 |A(k)| 2 dk,
2 R N R N
che esprime l’energia in funzione del solo coefficiente A(k).

Capitolo 4
Distribuzioni
4.1 Distribuzioni
Le distribuzioni, dette anche funzioni generalizzate, sono state usate di fatto
dai fisici (Heaviside, Dirac) fin dall’inizio del secolo scorso e furono teorizzate
rigorosamente da Laurent Schwartz (Parigi 1915-2002) verso la fine degli anni
’40. La teoria matematica rigorosa definisce le distribuzioni come funzionali su
uno spazio di funzioni molto regolari, dette “funzioni test”.
Definizione 4.1 Sia Ω un aperto non vuoto di R N . Definiamo lo spazio delle
funzioni test su Ω come
D(Ω) := {ϕ ∈ C ∞ | supp(ϕ) ⊂ K, K ⊂ Ω compatto} = C ∞ 0 (Ω).
Una successione di funzioni test {ϕ n } ⊂ D(Ω) converge a una funzione test
ϕ ∈ D(Ω) se
1. esiste K ⊂ Ω compatto tale che supp(ϕ n −ϕ) ⊂ K per ogni n;
2. per ogni multi-inidice α si ha ∇ α ϕ n (x) → ∇ α ϕ(x) uniformemente. □
Osserviamo che, come spazio vettoriale, lo spazio delle funzioni test è uguale a
C0 ∞ (Ω) ma ha in più una nozione di convergenza.1
Esercizio 4.2 Dimostrare che la funzione
{
0, se |x| ≥ 1,
ξ(x) :=
e 1
x 2 −1 , se |x| < 1,
è una funzione test su R.
Definizione 4.3 Una distribuzione su Ω è un funzionale lineare e continuo su
D(Ω) ovvero una funzione f : D(Ω) → C tale che
1 Tale nozione di convergenza si può far discendere da una precisa topologia su D(Ω) che
rende D(Ω) uno spazio vettoriale topologico completo ma non-metrizzabile (cioè non esiste
nessuna norma che induca tale topologia, si veda a questo proposito [10]). Tuttavia a noi non
interesserà approfondire questo aspetto.
62

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 63
1. f(aϕ+bψ) = af(ϕ)+bf(ψ) per ogni ϕ,ψ ∈ D(Ω) e a,b ∈ C;
2. se ϕ n → ϕ in D(Ω), allora f(ϕ n ) → f(ϕ) in C. □
L’insieme delle distribuzioni su Ω è indicato con D ′ (Ω) e spesso l’azione di
f ∈ D ′ (Ω) su ϕ ∈ D(Ω) si indica con 〈f,ϕ〉.
Esercizio 4.4 Dimostrare che D ′ (Ω) con le operazioni
1. 〈f 1 +f 2 ,ϕ〉 := 〈f 1 ,ϕ〉+〈f 2 ,ϕ〉, per ogni f 1 ,f 2 ∈ D ′ (Ω) e ϕ ∈ D(Ω);
2. 〈αf,ϕ〉 := α〈f,ϕ〉, per ogni f ∈ D ′ (Ω), α ∈ C e ϕ ∈ D(Ω);
è uno spazio vettoriale. 2
Esempio 4.5 (Distribuzioni regolari) Sia u ∈ L 1 loc (Ω) (cioè u ∈ L1 (K) per
ogni K ⊂ Ω compatto). Definiamo
∫
f u (ϕ) := u(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω). (4.1)
Ω
Osserviamo che l’integrale esiste in quanto u è integrabile sul supporto di ϕ e ϕ
è limitata. Dunque la funzione f u : D(Ω) → C è ben definita ed è chiaramente
lineare. Inoltre è continua poiché, se ϕ n è una successione convergente a ϕ in
D(Ω), per definizione esiste un compatto K che contiene il supporto di ϕ−ϕ n
e inoltre ϕ n → ϕ uniformemente. Quindi
∫
|f u (ϕ)−f u (ϕ n )| ≤ ‖ϕ−ϕ n ‖ ∞
|u(x)|dx → 0
per n → ∞. Abbiamo così dimostrato che f u ∈ D ′ (Ω).
Definizione 4.6 Una distribuzione f tale che f = f u , per una qualche u ∈
L 1 loc
(Ω), si dice regolare.
Si verifica facilmente che le distribuzioni regolari su Ω formano un sottospazio
di D ′ (Ω). Tale sottospazio si identifica naturalmente con L 1 loc (Ω) per cui si
dice che “le distribuzioni contengono le funzioni” (almeno quelle localmente
integrabili). Notiamoaltresìchelestessefunzioni test sipossonoidentificarecon
distribuzioni regolari e dunque possiamo identificare D(Ω) con un sottospazio
di D ′ (Ω) e scrivere
D(Ω) ⊂ D ′ (Ω). (4.2)
Osservazione 4.7 In realtà non dovremmo identificare una distribuzione regolare
con una singola funzione u ma con l’intera classe di equivalenza delle
funzioni che differiscono da u su insiemi di misura nulla (è chiaro infatti che f u
dipende solo dalla classe di equivalenza di u).
Le distribuzioni non regolari si dicono singolari. La più celebre distribuzione
singolare è la delta di Dirac, presentata nel seguente esempio.
2 È quello che si chiama il duale dello spazio D(Ω). In generale, lo spazio V ′ dei funzionali
lineari continui su un certo spazio vettoriale topologico V è detto “duale” di V.
K

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 64
Esempio 4.8 (Distribuzione delta di Dirac) Definiamo
δ(ϕ) := ϕ(0), ϕ ∈ D(R N ). (4.3)
È chiaro che δ : D(R N ) → C è ben definita e lineare. Inoltre è continua, poiché
seϕ n → ϕinD(R N )sihasenz’altroϕ n (0) → ϕ(0). Quindiδ èunadistribuzione
su R N .
Proposizione 4.9 La distribuzione δ non è regolare, ovvero non esiste nessuna
funzione u ∈ L 1 loc (RN ) tale che δ = f u .
Dimostrazione Se tale funzione u esistesse si avrebbe
∫
ϕ(0) = u(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(R N ).
R N
Consideriamo le funzioni test
ϕ n (x) := ξ(n|x|), x ∈ R N , n = 1,2,...
dove ξ è la funzione definita nell’esercizio 4.2. Si averbbe allora
∫ ∣ ∫
1
|ϕ n (0)| = ∣ u(x)e
n 2 |x| 2 −1 ∣∣ dx ≤ |u(x)|dx
|x|≤ 1 n
|x|≤ 1 n
e dunque ϕ n (0) → 0 per l’assoluta continuità dell’integrale di Lebesgue. D’altra
parte ϕ n (0) = 1/e per cui si ha una contraddizione.
□
Osservazione 4.10 Nella letteratura fisica e ingegneristica si usa di solito una
notazione non rigorosa (ma spesso efficace) che tratta la delta di Dirac come se
fosse una distribuzione regolare (cioè una funzione), scrivendo perciò
∫
ϕ(0) = δ(x)ϕ(x)dx.
R N
anziché, più correttamente, ϕ(0) = δ(ϕ) oppure ϕ(0) = 〈δ,ϕ〉.
Definizione 4.11 Si dice che una successione di distribuzioni f n ∈ D ′ (Ω)
converge a f ∈ D ′ (Ω) se 〈f n ,ϕ〉 → 〈f,ϕ〉 per ogni ϕ ∈ D(R N ).
Esempio 4.12 Consideriamo le funzioni Gaussiane g σ , definite in (3.17), che
possiamo identificare come distribuzioni regolari. Abbiamo già osservato in
precedenza che le g σ sono un’approssimazione dell’identità. Pertanto possiamo
applicare il Lemma 3.14 e la formula (3.16), ottenendo
∫
lim g σ (x)ϕ(x)dx = ϕ(0).
σ→0 + R N
Considerando g σ come una distribuzione regolare, questa formula può essere
interpretata nella teoria delle distribuzioni come
lim
σ→0 + 〈g σ ,ϕ〉 = 〈δ,ϕ〉, (4.4)
ovvero come il fatto che le gaussiane g σ convergono alla distribuzione delta di
Dirac.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 65
Il precedente esempio si può ovviamente generalizzare a qulunque approssimazione
dell’identità.
Proposizione 4.13 Se f σ è un’approssimazione dell’identità, nel senso del
Lemma 3.14, allora f σ → δ in D ′ (R N ).
4.2 Derivazione di distribuzioni
Consideriamo u ∈ C 1 (R), per cui u e u ′ possono essere interpretate come distribuzioni
regolari, f u ,f u ′ ∈ D ′ (R). Se ϕ ∈ D(R), sia (a,b) un intervallo che
contiene supp(ϕ). Usando l’integrazione per parti si ha 3
= −
∫
〈f u ′,ϕ〉 =
∫ b
a
R
u ′ (x)ϕ(x)dx =
∫
u(x)ϕ ′ (x)dx = −
Ω
∫ b
a
u ′ (x)ϕ(x)dx
u(x)ϕ ′ (x)dx = −〈f u ,ϕ ′ 〉.
Notiamo che l’ultima espressione ha senso per qualunque distribuzione e dunque
l’idea è quella di prenderla come definizione per la derivata delle distribuzioni.
Definizione 4.14 Sia Ω ⊂ R e sia f ∈ D ′ (Ω). La derivata della distribuzione
f è la distribuzione f ′ definita da
〈f ′ ,ϕ〉 := −〈f,ϕ ′ 〉, ϕ ∈ D(Ω). (4.5)
Verifichiamo che f ′ è effettivamente una distribuzione: è chiaramente lineare e
inoltre è continua poiché se ϕ n → ϕ in D(Ω), allora anche ϕ ′ n → ϕ′ in D(Ω),
per cui 〈f,ϕ ′ n〉 → 〈f,ϕ ′ 〉 e dunque 〈f ′ ,ϕ n 〉 → 〈f ′ ,ϕ〉.
Piùingenerale,perk ≥ 0, definiamoladerivatak-esimaf (k) tramitelarelazione
〈f (k) ,ϕ〉 := (−1) k 〈f,ϕ (k) 〉, ϕ ∈ D(Ω),
e, ancora più in generale, se Ω ⊂ R N , f ∈ D ′ (Ω) e α è un multi-indice, ∇ α f è
definita da
〈∇ α f,ϕ〉 := (−1) |α| 〈f,∇ α ϕ〉, ϕ ∈ D(Ω). (4.6)
Osserviamo quindi che le distribuzioni hanno sempre derivate di qualunque
ordine, per definizione.
Esempio 4.15 Sia δ la distribuzione delta di Dirac unidimensionale; allora δ ′
è la distribuzione
〈δ ′ ,ϕ〉 = −〈δ,ϕ ′ 〉 = −ϕ ′ (0), ϕ ∈ D(R).
Più in generale, se δ è la delta di Dirac N-dimensionale e α è un multi-indice
〈∇ α δ,ϕ〉 = (−1) |α| 〈δ,∇ α ϕ〉 = (−1) |α| ∇ α ϕ(0), ϕ ∈ D(R N ). (4.7)
3 Il ragionamento si può estendere al caso di un qualunque aperto Ω ⊂ R osservando che,
comunque, il supporto di ϕ ∈ D(Ω) si può racchiudere in un numero finito di intervalli chiusi,
limitati e con interno non-vuoto.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 66
Se f u è una distribuzione regolare (supponiamola unidimensionale per semplicità),
distinguiamo tre casi:
1. f ′ u non è una distribuzione regolare: in questo caso f ′ u è semplicemente la
derivata distribuzionale di f u ;
2. u è di classe C 1 : in questo caso (come abbiamo visto integrando per parti)
f u ′ = f u ′, einquestosensoladerivatadistribuzionale“coincide”conquella
classica;
3. u non è necessariamente di classe C 1 , ma f ′ u è una dstribuzione regolare:
dunqueesiste v ∈ L 1 loc (R) talechef′ u = f v: tale funzionev èdetta derivata
debole di u (e si continua a indicarla con u ′ ).
Osserviamo quindi che abbiamo introdotto un concetto di derivazione (di una
normale funzione, non di una distribuzione) più debole, cioè più generale, di
quello tradizionale. Tale definizione può benissimo essere data anche svincolandosi
dalla toria delle distribuzioni:
Definizione 4.16 Sia Ω ⊂ R N aperto e sia u ∈ L 1 loc (Ω). Se esiste v ∈ L1 loc (Ω)
tale che ∫ ∫
u(x)ϕ ′ (x)dx = − v(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C0 ∞ (Ω),
Ω
Ω
tale v è detta derivata debole di u.
Esempio 4.17 Consideriamo la funzione
{
x, se x ≥ 0,
u(x) :=
0, se x < 0.
Per ogni ϕ ∈ D(R) si ha
∫ +∞
−∞
u(x)ϕ ′ (x)dx =
= −
∫ +∞
∫ +∞
dove H è la funzione di Heaviside
0
0
xϕ ′ ∣
(x)dx = xϕ(x)
ϕ(x)dx = −
∫ +∞
−∞
∣ +∞
0
−
H(x)ϕ(x)dx,
∫ +∞
0
ϕ(x)dx
H(x) :=
{
1, se x ≥ 0,
0, se x < 0.
(4.8)
Perciò u ha derivata debole e tale derivata è H. Ora facciamo la derivata di H:
∫ +∞
−∞
H(x)ϕ ′ (x)dx =
∫ +∞
0
ϕ ′ (x)dx = −ϕ(0) = −〈δ,ϕ〉.
Dunque H, come distribuzione, ha per derivata la delta di Dirac; tuttavia H,
come funzione, non ha derivata debole in quanto δ non è una distribuzione
regolare.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 67
Proposizione 4.18 Se f n → f in D ′ (Ω), allora ∇ α f n → ∇ α f in D ′ (Ω) per
ogni multi-indice α.
Dimostrazione Per ogni ϕ ∈ D(Ω) si ha
〈∇ α f n ,ϕ〉 = (−1) |α| 〈f n ,∇ α ϕ〉 → (−1) |α| 〈f,∇ α ϕ〉 = 〈∇ α f,ϕ〉,
il che prova l’asserto.
□
Quindi possiamo dire, ad esempio, che ∇ α g σ → ∇ α δ per σ → 0 + (dove g σ è,
come la solito, la Gaussiana).
La definizione di derivata di una distribuzione è stata data “scaricando” l’operazione
di derivazione sulle funzioni test, ovvero tramite quella che si chiama
una identità aggiunta. Supponiamo che T rappresenti una certa operazione che
ha senso per le normali funzioni (o almeno per un sottoinsieme di esse) e che
vogliamo estendere alle distribuzioni. Se riusciamo a individuare S tale che, per
ogni ϕ funzione test, valga
∫ ∫
(Tu)(x)ϕ(x)dx = u(x)(Sϕ)(x)dx
Ω
(detta appunto “identità aggiunta”), allora si può provare a definire Tf, per
ogni distribuzione f, ponendo
Ω
〈Tf,ϕ〉 := 〈f,Sϕ〉.
La condizione per poter far ciò è che Sϕ sia ancora una funzione test. Nel caso
dell’operazione di derivazione T = ∇ α e S = (−1) |α| ∇ α .
Un altro esempio di definizione che si basa su un’identità aggiunta è dato dalla
traslazione di una distribuzione. La traslazione di una funzione è un’operazione
“puntuale”,
(T a u)(x) = u(x−a),
che ovviamente non può essere trasferita così com’è alle distribuzioni. Tuttavia,
se u ∈ L 1 loc (RN ) e a ∈ R N , si ha
∫ ∫
u(x−a)ϕ(x)dx = u(x)ϕ(x+a)dx,
R N R N
che è un’identità aggiunta. Osservando che T −a ϕ ∈ D(R N ), possiamo definire
la traslata di una qualunque distribuzione f ∈ D ′ (R N ) come
Se ad esempio trasliamo la δ otteniamo
〈T a f,ϕ〉 := 〈f,T −a ϕ〉, ϕ ∈ D(R N ). (4.9)
〈T a δ,ϕ〉 = 〈δ,T −a ϕ〉 = ϕ(a).
La delta di Dirac traslata di a (si dice più spesso “centrata” in a) si indica con
δ a . Utilizzando la notazione di tipo “pseudofunzione” per la δ (osservazione
4.10), l’azione della delta traslata si scrive così:
∫
R N δ(x−a)ϕ(x)dx = ϕ(a).

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 68
Osserviamo quindi che il valore di ϕ nel punto a si ottiene come “convoluzione”
di ϕ con δ (la formula di convoluzione con la delta sarà introdotta da un punto
di vista rigoroso più avanti).
Un altro esempio di definizione tramite identità aggiunta è l’operazione di
moltiplicazione di una distribuzione f per una funzione ϑ : Ω → C. Poiché
chiaramente si ha
∫ ∫
(ϑu)(x)ϕ(x)dx = u(x)(ϑϕ)(x)dx,
Ω
Ω
possiamo pensare di definire, per ogni f ∈ D ′ (Ω),
〈ϑf,ϕ〉 = 〈f,ϑϕ〉, ϕ ∈ D(Ω). (4.10)
Tuttavia bisogna stare attenti che ϑ sia tale che ϑϕ ∈ D(Ω) per ogni ϕ ∈ D(Ω).
Si dimostra facilmente che se ϑ è una funzione C ∞ , allora ϑf ∈ D(Ω) e la (4.10)
definisce effettivamente una distribuzione.
Esercizio 4.19 Dimostrare che T a f e ϑf sopra definite (con ϑ ∈ C ∞ (Ω)) sono
distribuzioni.
Proposizione 4.20 Sia ϑ ∈ C ∞ (Ω) e sia x 0 ∈ Ω uno zero di ϑ di molteplicità
n + 1 (ovvero ϑ e tutte le sue derivate fino all’ordine n si annullano in x 0 ).
Allora l’equazione
ϑf = 0
ammette le soluzioni distribuzionali
f = ∑
|α|≤n
con d α coefficienti complessi arbitrari.
d α ∇ α δ x0 ,
Dimostrazione Verifichiamo che ∇ α δ x0 è soluzione se |α| ≤ n. Per ogni
funzione test ϕ, dalle definizioni (4.7) e (4.10) otteniamo
〈ϑ∇ α δ x0 ,ϕ〉 = 〈∇ α δ x0 ,ϑϕ〉 = (−1) |α| ∇ α (ϑϕ)(x 0 ).
D’altra parte
∇ α (ϑϕ)(x 0 ) = ∑ γ≤α
( α
γ)
∇ γ ϑ(x 0 )∇ α−γ ϕ(x 0 )
che è uguale a zero per ipotesi.
□
4.3 Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate
Consideriamo la seguente proprietà della trasformazione di Fourier (la cui dimostrazione
è lasciata per esercizio).

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 69
Proposizione 4.21 Se u,ϕ ∈ L 1 (R N ), allora ûϕ, uˆϕ ∈ L 1 (R N ) e vale l’identità
∫ ∫
û(x)ϕ(x)dx = u(x) ˆϕ(x)dx. (4.11)
R N R N
Seguendo l’idea della definizione data per “identità aggiunta”,vista nel paragrafo
precedente, la (4.11) sembra indicare la strada per definire la trasformata di
Fourier di una distribuzione f mediante la formula “〈ˆf,ϕ〉 = 〈f, ˆϕ〉”. Tuttavia
si incontra subito una difficoltà: se ϕ ∈ D(R N ), non è detto che ˆϕ stia ancora
in D(R N ), 4 per cui non ha senso scrivere l’azione di f su ϕ. Lo spazio delle
funzioni test è troppo restrittivo (e di conseguenza quello delle distribuzioni
troppo largo) per poter definire la trasformata di Fourier di una distribuzione.
Un buono spazio di funzioni test per questo scopo deve essere invariante sotto
trasformazione di Fourier. Ricordando i risultati del capitolo precedente, è
naturale pensare di ricorrere alle funzioni di Schwartz.
Nel capitolo precedente abbiamo definito lo spazio di Schwartz (definizione 3.8)
e la convergenza in tale spazio (definizione 3.9). Osserviamo che se ϕ n → ϕ in
D(R N ), allora ϕ n → ϕ in S(R N ), poiché supp(ϕ n −ϕ) ⊂ K, con K compatto,
e quindi |x α ∇ β (ϕ n −ϕ)| ≤ M α |∇ β (ϕ n −ϕ)|, e inoltre ∇ β ϕ n (x) → ∇ α ϕ(x)
uniformemente (ricordare la definizione 4.1). Dunque non solo D(R N ) ⊂ S(R N )
ma si può anche dire che l’inclusione è continua.
Definizione 4.22 Una distribuzione temperata (o “a crescita lenta”) su R N è
un funzionale lineare e continuo su S(R N ) ovvero una funzione f : S(R N ) → C
tale che
1. f(aϕ+bψ) = af(ϕ)+bf(ψ) per ogni ϕ,ψ ∈ S(R N ) e a,b ∈ C;
2. se ϕ n → ϕ in S(R N ), allora f(ϕ n ) → f(ϕ) in C. □
Lo spazio delle distribuzioni temperate si indica con S ′ (R N ) 5 . Anche in questo
caso l’azione di f su ϕ si può indicare con 〈f,ϕ〉.
Proposizione 4.23 Una distribuzione temperata è una distribuzione, cioè si
ha S ′ (R N ) ⊂ D ′ (R N ).
Dimostrazione Se f ∈ S ′ (R N ), chiaramente, f è un funzionale lineare su
D(R N ) ⊂ S(R N ). Se, inoltre, ϕ n → ϕ in D(R N ) allora, come abbiamo detto, si
haancheϕ n → ϕinS(R N ). Mapoichéf ∈ S ′ (R N ) si haallora〈f,ϕ n 〉 → 〈f,ϕ〉,
e dunque f è continuo su D(R N ).
□
Possiamo riassumere quanto detto finora dicendo che valgono le relazioni
D(R N ) ⊂ S(R N ) ⊂ S ′ (R N ) ⊂ D ′ (R N ). (4.12)
Osserviamocheladistinzionedistribuzioniregolari/singolariètrasversalerispetto
alladistinzione temperate/non-temperate. Ad esempio, e x2 èunadistribuzione
regolare ma non temperata , poiché ∫ +∞
−∞ ex2 ϕ(x)dx non è necessariamente
4 Anzi, si può dimostrare che non è possibile che ϕ e ˆϕ stiano entrambe in D(R N ).
5 Si tratta infatti del duale dello spazio vettoriale topologico S(R N )

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 70
convergenteseϕèunafunzionedi Schwartz(siprendaadesempioϕ(x) = e −x2 ).
Viceversa, ci sono distribuzioni singolari che sono anche temperate (ad esempio
la δ e tutte le sue derivate).
Esercizio 4.24 Dimostrare che la distribuzione f = ∑ ∞
n=0 en δ n è singolare e
non temperata.
Vediamo ora una condizione sufficiente affinché una distribuzione regolare sia
temperata.
Proposizione 4.25 Se u ∈ L 1 loc (RN ) è tale che
u(x)
(
1+|x|
2 ) m ∈ L 1 (R N ),
per un qualche m = 0,1,2,..., allora f u è una distribuzione temperata.
Dimostrazione Sia ϕ ∈ S(R N ). Possiamo scrivere
∫
∫
∣ u(x)ϕ(x)dx
∣ ≤ |u(x)|
(
2 ) (
2 ) m
m 1+|x| |ϕ(x)|dx
R N 1+|x|
R N
≤ ‖ ( 1+|x| 2) m
ϕ‖∞
∫
R N
|u(x)|
(
1+|x|
2 ) m dx < +∞
e perciò l’azione di f u è ben definita. Vediamo la continuità (basterà far vedere
che 〈f u ,ϕ n 〉 → 0 se ϕ n → 0 in S(R N )). Per una tale successione ϕ n si ha
(
2 ) m
1 + |x| ϕn (x) → 0 uniformemente (infatti ( 1 + |x| 2) m
è un polinomio di
grado 2m in x 1 ,x 2 ,...x n ). Dunque, con gli stessi passaggi precedenti, si avrà
∫
∣ u(x)ϕ n (x)dx
∣ ≤ ‖( 1+|x| 2) ∫
m
ϕn ‖ ∞
R N
R N
|u(x)|
(
1+|x|
2 ) m dx → 0
per n → +∞.
□
Corollario 4.26 Se u ∈ L 1 loc (RN ) è tale che
u(x)
lim
|x|→∞ |x| M = 0
per un qualche M = 0,1,2,..., allora f u è una distribuzione temperata.
Dimostrazione Esiste R > 0 tale che |u(x)| ≤ |x| M per ogni |x| > R. Sicuramente
esiste m sufficientemente grande affinché |x| M / ( 1+|x| 2) m
, e quindi
a maggior ragione u(x)/ ( 1 + |x| 2) m
, sia integrabile in |x| > R. D’altra parte,
u(x)/ ( 1+|x| 2) m
è certamente integrabile in |x| ≤ R. Pertanto si può applicare
la proposizione precedente.
□
Le distribuzioni temperate sono importanti perché, come anticipato nella discussione
iniziale, se ne può definire la trasformata di Fourier. Osserviamo

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 71
innanzitutto che se u ∈ L 1 (R N ) allora sia f u che fû sono distribuzioni temperate.
Infatti, u è una distribuzione temperata per la proposizione 4.25 e û è una
distribuzione temperata per il corollario 4.26 e la proposizione 3.3. La formula
(4.11) con u ∈ L 1 (R N ) e ϕ ∈ S(R N ) è stavolta una buona identità aggiunta (ricordiamo
che ˆϕ ∈ S(R N ) per la proposizione 3.10a) che ci permette di definire
la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata.
Definizione 4.27 Sia f ∈ S ′ (R N ). Definiamo la trasformata di Fourier ˆf
come la distribuzione temperata data da
〈ˆf,ϕ〉 = 〈f, ˆϕ〉, ϕ ∈ S(R N ). (4.13)
Naturalmentedobbiamoverificareche ˆf cosìdefinitaèdavverounadistribuzione
temperata:
1. è ben definita (in quanto ˆϕ ∈ S(R N ) per la proposizione 3.10a) e lineare;
2. se ϕ n → ϕ in S(R N ), allora ˆϕ n → ˆϕ (proposizione 3.10b) e dunque
〈ˆf,ϕ n 〉 = 〈f, ˆϕ n 〉 → 〈f, ˆϕ〉 = 〈ˆf,ϕ〉,
il che significa che ˆf è un funzionale continuo su S(R N ).
Estendiamo la notazione F : S ′ (R N ) → S ′ (R N ), Ff := ˆf, per indicare la trasformazione
di Fourier sullo spazio delle distribuzioni temperate. Se definiamo
〈F ∗ f,ϕ〉 = 〈f,F ∗ ϕ〉, ϕ ∈ S(R N ),
si vede facilmente, usando le analoghe proprietà della trasformazione di Fourier
sullefunzionidiSchwartz,cheF ∗ Ff = FF ∗ f = f,percuiF ∗ = F −1 epertanto
la trasformazione di Fourier sulle distribuzioni temperate è invertibile.
Si dimostra anche facilmente che F è continua (rispetto all’ovvia nozione di
convergenza delle distribuzioni temperate).
Prima di passare agli esempi occorre definire la moltiplicazione di una distribuzione
temperata per una funzione.
Definizione 4.28 Sia ϑ ∈ C ∞ (R N ) una funzione tale che per ogni multi-indice
α esitono M α ≥ 0 e m α = 0,1,2,... tali che
|∇ α ϑ(x)| ≤ M α (1+|x| 2 ) mα , x ∈ R N .
Se f ∈ S ′ (R N ) definiamo la distribuzione temperata ϑf come
〈ϑf,ϕ〉 = 〈f,ϑϕ〉, ϕ ∈ S(R N ).
Esercizio 4.29 Dimostrare che ϑf è effettivamente una distribuzione temperata.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 72
Esempio 4.30 (Trasformata di Fourier della delta di Dirac) Calcoliamo
la trasformata di Fourier della distribuzione δ. Per ogni ϕ ∈ S(R N ) si ha
〈ˆδ,ϕ〉 = 〈δ, ˆϕ〉 = ˆϕ(0) = c N
∫R N ϕ(x)dx.
Perciò ˆδ è la distribuzione regolare costante c N :
Consideriamo ora la delta traslata δ a . Si ha:
ˆδ = c N . (4.14)
〈̂δ a ,ϕ〉 = 〈δ a , ˆϕ〉 = ˆϕ(a) = c N
∫R N e −ix·a ϕ(x)dx,
perciò
̂δ a = c N e −ix·a . (4.15)
Esempio 4.31 (Trasformata di Fourier di e ix·a ) Poiché la trasformazione
di Fourier è invertibile su S ′ (R N ), possiamo usare la formula precedente per
ricavare la trasformatadella funzione e ix·a . Applicando F ∗ a entrambi i membri
della (4.15) (e ricordando le relazioni (3.23)) si ottiene
per cui
δ a = c N F ∗ e −ix·a = c N FJe −ix·a = c N Fe ix·a ,
̂ e ix·a = δ a /c N (4.16)
(naturalmente la setssa conclusione poteva essere ottenuta anche con un calcolo
diretto con la definizione (4.13), provare per esercizio). In particolare, la
trasformata di Fourier della funzione costante 1 è
̂1 = δ/c N . (4.17)
Osserviamo che c N F e ik·x = δ x è la veste rigorosa del’uguaglianza
∫
1
(2π) N e ik·(x−y) dx = δ(x−y)
R N
incontrata euristicamente nell’osservazione 3.22. Limitandoci al caso unidimensionale
osserviamo anche che, posto
{
1, se |x| ≤ R,
χ R (x) =
0, se |x| > R,
si ha χ R → 1 in S ′ (R) (infatti 〈χ R ,ϕ〉 = ∫ R
−R ϕ(x)dx → ∫ +∞
ϕ(x)dx = 〈1,ϕ〉)
−∞
e pertanto ̂χ R → ˆ1 = √ 2πδ, cioè
1
2π
∫ +R
−R
e ik·x dx = 1 π 2 sin(Rk)
k
→ δ.
Dunque l’“integrale” 1
2π
∫ +∞
−∞ eik·x dx = δ(x) si può vedere anche come limite
(nel senso delle distribuzioni) di integrali su |x| ≤ R (analoghe considerazioni si
possono fare anche a dimensione N).

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 73
Esempio 4.32 (Relazione fra serie e trasformata di Fourier) Supponiamo
che f : R → C sia una funzione T-periodica e di classe L 1 (0,T) (e perciò
anche L 1 loc (R)). Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier di f
f(x) = ∑ n∈Z
f n e i2π T nx
e la formula (4.16) si ottiene
̂f = √ 2π ∑ n∈Zf n δ2nπ
T . (4.18)
Questa identità ci dice che la trasformata di Fourier di una funzione periodica
è “concentrata” nei punti (del cosiddetto “reticolo reciproco”) 2nπ/T, n ∈ Z.
La serie di Fourier è interpretabile come la formula di inversione di questa trasformata.
Dunque la teoria delle distribuzioni permette di unificare la teoria
di serie e trasformata di Fourier: la prima può essere interpretata come caso
particolare della seconda quando le funzioni che si trasformano sono periodiche.
Esempio 4.33 (Trasf. di Fourier della funzione di Heaviside) Consideriamo
intanto la trasformata di Fourier della funzione segno (cfr. nota a pag. 114).
Per ogni ϕ ∈ S(R) si ha
〈ŝgn,ϕ〉 = 〈sgn, ˆϕ〉 = c 1
∫ +∞
−∞
∫ R
{∫ +∞
= lim c 1 sgn(k)
R→+∞ −R −∞
∫ {
+∞ ∫ R
= lim
R→+∞ c 1
−∞
2c 1
= lim
R→+∞ i
ϕ(x)
∫ +∞
−∞
{∫ +∞
}
sgn(k) ϕ(x)e −ik·x dx dk
−∞
}
ϕ(x)e −ik·x dx dk
sgn(k)e −ik·x dk
−R
ϕ(x) 1−cos(Rx)
x
dove si è dovuto introdurre il limite su R per poter applicare il teorema di
Fubini. Poiché ϕ è differenziabile, possiamo scrivere
ϕ(x) = ϕ(0)+xϕ 1 (x)
con ϕ 1 continua (infatti ϕ(x) = ϕ(0) + xϕ ′ (0) + r(x) con r(x) infinitesimo di
ordine superiore a x). Introduciamo perciò un α > 0 arbitrario e scriviamo
∫
|x|≤α
∫ +∞
−∞
ϕ(x) 1−cos(Rx)
x
(ϕ(0)+xϕ 1 (x)) 1−cos(Rx)
x
( ∫
dx =
|x|≤α
dx+
+
∫
|x|>α
∫
|x|>α
dx,
}
dx,
)
ϕ(x) 1−cos(Rx) dx =
x
ϕ(x)
x dx− ∫
|x|>α
ϕ(x)
x
cos(Rx)dx.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 74
Poiché la funzione 1−cos(Rx)
x
è integrabile e dispari si ha
∫
(ϕ(0)+xϕ 1 (x)) 1−cos(Rx) ∫
dx = ϕ 1 (x)dx−
x
|x|≤α
|x|≤α
∫
|x|≤α
ϕ 1 (x)cos(Rx)dx.
Il primo integrale può essere reso piccolo a piacere prendendo α abbastanza
piccolo (indipendentemente da R). Il secondo tende a zero per R → ∞ per il
lemma di Riemann-Lebesgue (Lemma 3.2). Per lo stesso motivo (osservando
che ϕ(x)/x è integrabile per |x| > α) si ha che
lim
∫
R→+∞
|x|>α
ϕ(x)
x
cos(Rx)dx = 0.
In definitiva si ha
lim
R→+∞
∫ +∞
−∞
ϕ(x) 1−cos(Rx)
x
dx =
∫
|x|≤α
ϕ 1 (x)dx+
∫
|x|>α
ϕ(x)
x dx
e, facendo tendere α a 0 si ottiene
2c 1
〈ŝgn,ϕ〉 = lim
α→0 i
∫
|x|>α
ϕ(x)
x
dx. (4.19)
Possiamo dunque affermare che il membro di destra di questa equazione è una
distribuzione (temperata) che è data da un’integrazione nel senso del “valore
principale”. Chiamiamo v.p. 1 x
la distribuzione singolare6
〈v.p. 1 ∫
ϕ(x)
,ϕ〉 := lim
x α→0
|x|>α x dx.
e scriviamo perciò
ŝgn = 2c 1
i
v.p. 1 x = 2
i √ 2π v.p.1 x . (4.20)
Per calcolarela trasformatadella funzione di Heaviside (definizione (4.8)), basta
osservare che
H(x) = sgn(x)+1
2
e quindi, ricordando la (4.17),
Ĥ = ŝgn+ˆ1
2
= c 1
i v.p.1 x + δ √ ( ) π 1
=
2c 1 2 iπ v.p.1 x +δ . (4.21)
Capita frequentemente che venga omessa la notazione “v.p.” per cui si parla
della “distribuzione 1 x ” intendendo v.p.1 x .
6 Che v.p. 1 sia una distribuzione segue dal fatto che, a meno di una costante moltiplicativa,
x
è la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata; naturalmente si può fare anche
una dimostrazione diretta (provare per esercizio). Che v.p. 1 sia singolare segue dal fatto che
x
se v.p. 1 x = fu allora risulta u(x) = 1/x quasi ovunque, ma 1/x /∈ L1 loc (R).

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 75
A suo tempo abbiamo visto il comportamento della trasformazione di Fourier
rispetto alla derivazione (proposizione 3.7). Vediamo se formule analoghe valgono
anche per le distribuzioni temperate. Cominciamo dal caso unidimensionale:
se f ∈ S ′ (R) e D = d
dx
allora, per ogni ϕ ∈ S(R), si può scrivere
〈̂Df,ϕ〉 = 〈Df, ˆϕ〉 = −〈f,Dˆϕ〉 = 〈f,îxϕ〉 = 〈ˆf,ixϕ〉 = 〈ixˆf,ϕ〉
e dunque
̂Df = ixˆf.
Inoltre
〈̂xf,ϕ〉 = 〈xf, ˆϕ〉 = 〈f,xˆϕ〉 = 〈f, ̂−iDϕ〉 = 〈ˆf,−iDϕ〉 = 〈iDˆf,ϕ〉
e dunque
̂xf = iDˆf.
Dunque ritroviamo per le distribuzioni le stesse formule trovate per le funzioni.
Più in generale è facile dimostrare il seguente risultato.
Proposizione 4.34 Per ogni f ∈ S ′ (R N ) e per ogni multi-indice α si ha
̂∇ α f = (ix) α ˆf, ̂xα f = (i∇) α ˆf. (4.22)
Esempio 4.35 Ricordando gli esempi 4.30 e 4.31 si calcolano facilmente le
trasformate di Fourier:
• delle derivate della delta di Dirac: ̂∇α δ = c N (ix) α
• dei monomi: ̂x α = ̂x α 1 = (i∇) α̂1 = (i∇) α δ/c N .
Ad esempio, la trasformata di un polinomio p(x) = p 0 +p 1 x+···+p m x m è una
distribuzione che dà una combinazione lineare di derivate nell’origine:
〈ˆp,ϕ〉 = p(iD)ϕ(0)/c 1 = √ (
)
2π p 0 ϕ(0)+ip 1 ϕ ′ (0)+···+i m p m ϕ (m) (0) .
Esercizio 4.36 Ricordando che H ′ = δ (Esempio 4.17), verificare che Ĥ′ =
ˆδ = c 1 utilizzando (4.21) e (4.22).
Un’altra importante caratteristica della trasformazione di Fourier sulle funzioni
èquelladilegareprodottieconvoluzioni(proposizioni3.12e3.20). Concludiamo
perciò la nostra discussione sulle distribuzioni mostrando che tale caratteristica
continua a valereanche per la trasformazionedi Fourierdi distribuzioni. Poiché,
per u, ψ e ϕ integrabili, vale l’identità aggiunta
∫
∫
(u∗ψ)(x)ϕ(x)dx = u(y)ψ(x−y)dyϕ(x)dx
R
∫R N N R N
∫ ∫
∫
= u(y) ψ(x−y)ϕ(x)dxdy = u(y)(Jψ ∗ϕ)(y)dy,
R N R N R N
possiamo allora dare la seguente definizione.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 76
Definizione 4.37 Sia f ∈ S ′ (R N ) una distribuzione temperata e ψ ∈ S(R N )
una funzione di Schwartz. Definiamo la convoluzione di f con ψ come la
distribuzione temperata f ∗ψ definita da
dove ricordiamo che Jψ(x) = ψ(−x).
〈f ∗ψ,ϕ〉 = 〈f,Jψ ∗ϕ〉, ϕ ∈ S(R N ), (4.23)
Esercizio 4.38 Dimostrare che, effettivamente, f ∗ψ ∈ S ′ (R N ).
Anche per le distribuzioni vale un analogo della formula (3.15), ovvero la trasformazione
di Fourier manda convoluzioni in prodotti. Infatti, ricordando le
identità (3.23) e (3.24), per ogni f ∈ S ′ (R N ) e ψ,ϕ ∈ S ′ (R N ) possiamo scrivere
〈F(f ∗ψ),ϕ〉 = 〈f ∗ψ,Fϕ〉 = 〈f,Jψ ∗Fϕ〉 = 〈f,F 2 ψ ∗Fϕ〉
= c −1
N
〈f,F(Fψϕ)〉 = c−1
N
〈Ff,Fψϕ)〉 = c−1
N 〈FψFf,ϕ〉.
Notiamo che nell’ultimo passaggio si è usata la definizione 4.28. Si ha dunque
c N ̂f ∗ψ = ˆψ ˆf, f ∈ S ′ (R N ), ψ ∈ S(R N ). (4.24)
Esercizio 4.39 Dimostrare che vale anche la formula inversa
̂ψf = c N ˆf ∗ ˆψ, f ∈ S ′ (R N ), ψ ∈ S(R N ). (4.25)
Osservazione 4.40 C’è un altro modo, più diretto, di vedere la convoluzione
tra f e ψ. Se f fosse una normale funzione potremmo scrivere
∫ ∫
(f ∗ψ)(x) = f(y)ψ(x−y)dy = f(y)(T x Jψ)(y)dy.
R N R N
Perciò possiamo pensare di definire la convoluzione tra f (distribuzione) e ψ
(funzione di Schwartz) come la funzione.
(f ∗ψ)(x) = 〈f,T x Jψ〉, x ∈ R N (4.26)
(notare che questa espressione ha senso per ogni f ∈ S ′ (R N ) e ψ ∈ S(R N )).
Si può dimostrare che le due definizioni coincidono, ovvero che la distribuzione
temperata f ∗ ψ (definizione (4.23)) è regolare e coincide con la funzione (f ∗
ψ)(x) (definizione (4.26)).
Per la delta di Dirac si ottiene, usando la definizione (4.26),
(δ ∗ψ)(x) = 〈δ,T x Jψ〉 = (T x Jψ)(y) |y=0 = ψ(x).
Abbiamo perciò dimostrato che la convoluzione di una funzione ψ ∈ S(R N ) con
la δ restituisce la funzione stessa:
δ ∗ψ = ψ (4.27)
(provare per esercizio a ricavare la stessa formula utilizzando la definizione
(4.23)). Si tratta della versione rigorosa della formula euristica
∫
R N δ(x−y)ψ(y)dy = ψ(x).

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 77
4.4 Soluzione dell’equazione di Poisson
Consideriamo l’equazione di Poisson in R 3
∆u(x) = −q(x), x ∈ R 3 , (4.28)
dove q è una funzione assegnata, sufficientemente regolare. Dal punto di vista
fisico, tale equazioneèsoddisfattadaun potenzialeelettostaticoogravitazionale
u, in presenza di una distribuzione q di cariche o masse. 7
Usando formalmente la trasformazione di Fourier per risolvere la (4.28) otteniamo
|k| 2 û(k) = ˆq(k), k ∈ R 3 , (4.29)
da cui 8 û(k) = ˆq(k)/|k| 2
e quindi, antitrasformando,
u = c 3 F ∗ (1/|k| 2 )∗q. (4.30)
Tuttavia, ricordando che ∫ f(|k|)dk = 4π ∫ +∞
f(ρ)ρ 2 dρ, si ha
R 3 0
∫
∫
1 +∞
R 3 |k| 2α dk = 4π 0
1
ρ 2(α−1)dρ,
che non converge per nessun valore di α. Dunque la funzione 1/|k| 2 non sta né
in L 1 (R 3 ) né in L 2 (R 3 ) (ma per α = 1 si vede chiaramente che sta in L 1 loc (R3 ))
e quindi la sua trasformata di Fourier può essere intesa solo nel senso delle distribuzioni
temperate. Vediamoalloradi calcolareF ∗ (1/|k| 2 ) comedistribuzione
temperata. Per ogni ϕ ∈ S(R 3 ) possiamo scrivere
∫ ∫
〈F ∗ (1/|k| 2 ),ϕ〉 = 〈1/|k| 2 ,F ∗ 1
ϕ〉 = c 3
R 3 |k| 2 e ik·x ϕ(x)dxdk
R 3
∫
lim c 3
R→∞ |k|

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 78
diretta lungo la direzione individuata da x. In questo riferimento |k| = ρ e
k ·x = ρ|x|cosθ, e dunque
∫
e ik·x ∫ R ∫ π ∫ 2π
|k| 2 dk = e iρ|x|cosθ sinθdφdθdρ
dove si è posto
|k|

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 79
Osservazione 4.41 Se prendiamo q = δ otteniamo u = Φ ∗ δ = Φ. Dunque
la soluzione fondamentale Φ è la soluzione dell’equazione di Poisson quando
la sorgente q è una delta di Dirac. Questo è coerente col fatto che, da un
punto di vista fisico, Φ è proprio il potenziale coulombiano generato da una
carica puntiforme positiva posta nell’origine. La soluzione (4.33) si può dunque
interpretare come il risultato della sovrapposizione dei potenziali coulombiani
generati in ogni punto y dello spazio dalla carica infinitesima q(y)dy.
Osservazione 4.42 Con un metodo simile a quello appena visto nel caso N =
3, si può risolvere l’equazione di Poisson anche in R N , con N ≥ 1, e risulta che
la soluzione è data dalla convoluzione con la soluzione fondamentale
⎧
− 1 |x|, se N = 1,
2
⎪⎨
Φ(x) = − 1 log|x|, se N = 2, (4.34)
2π
1
⎪⎩
(N −2)ω N |x| N−2, se N ≥ 3,
dove ω N è la misura della superficie della sfera unitaria in R N , data dalla (A.4).
4.5 Soluzione dell’equazione delle onde in R 3 e
in R 2
Ricordiamo che la soluzione dell’equazione delle onde in R N , con dati di Cauchy
ϕ e ψ, ha la forma
( ) sinc|k|t
u(x,t) = c N F ∗ (cosc|k|t)∗ϕ+c N F ∗ ∗ψ. (4.35)
c|k|
Per scrivere esplicitamente la soluzione dobbiamo antitrasformare le funzioni
cos(c|k|t)esin(c|k|t)/c|k|, ilchepuòesserefattosolonelsensodelledistribuzioni
temperate (è chiaro che tali funzioni non sono né L 1 né L 2 ma sono distribuzioni
temperate).
Cominciamo col caso N = 3. Per ogni R > 0 e ϕ ∈ S(R 3 ), definiamo la
distribuzione
〈Σ R ,ϕ〉 = 1
4πR
∫∂B(0,R)
2 ϕ(x)dσ = 1 ∫ 2π
4πR 2 0
∫ π
0
˜ϕ(R,θ,φ)R 2 sinθdθdφ,
dove dσ indica l’elemento di suprficie. Si verifica facilmente che Σ R è una distribuzione
temperata; tale distribuzione restituisce la media di ϕ sulla superficie
della sfera di centro l’origine e raggio R, indicata con B(0,R). Vogliamo ora
calcolare la trasformata di Fourier di Σ R . Si ha
〈̂Σ R ,ϕ〉 = 〈Σ R , ̂ϕ〉 = 1
4πR
∫∂B(0,R)
2 ̂ϕ(k)dσ

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 80
= c ∫
3
4πR
∫∂B(0,R)
2 ϕ(x)e −ik·x dxdσ = c ∫ ∫
3
R 4πR 2 ϕ(x) e −ik·x dσdx
3 R 3 ∂B(0,R)
(notiamo che, a differenza di quanto fatto nel paragrafo precedente, qui si è
potuto applicare direttamente il teorema di Fubini). Calcoliamo l’integrale più
interno usandoun sistemadi coordinatepolaricon assepolarelungo ladirezione
di x:
∫
∂B(0,R)
e −ik·x dσ =
∫ 2π ∫ π
0
0
e −iR|x|cosθ R 2 sinθdθdφ = 4πR2
R|x|
sinR|x|
e perciò otteniamo
〈̂Σ R ,ϕ〉 = c 3
∫
ϕ(x) sinR|x|
R R|x|
3
dx
e quindi ̂Σ R è la distribuzione temperata regolare
Invertendo la trasformazione si ottiene
e dunque
F ∗ ( sinc|k|t
c|k|
)
sinR|x|
̂Σ R (x) = c 3 .
R|x|
F ∗ ( sinR|x|
R|x|
)
= 1 Σ R
c 3
( ) ( )
sinc|k|t sinc|k||t|
= tF ∗ = tF ∗ = t Σ c|t| ,
c|k|t c|k||t| c 3
che ci permette di calcolare il secondo termine della (4.35):
( ) sinc|k|t
c 3 F ∗ ∗ψ = tΣ c|t| ∗ψ.
c|k|
Cosa significa questa formula? Si tratta della convoluzione della distribuzione
temperata tΣ c|t| con la funzione ψ. Ricordando la (4.26), Σ R ∗ψ è la funzione
(Σ R ∗ψ)(x) = 〈Σ R ,T x Jψ〉 = 1
4πR
∫∂B(0,R)
2 (Jψ)(y −x)dσ y
= 1
4πR
∫∂B(0,R)
2 ψ(x−y)dσ y = 1
4πR
∫∂B(x,R)
2 ψ(y)dσ y ,
ovverola media di ψ sulla superficie della sfera di raggio R e centro x. Possiamo
pertanto scrivere
( ) sinc|k|t
c 3 F ∗ ∗ψ(x) = 1 ∫
c|k| 4πc 2 ψ(y)dσ.
t ∂B(x,c|t|)
Per completare la soluzione basta osservare che
c 3 F ∗ (cosc|k|t)∗ϕ = ∂ ∂t c 3F ∗ ( sinc|k|t
c|k|
)
∗ϕ

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 81
per cui si ottiene la soluzione completa
(
u(x,t) = ∂ ∫ )
1
∂t 4πc 2 ϕ(y)dσ
t
∂B(x,c|t|)
+ 1 ∫
4πc 2 ψ(y)dσ. (4.36)
t ∂B(x,c|t|)
Per ottenere la soluzione nel caso N = 2 utilizziamo il cosiddetto “metodo della
discesa”: siano ϕ(x 1 ,x 2 ) e ψ(x 1 ,x 2 ) i dati iniziali per il problema in dimensione
2 e interpretiamolicome dati per il problemain dimensione 3, indipendenti dalla
terza coordinata x 3 . Scriviamo quindi la soluzione (4.36): se tale soluzione è
indipendente da x 3 , allora essa (come si può facilmente dimostrare) è soluzione
del problema bidimensionale.
Con questa strategia in mente, scriviamo dunque la (4.36) per ϕ = ϕ(x 1 ,x 2 ) e
ψ = ψ(x 1 ,x 2 ). Utilizzando le coordinate polari si ha
u(x,t) =
(
∂ t
∂t 4π
+ t
4π
∫ 2π ∫ π
0 0
∫ 2π ∫ π
0
0
)
ϕ(x 1 +c|t|sinθ cosφ, x 2 +c|t|sinθ sinφ) sinθdθdφ
ψ(x 1 +c|t|sinθ cosφ, x 2 +c|t|sinθ sinφ) sinθdθdφ,
(4.37)
che è effettivamente indipendente da x 3 e perciò è (almeno formalmente) la
soluzione dell’equazione delle onde a dimensione 2. Per esprimere la soluzione
in una forma più semplice osserviamoche, al variaredi θ in [0,π/2] e φ in [0,2π],
le variabili {
ξ1 = c|t|sinθ cosφ
ξ 2 = c|t|sinθ sinφ
descrivono il disco {ξ ∈ R 2 | |ξ| ≤ c|t|} mentre, se θ varia in [0,π], lo descrivono
due volte (infatti ξ 1 e ξ 2 sono le proiezioni sul disco nel piano (x 1 ,x 2 ) dei punti
descritti sulla sfera |ξ| ≤ c|t| dalle coordinate sferiche). La matrice Jacobiana
della trasformazione è
( )
∂(ξ 1 ,ξ 2 ) cosθ cosφ −sinθ sinφ
∂(θ,φ) = c|t| cosθ sinφ sinθ cosφ,
per cui
det ∂(ξ 1,ξ 2 )
∂(θ,φ) = (ct)2 cosθ sinθ,
det ∂(θ,φ)
∂(ξ 1 ,ξ 2 ) = 1
(ct) 2 cosθ sinθ .
Utilizzando questo cambio di variabili nella (4.37), osservando che ξ 2 1 + ξ2 2 =
(ct) 2 sin 2 θ, e ricordando che il disco unitario è percorso due volte dalla variabile
ξ = (ξ 1 ,ξ 2 ), si ottiene
u(x,t) = ∂ ∂t
∫
|ξ|≤c|t|
dove, naturalmente, x = (x 1 ,x 2 ).
ϕ(x+ξ) dξ
√
(ct) 2 −|ξ| 2 2πc
∫|ξ|≤c|t|
+ ψ(x+ξ) dξ
√
(ct) 2 −|ξ| 2 2πc , (4.38)

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 82
Notiamo la differenza qualitativa tra la soluzione tridimensionale e qualla bidimensionale.
Nel primo caso i dati iniziali si propagano lungo la superficie dei
coni |x| = c|t|, e infatti la (4.36) dipende dall’integrale dei dati iniziali sulla supercicie
di {x ∈ R 3 | |x| = c|t|}. PerN = 2, invece, l’influenzadei dati si estende
anche all’interno dei coni, e infatti la (4.38) dipende dall’integrale dei dati su
tutto l’insieme {x ∈ R 2 | |x| ≤ c|t|} (la stessa cosa si può dire anche per la
formula di D’Alembert in dimensione 1 ma solo per quanto riguarda il dato ψ).
Immaginiamouna perturbazione puntuale e istantanea, in un punto x all’istante
t = 0, e un osservatore posto in un altro punto y. In dimensione 3 l’osservatore
“sente” la perturbazione solo a quell’istante di tempo t 0 tale che |y −x| = ct 0 ,
essendo il segnale trasportato dal fronte d’onda sferico |y −x| = ct (è il cosiddetto
principio di Huygens). A dimensione 2 il principio di Hyuygens non vale:
l’osservatore sente la perturbazione a tutti i tempi t per cui |y −x| ≤ ct, ovvero
a tutti gli istanti successivi a t 0 .
La soluzione del problema di Cauchy per l’equazione delle onde in R N si può
ricavare esplicitamente per ogni N (cfr. ad esempio [3]) e si può vedere che il
principio di Huygens vale solo per N dispari e maggiore o uguale a 3.
4.6 Distribuzione delta periodica
Fissato T > 0, definiamo la distribuzione
δ T = ∑ m∈Zδ mT , (4.39)
ovvero
〈δ T ,ϕ〉 = ∑ m∈Zϕ(mT), ∀ ϕ ∈ D ′ (R).
Si verifichi per esercizio che δ T è una distribuzione temperata.
Consideriamo ora, per ogni ϕ ∈ S(R), la periodizzata di ϕ
ϕ T (x) := ∑ m∈Zϕ(x+mT), x ∈ R. (4.40)
Notiamo che ϕ T è T-periodica poiché
ϕ T (x+T) = ∑ m∈Z
ϕ(x+(m+1)T) = ∑ m∈Zϕ(x+mT) = ϕ T (x).
Se supp(ϕ) ⊂ (a,a+T), per un certo a, allora ϕ T è semplicemente l’estensione
periodica di ϕ a tutto R (notare che in questo caso un solo termine della serie
che definisce ϕ T (x) è non nullo). Notiamo anche che si può esprimere ϕ T come
l’azione su ϕ della traslata in x della delta periodica:
ϕ T (x) = 〈δx T ,ϕ〉. (4.41)
Poiché ϕ T è T-periodica, possiamo scrivere la sua serie di Fourier
ϕ T (x) = ∑ n∈Zϕ T n e i 2π T nx ,

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 83
dove i coefficienti di Fourier sono dati da
ϕ T n = 1 T
∫ T/2
−T/2ϕ T (y)e −i2π T ny dy = ∑ m∈Z
−∞
∫
1 T/2
ϕ(y +mT)e −i2π T ny dy
T −T/2
= ∑ ∫
1 T/2+mT
ϕ(z)e −i2π T n(z−mT) dy = ∑ ∫
1 T/2+mT
T
m∈Z
−T/2+mT
T
m∈Z
−T/2+mT
= 1 ∫ +∞
√ ( ) 2π 2πn
ϕ(z)e −i2π T nz dz = ˆϕ .
T
T T
ϕ(z)e −i 2π T nz dy
Notiamo che nel caso particolare in cui supp(ϕ) ⊂ (a,a + T) si ha ϕ T n = ϕ n
ovvero, come ci dovevamo aspettare, i coefficienti di Fourier della ϕ T coincidono
con quelli della ϕ. La serie di Fourier della ϕ T è dunque data da
ϕ T (x) = ∑ n∈Z
1
T
∫ +∞
−∞
ϕ(y)e i2π T n(x−y) dy. (4.42)
Confrontando questa espressione con la definizione ϕ T (x) = 〈δ T x,ϕ〉, si riconosce
che la distribuzione regolare
∆ (N)
x (y) := 1 T
N∑
n=−N
e i2π T n(y−x)
tende, nelsensodelle distribuzioni, alladistribuzioneδx T perN → ∞ (notareche
lafunzione∆ (N)
x (y) èsostanzialmenteilnucleodiDirichlet(1.8)). Inparticolare,
per x = 0, si ottiene
1 ∑
e i2π T ny = δ T , (4.43)
T
n∈Z
che naturalmente va intesa come limite distribuzionale di distribuzioni regolari
(funzioni di y). Possiamo interpretare questa relazione come lo sviluppo in serie
di Fourier della delta periodica, che è una “serie di Fourier” con coefficienti
costanti (tutti uguali a 1/T).
Osservazione 4.43 Utilizzando la notazione di tipo “pseudofunzione” per la
delta, la (4.39) si scrive
δ T (x) = ∑ m∈Zδ(x−mT)
e la (4.43)
Si ottiene così la formula
1
T
1
T
∑
∑
e i2π T nx = δ T (x).
n∈Z
n∈Ze i2π T nx = ∑ m∈Z
δ(x−mT), (4.44)
dalle importanti applicazioni come, ad esempio, lo studio della diffrazione a
raggi X da parte dei cristalli.

CAPITOLO 4. DISTRIBUZIONI 84
Osservazione 4.44 Usando (4.15), (4.41) e (4.43), la trasformata di Fourier
della distribuzione temperata δ T è data da
̂δ T = ∑ ̂δ mT = 1
√
∑ 2π
√ e −imTx =
m∈Z 2π T δ2π/T .
m∈Z

Capitolo 5
Semigruppi di operatori e
problemi di evoluzione
5.1 Semigruppi di operatori
Definizione 5.1 Sia X uno spazio di Banach e A : X → X un’applicazione
lineare (più comunemente detta “operatore” lineare). L’operatore A si dice
limitato se esiste M ≥ 0 tale che
‖Au‖ X
≤ M ‖u‖ X
, u ∈ X. (5.1)
Lo spazio vettoriale degli operatori lineari e limitati su X si indica con B(X).
La seguente Proposizione ci dice che la limitatezza è equivalente alla continuità.
Proposizione 5.2 Sia X uno spazio di Banach e A : X → X un operatore
lineare. Le seguenti proprietà sono equivalenti:
(a) A ∈ B(X);
(b) A è continuo;
(c) A è continuo in un punto u 0 ∈ X.
Dimostrazione Le implicazioni (a) ⇒ (b) e (b) ⇒ (c) sono evidenti; dimostriamo
quindi che (c) ⇒ (a).
Se per assurdo A /∈ B(X), allora per ogni M ≥ 0 esiste u ∈ X tale che
‖Au‖ > M‖u‖ Quindi è possibile costruire una successione u n ∈ X tale che
‖Au n ‖ > n‖u n ‖, ∀ n ∈ N.
Posto
si avrebbe quindi
w n = u n
n‖u n ‖ +u 0
‖w n −u 0 ‖ = 1 n ,
‖Aw n −Au 0 ‖ = Au n
n‖u n ‖ > 1
85

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 86
e quindi per n → ∞ si avrebbe w n → u 0 ma Aw n ↛ A 0 , contraddicendo la
continuità di A in u 0 .
□
Definizione 5.3 Se A ∈ B(X) si definisce
‖A‖ B(X)
= inf{M ≥ 0 | ‖Au‖ X
≤ M ‖u‖ X
, ∀u ∈ X}. (5.2)
Si dimostra facilmente che ‖Au‖ B(X) è una norma su B(X). Notiamo che per
ogni u ∈ X vale la disuguaglianza
che scriveremo più brevemente
‖Au‖ X
≤ ‖A‖ B(X)
‖u‖ X
, (5.3)
‖Au‖ ≤ ‖A‖‖u‖
qualora non ci sia possibilità di equivoco. Dalla continuità di A ∈ B(X) e dal
fatto che X è completo segue che B(X) (con la norma ‖·‖ B(X)
) è uno spazio
di Banach. In realtà si può dire qualcosa di più poiché B(X) è un’algebra (non
commutativa) rispetto all’operazione di composizione
(A◦B)u = A(Bu), A,B ∈ B(X), u ∈ X (5.4)
(che d’ora in poi denoteremo semplicemente con AB). L’algebra ha un’unità
che è l’operatore identità I ∈ B(X), definito da
Iu = u ∀u ∈ X.
Se A,B ∈ B(X), si vede facilmente (esercizio) che
‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖, (5.5)
il che implica che l’operazionedi composizione è continuain B(X). Si dice allora
che B(X) è un’algebra di Banach (con unità). 1
Definizione 5.4 Sia X uno spazio di Banach e R + = [0,+∞). Un semigruppo
fortemente continuo (o C 0 -semigruppo) su X è un’applicazione S : R + → B(X)
tale che
1) S(0) = I;
2) S(t+s) = S(t)S(s), per ogni t,s ≥ 0;
3) lim t→0 + ‖S(t)u−u‖ X
= 0, per ogni u ∈ X.
1 A dimensione finita (X = C N ) tutti gli operatori lineari sono limitati e B(X) è l’algebra
delle matrici N ×N.

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 87
Notiamo che si tratta di un omomorfismo del semigruppo con unità (R + ,+) nel
semigruppo con unità (B(X),◦). Il semigruppo (B(X),◦) non è commutativo,
ma il sotto-semigruppo {S(t) | t ≥ 0}, immagine di (R + ,+) tramite S, lo è. La
proprietà 3 è quella che si chiama continuità forte. Notiamo che la continuità
forte è più debole della continuità nella norma B(X), ovvero
lim
t→0 +‖S(t)−I‖ B(X) = 0,
che è detta continuità uniforme di S(t).
Proposizione 5.5 Se S è un C 0 -semigruppo, allora esistono M ≥ 0 e ω ∈ R
tali che
‖S(t)‖ ≤ M e ωt (5.6)
per ogni t ≥ 0.
Omettiamo la dimostrazione della proposizione 5.5. Dimostriamo invece il risultato
successivo: la continuità forte in t = 0 (proprietà 3) implica la continuità
forte a ogni t ≥ 0.
Proposizione 5.6 Se S è un C 0 -semigruppo e t 0 > 0, allora
per ogni u ∈ X.
lim ‖S(t)u−S(t 0 )u‖
t→t X
= 0
0
Dimostrazione Per ogni u ∈ X, usando le proprietà 1-3, possiamo scrivere
lim
h→0 +‖S(t 0 +h)u−S(t 0 )u‖ = lim
h→0 +‖S(h)S(t 0)u−S(t 0 )u‖ = 0
e inoltre (usando anche la proposizione precedente)
lim
h→0 + ‖S(t 0 −h)u−S(t 0 )u‖ = lim
h→0 + ‖S(t 0 −h)(S(h)u−u)‖
≤ lim
h→0 +Me(t0−h)ω ‖S(h)u−u‖ = 0.
Abbiamo perciò dimostrato la continuità forte da destra e da sinistra in t 0 . □
Definizione 5.7 Sia X uno spazio di Banach. Un gruppo fortemente continuo
(o C 0 -gruppo) su X è un’applicazione S : R → B(X) tale che
1) S(0) = I;
2) S(t+s) = S(t)S(s), per ogni t,s ∈ R;
3) lim t→0 ‖S(t)u−u‖ X
= 0, per ogni u ∈ X.
Si tratta perciò di un omomorfismodel gruppo (R,+) nel gruppo degli operatori
limitati invertibili. 2 Osserviamo che S(−t) = S(t) −1 . È immediato convincersi
che la restrizione di un C 0 -gruppo alla semiretta R + è un C 0 -semigruppo.
2 Un operatore A ∈ B(X) si dice invertibile se esiste B ∈ B(X) tale che AB = BA = I.
Tale B è detto inverso di A e viene denotato con A −1 .

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 88
5.2 Gruppo generato da un operatore limitato
Teorema 5.8 Sia X uno spazio di Banach e A ∈ B(X). Posto
S(t) :=
∞∑
k=0
t k
k! Ak , t ∈ R, (5.7)
risulta che S : R → B(X) è un gruppo uniformemente continuo, cioè
lim ‖S(t)−I‖
t→0
B(X)
= 0. (5.8)
Dimostrazione La serie ∑ ∞
k=0 tk
k! Ak converge totalmente in B(X), difatti:
∞∑
∥ ∥ tk ∥∥ ∑
∞
k! Ak ≤
k=0
k=0
|t| k
k!
‖A‖ k = e |t|‖A‖
e dunque S(t) ∈ B(X) per ogni t ∈ R. Dimostriamo che valgono le proprietà di
gruppo S(0) = I e S(t+s) = S(t)S(s), t,s ∈ R.
La prima proprietà è evidente in quanto per t = 0 la serie che definisce S si
riduce al primo termine.
Per dimostrare la seconda proprietà indichiamo con S n (t) la somma parziale
fino al termine n-esimo. Si ha
n∑ (t+s) k n∑ k∑
( k t
S n (t+s) = A k =
k! r) r s k−r
A k =
k!
n∑
r=0 k=r
k=0
n∑
( k t
r) r s k−r
A k =
k!
e, d’altra parte,
k=0 r=0
n∑
n−r
∑
( ) l+r t r s l
r (l+r)! Al+r =
r=0 l=0
S n (t)S n (s) =
n∑
n∑
r=0 l=0
per cui la differenza fra S n (t)S n (s) e S n (t+s) è
S n (t)S n (s)−S n (t+s) =
=
n∑
n+r
∑
r=1 k=n+1
n∑
n∑
r=1 l=n−r+1
t r s k−r
r!(k −r)! Ak =
t r sl
Ar
r! l! Al ,
t r sl
Ar
r! l! Al =
2n∑
n∑
k=n+1 r=k−n
n∑
n∑
n−r
∑
r=0 l=0
n∑
r=1 l=n−r+1
t r s k−r
r!(k −r)! Ak ,
t r sl
Ar
r! l! Al
t r s l
r!l! A(r+l)
dove la validità dell’ultima uguaglianza si può facilmente verificare nella figura
5.1. Dunque
≤
2n∑
k∑
k=n+1 r=0
‖S n (t)S n (s)−S n (t+s)‖ ≤
|t| r |s| k−r
r!(k −r)! ‖A‖k =
2n∑
k=n+1
2n∑
n∑
k=n+1 r=k−n
(|t|+|s|) k
‖A‖ k ≤
k!
|t| r |s| k−r
r!(k −r)! ‖A‖k
∞∑
k=n+1
(|t|+|s|) k
‖A‖ k .
k!

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 89
k
2n
k = n+r
n+1
1 n
r
Figura 5.1: La somma ∑ n
∑ n+r
r=1 k=n+1
corrisponde ai punti racchiusi dal triangolo
ombreggiato. Fissando prima k e facedo variare r è facile verificare che tale somma è
equivalente a ∑ 2n n
k=n+1∑
r=k−n .
L’ultimo termine della disuguaglianza, che è il resto di una serie esponenziale,
tende a zero per n → ∞, il che dimostra S(t+s) = S(t)S(s).
Dimostriamo ora la (5.8). Per t → 0 si ha
‖S(t)−I‖ =
∥
∞∑
k=1
Dunque, per ogni u ∈ X si ha
t k ∥ ∥∥
∑ ∞
k! Ak ≤
k=1
|t| k
k!
‖A‖ k = e |t|‖A‖ −1 → 0,
‖S(t)u−u‖ = ‖(S(t)−I)u‖ ≤ ‖S(t)−I‖‖u‖ → 0
per t → 0.
□
Il gruppo S(t) che abbiamo appena costruito, si dice generato da A. Si tratta di
un gruppo uniformemente continuo e quindi, come giàosservato, è in particolare
un C 0 -gruppo.
Teorema 5.9 Sia A ∈ B(X) e sia S(t) il gruppo generato da A. Per ogni
u 0 ∈ X, la funzione u : R → X,
u(t) := S(t)u 0 , t ∈ R,
è derivabile e soddisfa il “problema di Cauchy”
⎧
⎪⎨
d
u(t) = Au(t), t ∈ R,
dt
⎪⎩
u(0) = u 0 .
(5.9)
Dimostrazione Consideriamo la serie delle derivate
d t k
dt k! Ak = tk−1
(k −1)! Ak = A tk−1
(k −1)! Ak−1 .

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 90
Poiché
∥
∥A tk−1
(k −1)! Ak−1 ∥ ∥∥ ≤ ‖A‖
|t| k−1
(k −1)! ‖A‖k−1
si ha che la serie delle derivate è totalmente convergente in B(X) e che questa
convergenzaèuniforme rispetto a t in intervalli limitati. Poichévale un teorema
di derivazione termine a termine negli spazi di Banach per serie uniformemente
totalmente convergenti (la dimostrazione è identica a quella per le funzioni a
valori reali), si avrà che S : R → B(X) è derivabile, con
d
∞
dt S(t) = ∑ d t k
dt k! Ak = A
k=0
∞∑
k=1
t k−1
(k −1)! Ak−1 = AS(t) = S(t)A.
Ora, per h → 0, si ha
∥[ ] ∥ u(t+h)−u(t)
∥∥∥
∥ −Au(t)
S(t+h)−S(t) ∥∥∥
h ∥ = −AS(t) u 0
h
≤
S(t+h)−S(t)
∥ −AS(t)
h ∥ ‖u 0‖ → 0
e dunque u : R → X è derivabile con d dt u(t) = Au(t). Inoltre u(0) = S(0)u 0 =
Iu 0 = u 0 . Dunque u(t) è soluzione di (5.9) (osserviamo che u ∈ C 1 (R,X)). □
Per le evidenti analogie con la funzione esponenziale, il gruppo generato da
A ∈ B(X) si indica con e tA .
Esercizio 5.10 Un esempio con X = C 2 . Sia (α 1 ,α 2 ,α 3 ) ∈ R 3 e sia
( )
α3 α
A = 1 −iα 2
.
α 1 +iα 2 −α 3
Calcolare e tA .
5.3 Cenni sul caso del generatore non-limitato
Su uno spazio di Banach X possono agire operatori lineari che non sono limitati
(se X ha dimensione finita, però, tutti gli operatori lineari sono limitati). In
generale, un operatore lineare in uno spazio di Banach X è un’applicazione
lineareA : D(A) → X, doveD(A) èun sottospaziolinearediX detto dominio di
A. Adesempio,glioperatoriditipodifferenzialesonogeneralmentenon-limitati,
come mostra il seguente esempio.
Esempio 5.11 Sia X = C([−1,1]) (con la norma del sup) e poniamo
Au := u ′ , ∀ u ∈ D(A) := C 1 ([−1,1])
Dimostriamo che tale operatore non è limitato, cioè non esiste alcun M ≥ 0
tale che ‖Au‖ ∞
≤ M‖u‖ ∞
per ogni u ∈ D(A). Consideriamo la successione
u n ∈ D(A)
u n (x) = √ x 2 +1/n,

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 91
È facile verificare che u n (x) → |x| uniformemente (cioè nella norma di X). Se
A fosse limitato allora Au n = u ′ n sarebbe una successione di Cauchy in X e
quindi convergerebbe uniformemente a una funzione continua, mentre il limite
di u ′ n (x) è una funzione discontinua.
Nelle applicazioni, il caso del generatore A non limitato è ben più tipico di
quello del generatore limitato. I problemi visti negli esempi (trasporto, calore,
onde) hanno tutti generatorinon limitati. Vogliamo oramostrare, senza pretesa
di essere esaurienti, come la teoria esposta nel paragrafo precedente può essere
estesa a questo caso più generale e più significativo.
Ricordiamo che per il gruppo generato da un operatore limitato A ∈ B(X)
abbiamo dimostrato che d dt etA u = Ae tA u, per cui
Au = d dt etA u∣ .
t=0
Questa osservazione motiva la seguente definizione.
Definizione 5.12 Sia X uno spazio di Banach e S : R + → B(X) un C 0 -
semigruppo. Definiamo il seguente operatore lineare:
{
}
D(A) := u ∈ X
∣ lim S(t)u−u
esiste in X ,
t→0 + t
(5.10)
S(t)u−u
Au := lim , u ∈ D(A).
t→0 + t
Tale operatore è detto generatore (infinitesimo) di S.
Si può dimostare che un semigruppo S(t) è completamente identificato dal generatore
cioè che, se due C 0 -semigruppi S 1 ed S 2 hanno lo stesso generatore A,
allora S 1 ≡ S 2 .
Se ilgeneratoreA èun operatorelimitato, allorarisultacheS puòessereestesoa
un gruppo, che èproprioil gruppoe tA definitodallaserieesponenziale(5.7). Nel
caso più generale, poiché il semigruppo è identificato dal generatore, possiamo
continuare ad adottare la scrittura e tA (con t ≥ 0), tenendo però presente che,
in generale, non vale lo sviluppo in serie esponenziale, né si può estendere il
semigruppo a un gruppo.
Il collegamento fra questi concetti e il problema di evoluzione è fornito dalla
seguente generalizzazione del Teorema 5.9 (per la dimostrazione si può trovare
in [22, 23, 24].
Teorema 5.13 Sia A : D(A) → X generatore di un C 0 -semigruppo e tA . Per
ogni u 0 ∈ D(A), si ha
e tA u 0 ∈ D(A),
d
dt etA u 0 = Ae tA u 0 = e tA Au 0 , (5.11)

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 92
e dunque la funzione u : R + → X, u(t) := e tA u 0 , t ≥ 0, è soluzione (regolare)
del problema di Cauchy
⎧
⎪⎨
d
u(t) = Au(t), t > 0,
dt (5.12)
⎪⎩
u(0) = u 0 ∈ D(A).
Osservazione 5.14 Se u 0 /∈ D(A), la funzione u(t) = e tA u 0 , ha ancora senso
(poiché e tA è un operatore limitato che agisce su qualsiasi u 0 ∈ X) ma non è
soluzione in senso stretto del problema di evoluzione (5.12) (poiché non è detto
che valgano le proprietà (5.11)). Essa è detta soluzione “mild” del problema
(5.12).
Osservazione 5.15 Eventuali condizioni al contorno lineari sono incorporate
nella definizione del dominio D(A). Consideriamo ad esempio il seguente
problema di diffusione unidimensionale con condizioni al bordo di Dirichlet:
⎧
u t (x,t) = u xx (x,t), x ∈ (0,1), t > 0,
⎪⎨
u(0,t) = u(1,t) = 0, t ≥ 0,
⎪⎩
u(x,0) = u 0 (x), x ∈ [0,1].
Il problema di Cauchy ad esso associato, ambientato per esempio nello spazio
di Banach X = C([0,1]), è del tipo (5.12), con
D(A) := { u ∈ C 2 ([0,1]) | u(0) = u(1) = 0 }
Au := u ′′ ,
u ∈ D(A).
Se u 0 ∈ D(A) e A genera semigruppo allora, come abbiamo detto, la soluzione
u(t) sta in D(A) per ogni t ≥ 0 e quindi, in particolare, soddisfa le condizioni
al contorno.
Esiste un teorema fondamentale, il Teorema di Hille e Yosida, che fornisce
un insieme di condizioni necessario e sufficiente affinché un operatore lineare
A : D(A) → X sia generatore di un C 0 -semigruppo e tA . Nella pratica applicativa
il punto di partenza è il problema di evoluzione, rappresentato dall’operatore
A, e l’analisi del problema consiste nel dimostrare che A è generatore di semigruppo
e, possibilmente, costruire il semigruppo stesso (ovvero la soluzione).
Nel caso di A limitato la situazione è molto semplice: A genera un gruppo la
cui costruzione esplicita è fornita dalla serie esponenziale (5.7). Nel caso di A
non limitato, possiamo applicare il Teorema di Hille e Yosida per dimostrare
che A è un generatore, e quindi che il problema di evoluzione è ben posto. Tuttavia
possiamo ancora chiederci: esiste una formula costruttiva in questo caso?
La serie esponenziale non ha più senso (se non in circostanze molto particolari);
basti pensare che le potenze di A non sono in generale ben definite. Ma
pensiamo per un attimo alla semplice funzione esponenziale complessa e ta , con

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 93
a ∈ C. Sappiamo bene che essa può essere rappresentata sia in termini di serie
esponenziale, sia come limite
(
e ta = lim 1− ta ) −n
.
n→+∞ n
Questa rappresentazione risulta essere la chiave per costruire il semigruppo
con generatore non limitato: si tratta di dare un senso alla corrispondente
espressione in cui a è sostituito dall’operatore A, ovvero
(
e tA = lim I − t ) −n
n→+∞ n A , t ≥ 0, (5.13)
dove ( I − t n A) −n
può essere naturalmente interpretato come
[ (I
−
t
n A) −1 ] n
.
Basta ora scrivere
(
I − t ) [ −1 t
( n
) ] −1
n A =
n t I −A = n ( n
) −1
t t I −A
per rendersi conto che l’espressione (5.13) ha senso se n tI −A è invertibile e
( n
t I −A ) −1
∈ B(X),
almeno da un certo n in poi.
Definizione 5.16 Sia A : D(A) ⊂ X → X un operatore lineare. Definiamo
insieme risolvente di A il sottoinsieme di C
{
}
ρ(A) = λ ∈ C∣ λI −A è invertibile e (λI −A) −1 ∈ B(X) .
Se λ ∈ ρ(A), l’operatore imitato R(λ) = (λI −A) −1 è detto operatorerisolvente
di A. L’insieme σ(A) = C\ρ(A) è detto spettro di A.
L’analisi dell’insieme risolvente diventa quindi un ingrediente fondamentale per
dimostrare la validità della formula (5.13) e quindi la generazionedi semigruppo
da parte di A. In particolare, una delle condizioni del Teorema di Hille-Yosida
è che ρ(A) contenga una semiretta reale del tipo (ω,+∞) per cui, per ogni
t ≥ 0, esisterà n t tale che n/t ⊂ ρ(A) per ogni n ≥ n t e, di conseguenza,
( n
t I −A) −1
∈ B(X).
3
Esempio 5.17 Cerchiamo l’insieme risolvente dell’operatore Laplaciano ∆ sullo
spazio L 2 (R N ), con dominio
D(∆) = H 2 = { u ∈ L 2 (R N )| ∇ α u ∈ L 2 (R N ), ∀ |α| ≤ 2 } (5.14)
(dove ∇ indica il gradiente distribuzionale).
3 Affinché A generi un gruppo, occorrerà che esistano due numeri reali ω + e ω − tali che
(−∞,ω − )∪(ω + ,+∞) ⊂ ρ(A).

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 94
Come prima cosa osserviamo che, usando la (4.22), il dominio di ∆ può essere
caratterizzato anche in termini di trasformate di Fourier:
D(∆) = { u ∈ L 2 (R N )| k α û ∈ L 2 (R N ), ∀ |α| ≤ 2 } .
Analizzarel’insiemerisolventesignificadiscuterel’invertibiliàdell’operatoreλI−
∆ e le proprietà dell’operatore inverso. Consideriamo quindi l’equazione
(λI −∆)u = g, (5.15)
dove g ∈ L 2 (R N ) è fissato e, affinché l’equazione stessa abbia senso, la soluzione
u va cercata in D(∆). In trasformata di Fourier l’equazione diventa
che ha soluzione formale
(λ+|k| 2 )û(k) = ĝ(k),
û(k) = ĝ(k)
2. (5.16)
λ+|k|
Si tratta ora di vedere quand’è che questa formula fornisce effettivamente (l’espressione
in trasformata di Fourier de) la soluzione del problema (5.15). Osserviamo
che se λ è reale negativo o nullo, ha una singolarità in |k| 2 = −λ
1
λ+|k| 2
ed è facile produrre esempi di funzioni g ∈ L 2 (R N ĝ(k)
) tali che /∈ L 2 (R N ).
λ+|k| 2
Poiché la solubilità dell’equazione (5.15) per ogni funzione g in L 2 (R N ) è condizione
necessaria affinché (λI − ∆) −1 ∈ B ( L 2 (R N ) ) , possiamo affermare che
(−∞,0] ⊄ ρ(∆) (ovvero (−∞,0] ⊂ σ(∆)). Se invece λ ∉ (−∞,0], chiaramente
esiste una costante C > 0 tale che
∣ k α ∣∣∣∣ ∣λ+|k| 2 < C,
per ogni multi-indice α con |α| ≤ 2. Dunque la funzione u la cui trasformata di
Fourier è definita dalla (5.16) appartiene a D(∆) e possiamo dire che
Inoltre,
‖u‖ 2 2 = ‖û‖2 2 = ∫
u = (λI −∆) −1 g.
R N |ĝ(k)| 2
|λ+|k| 2 | 2dk ≤ C2 ‖g‖ 2 2 ,
il che dimostra che (λI −∆) −1 ∈ B ( L 2 (R N ) ) , e possiamo concludere che λ ∈
ρ(∆). In definitiva, abbiamo dimostrato che
ρ(∆) = C\(−∞,0].
Esempio 5.18 Riprendiamo il precedente esempio e dimostriamo che ∆ è il
generatore del semigruppo del calore
∫
1
[S(t)u](x) = e −|x−y|2 /4t u(y)dy
(4πt) N/2 R N

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 95
(cfr. (3.33)). Dobbiamo dimostrare che il limite
S(t)u−u
lim
t→0 + t
esiste (in L 2 (R N )) se e solo se u ∈ D(∆), e che tale limite è uguale a ∆u.
Conviene anche in questo caso guardare le cose attraverso la trasformazione di
Fourier, per cui si ha
( ) (
S(t)u−u e −t|k|2 −1
F −∆u (k) = +|k|
)û(k).
2
t
t
Osservando che
e −t|k|2 = 1−t|k| 2 +R 1 (t)
e ricordando l’espressione del resto n-esimo nello sviluppo di Taylor in t 0 di una
funzione f(t) di classe C n+1 in un intorno di t 0 ,
R n (t) = 1 n!
∫ t
potremo scrivere
∣ e −t|k|2 −1 ∣∣∣∣ +|k| 2 = 1 ∣ t t |R 1(t)| = 1 t
e, pertanto,
t 0
(t−τ) n f (n+1) (τ)dτ,
∫ t
0
(t−τ)|k| 4 e −t|k|2 dτ
∫ t
≤ |k| 4 e −t|k|2 dτ = |k| 2 (1−e −t|k|2 ) ≤ |k| 2
0
∫R N ∣ ∣∣∣∣
(
e −t|k|2 −1
t
2 ∫ ∣ +|k|
)û(k)
2 ∣∣|k|2û(k)
dk ≤ ∣ 2 dk.
∣ R N
Questa disuguaglianza ci permette di utilizzare il Teorema della convergenza
dominata per concludere che, se u ∈ D(∆),
∥ ∥∥∥ S(t)u−u
lim −∆u
t→0 + t ∥ = 0.
2
Viceversa, supponiamo che esista in L 2 (R N ) il limite
e −t|k|2 −1
ˆv = lim û.
t→0 + t
Poiché d’altra parte lim t→0 + e−t|k|2 −1
t
û(k) = −|k| 2 û(k) (puntualmente), i risultati
standard sugli spazi L p (si veda ad esempio [6]) ci dicono che ˆv(k) =
−|k| 2 û(k) quasi ovunque. Ma allora |k| 2 û ∈ L 2 (R N ), ovvero 4 u ∈ D(∆). Abbiamo
così dimostrato (cfr. Definizione 5.12) che ∆ è il generatore di S(t) e
scriveremo perciò S(t) = e t∆ .
4 Non è difficile infatti dimostrare che u ∈ H 2 se e solo se u ∈ L 2 e |k| 2 û ∈ L 2 . Basta infatti
dimostrare che esistono due costanti c 1 > 0 e c 2 > 0 tali che c 1 (1+|k| 2 ) ≤ |k α | ≤ c 2 (1+|k| 2 )
per ogni multi-indice α con |α| ≤ 2 (si veda anche [7]).

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 96
5.4 Sorgenti e perturbazioni
Consideriamo ora un problema di Cauchy con un termine di “sorgente”:
⎧
⎪⎨
d
u(t) = Au(t)+q(t), t > 0,
dt
⎪⎩
u(0) = u 0 ∈ D(A),
(5.17)
dove q : R + → X è una funzione assegnata. Supponiamo che A sia generatore
di un C 0 -semigruppo: sappiamo allora che, se q ≡ 0, la soluzione del problema
è data da u(t) = e tA u 0 . Procediamo ora formalmente per trovare una soluzione
del problema (5.17) completo. Supponiamo che u(t) sia soluzione e poniamo
v(s) = e (t−s)A u(s), 0 ≤ s ≤ t.
Si può dimostrare facilmente che vale la regola “di Leibnitz”
d
dt etA u(t) = detA tA du(t)
u(t)+e
dt dt
e quindi, ricordando anche la proprietà (5.11), potremo scrivere
d
ds v(s) = −Ae(t−s)A u(s)+e (t−s)A d ds u(s)
= −Ae (t−s)A u(s)+e (t−s)A [Au(s)+q(s)] = e (t−s)A q(s).
Integrando fra 0 e t si ottiene
v(s)−v(0) =
ovvero, ricordando la definizione di v,
u(t) = e tA u 0 +
∫ t
0
∫ t
0
e (t−s)A q(s)ds
e (t−s)A q(s)ds. (5.18)
Si può dimostrare che, sotto opportune ipotesi di regolarità 5 , questa formula
(che non èaltrochelaversioneneglispazidi Banachdella“formuladi variazione
delle costanti”) ci fornisce la soluzione regolare del problema (5.17).
Passiamo ora a considerare il problema “perturbato”
⎧
⎪⎨
d
u(t) = (A+B)u(t), t > 0,
dt
⎪⎩
u(0) = u 0 ∈ D(A),
(5.19)
dove A è generatore di semigruppo e B ∈ B(X). 6 Cominciamo a trattare il caso
più semplice, quello in cui A e B commutano, ovvero
ABu = BAu
per ogni u ∈ D(A) tale che Bu ∈ D(A).
5 Ad esempio, oltre a u 0 ∈ D(A), si può richiedere q ∈ C 1 (R + ,X). Se si richiede solamente
u 0 ∈ X e q ∈ L 1 loc (R+ ,X), la (5.18) è, per definizione, la soluzione mild del problema.
6 Si possono considerare anche perturbazioni non-limitate ma sono ben più difficili da
trattare [21, 23, 1].

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 97
Proposizione 5.19 Se A e B commutano, allora e t(A+B) = e tA e tB .
Dimostrazione Dimostriamo la proposizione nel caso semplice in cui A ∈
B(X), per cui la formula esponenziale (5.7) vale per i tre gruppi e tA , e tB ,
e t(A+B) . Poiché, se AB = BA (e solo in questo caso), si può scrivere la formula
del binomio di Newton per gli operatori,
(A+B) k =
k∑
j=0
( k
j)
A k−j B j ,
allora la dimostrazione dell’uguaglianza e t(A+B) = e tA e tB è identica alla dimostrazione
dell’uguaglianza e (s+t)A = e sA e tA nella dimostrazione del Teorema 5.8
(scambiandoopportunamenteiruolidellevariabilitesconquellideglioperatori
A e B).
□
Nel caso commutativo, abbiamo dunque una semplice rappresentazione del semigruppo
generato da A+B in termini di quelli generati separatamente da A e
da B. In generale, se A e B non commutano, il semigruppo generato da A+B
non è ricavabile in modo semplice e di solito si ricorre all’approccio cosiddetto
“perturbativo” che illustriamo qui di seguito.
Per provare a risolvere il problema (5.19) consideriamo il termine Bu(t) come se
fosse un termine “di sorgente” e usiamo la (5.18). Si ottiene allora un’equazione
integrale per u(t):
u(t) = e tA u 0 +
∫ t
0
e (t−s)A Bu(s)ds (5.20)
(detta talvolta formula di Duhamel) che possiamo risolvere col metodo delle
“approssimazioni successive”, ovvero come il limite della successione u (n) (t),
ottenuta per sostituzione ricorsiva della u(s) nell’equazione integrale (5.20):
⎧
⎪⎨ u (0) (t) = e tA u 0
∫ t
(5.21)
⎪⎩ u (n+1) (t) = e tA u 0 + e (t−s)A Bu (n) (s)ds, n ≥ 0.
0
Prima di dimostrare che tale successione ha limite, e che il limite è soluzione
della (5.20), osserviamo che scrivendo esplicitamente le sostituzioni ricorsive si
ottiene l’espressione della soluzione u(t) sotto forma di serie
u(t) = e tA u 0
+
+
+
∫ t
e (t−s1)A Be s1A u 0 ds 1
0
∫ t ∫ s1
0 0
∫ t ∫ s1
∫ s2
+···
0 0 0
e (t−s1)A Be (s1−s2)A Be s2A u 0 ds 1 ds 2
e (t−s1)A Be (s1−s2)A Be (s1−s3)A Be s3A u 0 ds 1 ds 2 ds 3
(5.22)

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 98
detta serie di Dyson-Phillips. L’utilità della formula (5.22) è chiara: anche
quando conosciamo un’espressione esplicita di e tA (e quindi del problema nonperturbato)
è in generale impossibile avere un’espressione esplicita della soluzione
del problema perturbato; la serie di Dyson-Phillips ci fornisce però la
possibiltà di esprimere tale soluzione in termi espliciti con un grado di approssimazione
(in linea di principio) arbitrario.
Dimostriamo ora la convergenza delle approssimazioni successive.
Lemma 5.20 Sia Y uno spazio di Banach e V ∈ B(Y) un operatore limitato
tale che ∑ ∞
n=0 ‖V n ‖ < ∞. Allora I −V è invertibile, con (I −V) −1 ∈ B(Y).
Dimostrazione Per il teorema di totale convergenza (si veda ad esempio [8]
Cap. 2) si ha che ∑ ∞
n=0 V n convergein B(Y). Poichéinoltre, per ogni N fissato,
si può scrivere
N∑
V n (I −V) =
n=0
N∑
(I −V)V n =
n=0
passando al limite per N → ∞ si ottiene
n=0
N∑
n=0
N+1
∑
V n − V n +I,
n=0
∞∑ ∞∑
V n (I −V) = (I −V)V n = I,
n=0
e dunque ∑ ∞
n=0 V n = (I −V) −1 . □
Teorema 5.21 Siano X uno spazio di Banach, A : D(A) → X un generatore di
semigruppo e B ∈ B(X). Allora, per ogni u 0 ∈ X, la successione u (n) (t) definita
da (5.21) converge a una funzione continua u : R + → X che è soluzione unica
dell’equazione integrale (5.20).
Dimostrazione Fissiamo T > 0 arbitrario e consideriamo lo spazio di Banach
Y = C([0,T],X), delle funzioni u : [0,T] → X continue, con la norma
‖u‖ Y
= sup ‖u(t)‖ X
.
t∈[0,T]
Consideriamo inoltre l’operatore lineare V su Y così definito:
(Vu)(t) =
∫ t
0
e (t−s)A Bu(s)ds.
Ricordando la Proposizione 5.5 possiamo scrivere, per ogni u ∈ Y,
∫ t
‖Vu‖ Y
= sup
∥ e (t−s)A Bu(s)ds
∥ ≤ TMe ωT ‖B‖‖u‖ Y
X
t∈[0,T]
0
e dunque V ∈ B(Y). Osserviamo che, posto g(t) = e tA u 0 , l’equazione integrale
(5.20), le approssimazioni successive (5.21) e la serie di Dyson-Phillips (5.22)
possono essere interpretate nello spazio Y come, rispettivamente, l’equazione
u = g +Vu, (5.23)

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 99
la successione ricorsiva
{u (0) = g
u (n+1) = Vu (n) , n ≥ 0.
(5.24)
e la serie
u =
∞∑
V n g. (5.25)
n=0
È dunque chiaro che, se dimostriamo che V soddisfa le ipotesi del Lemma 5.20,
l’equazione (5.23) ha soluzione unica data da
u = (I −V) −1 g =
∞∑
V n g
ilchesignificache(almenopert ∈ [0,T])l’equazioneintegrale(5.20)haun’unica
soluzione continua, data dalla serie di Dyson-Phillips. Essendo T arbitrario si
sarà così dimostrato che la soluzione esiste (ed è unica e continua) per tutti i
tempi t ≥ 0. Il problema si riduce quindi a dimostrare che la serie ∑ ∞
n=0 ‖V n ‖
è convergente (dove naturalmente ‖V n ‖ è la norma di V n in B(Y)). A questo
scopo osserviamo che, per ogni t ∈ [0,T] e per ogni u ∈ Y, si ha
∫ t
∫ t
‖(Vu)(t)‖ X
=
∥ e (t−s)A Bu(s)ds
∥ ≤ α ‖u(s)‖ X
ds ≤ tα‖u‖ Y
X
(dove si è posto α = Me Tω ‖B‖), e dunque
∥
∥(V 2 u)(t) ∥ ∥
X
≤ α
0
∫ t
0
n=0
∫ t
‖(Vu)(s)‖ X
ds ≤ α 2 ‖u‖ Y
sds = α 2 t 2
‖u‖ Y
2
e così via. Per induzione si può facilmente dimostrare che
‖(V n u)(t)‖ X
≤ (αt)n
n!
0
‖u‖ Y
,
da cui, passando al sup su t ∈ [0,T], si ricava subito
0
Pertanto
n=0
e il teorema è così dimostrato.
‖V n ‖ ≤ (αT)n .
n!
∞∑ ∞∑
‖V n (αT) n
‖ ≤ = e αT < ∞
n!
n=0
□
Per concludere questo paragrafo menzioniamo un altro risultato che fornisce
un diverso metodo di approssimazione della soluzione del problema perturbato.
Talerisultatoèlaformula di Trotter (5.26)checidiceinsostanzachel’azionedel
semigruppo e t(A+B) può essere approssimata dividendo l’intervallo temporale
[0,t] in n parti uguali, su ciascuna delle quali si fanno agire separatamente e
alternativamenteiduesemigruppie tA ed e tB . Pern → ∞ siottieneesattamente
l’azione di e t(A+B) .

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 100
Teorema 5.22 Siano X uno spazio di Banach, A : D(A) → X un generatore
di semigruppo e B ∈ B(X). Supponiamo che per e tA valga la stima (5.6) con
M = 1. Allora, per ogni u 0 ∈ X e t ≥ 0, si ha
(
e t(A+B) u 0 = lim e t n A e t B) n
n u0 (5.26)
n→∞
La dimostrazione del Teorema 5.22 si può trovare (sotto ipotesi più generali) in
[23] e [24]. La formula di Trotter trova un’importante applicazione nel campo
dell’analisi numerica, fornendo una giustificazione teorica del cosiddetto splitstep
method.
5.5 Equazione di trasporto con collisioni
In questo paragrafovogliamo applicare la teoria dei semigruppi (e in particolare
la serie di Dyson-Phillips) allo studio della equazione del trasporto, che descrive
la dinamica di un insieme statistico di particelle interagenti con l’ambiente
circostante. Tale equazione, nelle sue numerose varianti, è usata in importanti
applicazioni tra cui l’ingegneria nucleare (dinamica dei neutroni in un reattore),
l’astrofisica e la geofisica (passaggio di fotoni attraverso nubi interstellari o
atmosfere planetarie) e l’ingegneria elettronica (dinamica degli elettroni in un
semiconduttore).
Mostriamo brevemente come si può ricavare l’equazione del trasporto nella sua
forma più basilare, rimandando al libro di Duderstadt e Martin [26] i lettori interessati
a maggiori approfondimenti. Si consideri una popolazione di particelle
identiche descritte da una funzione di densità nello spazio delle fasi, f(x,v,t),
per cui
∫
f(x,v,t)dxdv = numero di particelle che all’istante t
R
si trovano nella regione R ⊂ R 6 dello
spazio delle fasi.
In completa assenza di interazioni le particelle si muoveranno per pura inerzia
e dunque la loro densità si manterrà costante lungo le traiettorie nello spazio
delle fasi corrispondenti alle equazioni di Newton
Derivando f lungo tali traiettorie si otterrà perciò
ẋ(t) = v(t), ˙v(t) = 0. (5.27)
0 = d dt f(x(t),v(t),t) = ẋ·∇ xf + ˙v ·∇ v f +f t = v ·∇ x f +f t ,
da cui segue l’equazione di trasporto “libero”
f t (x,v,t) = −v ·∇ x f(x,v,t) (5.28)
(che è esattamente la (3.30), già studiata nel capitolo 3). Supponiamo ora
che le particelle interagiscano con il mezzo circostante a causa di “urti” che

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 101
ne cambiano istantaneamente la velocità. La densità f non sarà più costante
lungo le traiettorie (5.27) perché ogni particella ha una certa probabilità di
subire un urto che ne modifica la velocità, e di essere così spostata da un punto
a un altro dello spazio delle fasi (la x però rimane costante se supponiamo
che l’urto sia localizzato). Per quantificare questo fenomeno, detto scattering,
descriviamo ogni urto tramite una velocità pre-collisionale v pre e una velocità
post-collisionale v post , e tramite la funzione
k(v pre ,v post ) = probabilità per unità di tempo e per
unità di volume nello spazio delle velocità
post-collisionali che una particella
con velocità v pre subisca un urto e ne
riemerga con una velocità v post .
La funzione k(v pre ,v post ) è detta nucleo di scattering. 7 Fissato dunque un punto
(x,v) nello spazio delle fasi, in tale punto avremo:
• una variazione negativa di densità, −k(v,v ′ )f(x,v,t)dv ′ , dovuta alle particelle
che scompaiono per unità di tempo da (x,v) perché la loro velocità
era v ed è diventata una certa v ′ contenuta in un volumetto dv ′
(out-scattering);
• una variazione positiva di densità, k(v ′ ,v)f(x,v ′ ,t)dv ′ , dovuta alle particelle
che compaiono per unità di tempo in (x,v) perché la loro velocità era
v ′ (contenuta in un dv ′ ) ed è diventata v (in-scattering);
Integrando su tutte le possibili velocità v ′ si ottiene il seguente bilancio lungo
le traiettorie
∫
∫
d
dt f(x,v,t) = − k(v,v ′ )f(x,v,t)dv ′ + k(v ′ ,v)f(x,v ′ ,t)dv ′
R 3 R
∫
3
= −σ(v)f(x,v,t)+ k(v ′ ,v)f(x,v ′ ,t)dv ′
R 3
dove si è sottointeso x = x(t), v = v(t) e si è posto
∫
σ(v) = k(v,v ′ )dv ′ .
R 3
Si ottiene così la seguente equazione di trasporto collisionale che supporremo,
persemplicità, esserepostasututtolospaziodellefasi(equindisenzacondizioni
al contorno) e che corrediamo di un dato iniziale:
⎧
∫
⎨f t (x,v,t) = −v ·∇ x f(x,v,t)−σ(v)f(x,v,t)+ k(v ′ ,v)f(x,v ′ ,t)dv ′
R
⎩
3 f(x,v,0) = f 0 (x,v), (x,v) ∈ R 6 , t ≥ 0.
(5.29)
7 Per semplicità stiamo supponendo che il mezzo circostante sia omogeneo per cui k non
dipende da x.

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 102
Nel seguito supporremo che la funzione k(v ′ ,v) sia non negativa, integrabile
rispetto a v ′ e tale che
∫
σ(v) = k(v,v ′ )dv ′ ≤ σ ∞ , (5.30)
R 3
con σ ∞ costante non negativa.
Vogliamo ora analizzare il problema ai valori iniziali (5.29) mediante la teoria
dei semigruppi. Come prima cosa dobbiamo scegliere uno spazio di Banach in
cui inquadrare il problema. Dal momento che, per ogni t fissato, l’integrale
∫
N(t) = f(x,v,t)dxdv
R 6
ha il significato fisico di numero totale di particelle al tempo t, è chiaro che
f(x,v,t) deve essere integrabile rispetto a x e v per ogni t. La scelta naturale
cade quindi sullo spazio di Banach
X = L 1 (R 6 ,R).
Interpretiamo dunque (5.29) come il seguente problema di evoluzione in X:
⎧
⎪⎨
d
f(t) = (A+B)f(t), t > 0,
dt (5.31)
⎪⎩
f(0) = f 0 ∈ X,
dove gli operatori A e B sono definiti nel modo seguente:
⎧
⎨ (Af)(x,v) = −v ·∇ x f(x,v)+σ(v)f(x,v),
⎩
D(A) = {f ∈ X | v ·∇ x f ∈ X},
⎧ ∫
⎨ (Bf)(x,v) = k(v ′ ,v)f(x,v ′ )dv ′ ,
R
⎩
3 D(B) = X.
(5.32)
(5.33)
Ricavare (formalmente) il semigruppo generato da A significa risolvere il problema
{
ft (x,v,t) = −v ·∇ x f(x,v,t)−σ(v)f(x,v,t)
f(x,v,0) = f 0 (x,v), (x,v) ∈ R 6 , t ≥ 0,
il che può essere fatto direttamente oppure osservando che la funzione
g(x,v,t) = e σ(v)t f(x,v,t)
deve soddisfare il problema (3.30) (con dato iniziale g(x,v,0) = f 0 (x,v)). Dall’analisi
svolta a suo tempo sappiamo che la soluzione è
g(x,v,t) = f 0 (x−tv,v)
e dunque
f(x,v,t) = e −σ(v)t f 0 (x−tv,v).

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 103
Abbiamo perciò individuato formalmente 8 l’azione del semigruppo (anzi, del
gruppo) generato da A, che indicheremo con T(t),
(T(t)f)(x,v) = e −σ(v)t f(x−tv,v), f ∈ X. (5.34)
Per quanto riguarda l’operatore B, sfruttando il fatto che k è una funzione
non-negativa e utilizzando la (5.30), si ha
∣∫
∣ ∣∣∣ ∣∣∣
‖Bf‖ = k(v
∫R ′ ,v)f(x,v ′ )dv ′ dxdv ≤
6 R 3
∫
∫
k(v
∫R ′ ,v)|f(x,v ′ )|dv ′ dxdv = σ(v)|f(x,v)|dxdv ≤ σ ∞ ‖f‖ X
6 R 3 R 6
per ogni f ∈ X. Dunque Bf è effettivamente definito per ogni f ∈ X e inoltre
B ∈ B(x), con ‖B‖ ≤ σ ∞ .
Siamo perciò nelle ipotesi del Teorema 5.21 e possiamo concludere che la soluzione
del problema di trasporto (5.31) (o meglio, della sua versione integrale) è
data dalla serie di Dyson-Phillips
f(t) = T(t)f 0
+
+
∫ t
T(t−s 1 )BT(s 1 )f 0 ds 1
0
∫ t ∫ s1
+···
0 0
T(t−s 1 )BT(s 1 −s 2 )BT(s 2 )f 0 ds 1 ds 2
(5.35)
È interessante notare che i termini di questa serie hanno un significato fisico
ben preciso. Fissiamo infatti un punto (x,v) nello spazio delle fasi e un istante
di tempo t. Il primo termine della serie,
(T(t)f 0 )(x,v) = e −σ(v)t f 0 (x−tv,v),
è il contributo di tutte quelle particelle che sono arrivate nel punto x con velocità
v senza aver subito urti: non avendo mai modificato la loro velocità esse si
trovavano nel punto x−vt all’istante iniziale (t = 0). Il fattore di attenuazione
e −σ(v)t tiene conto delle altre particelle che si trovavano in x − vt all’istante
iniziale e che invece hanno subito urti. Nella Figura 5.2 (a) abbiamo rappresentato
questa situazione: la linea tratteggiata rappresenta la dinamica “libera”
e −σ(v)t f 0 (x−tv,v).
Il secondo termine della serie, ∫ t
0 T(t − s 1)BT(s 1 )f 0 ds 1 , rappresenta il contributo
di quelle particelle che sono arrivate nel punto x con velocità v avendo
subito un solo urto all’istante s 1 (contributo integrato si tutti i possibili istanti
dell’urto, 0 ≤ s 1 ≤ t). Questa situazione è rappresentata graficamente nella
Figura 5.2 (b): tali particelle hanno viaggiato per un tempo s 1 con velocità v ′ ,
8 Per dimostrare rigorosamente che A è il generatore del gruppo definito dalla (5.34) si
dovrebbe applicare la Definizione 5.12. In particolare, si dovrebbe dimostrare che il dominio
D(A), definito nella (5.32), è proprio il dominio del generatore come definito nella (5.10).

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 104
s 1
2
v ′′ v
t
(x,t)
s
v ′ (c)
(a)
x−vt
v
t
(x,t)
(b)
v ′
x−v(t−s 1 )−v ′ s 1
v
t
(x,t)
s 1
x−v(t−s 1 )−v ′ (s 1 −s 2 )−v ′′ s 2
Figura 5.2: Interpretazione dei primi tre termini della serie di Dyson-Phillips (5.35)

CAPITOLO 5. SEMIGRUPPI 105
hanno subito un urto all’istante s 1 che ha cambiato la loro velocità da v ′ a v,
dopodiché hanno viaggiato indisturbate per un tempo t−s 1 . Dunque, queste
particelle si trovavano nel punto x−v(t−s 1 )−v ′ s 1 all’istante iniziale. Le altre
particelle che si trovavano nel medesimo punto all’istante iniziale, ma che
hanno avuto storie differenti (ad esempio più di un urto, o un solo urto con
velocità post-collisionale diversa da v), sono sparite in ragione del solito fattore
di attenuazione presente nella dinamica libera.
Analogamente, il termine successivo nella serie di Dyson-Phillips rappresenta il
contributo delle particelle che hanno subito due urti (Figura 5.2 (c)), e così via
nei termini successivi.

Appendice A
Richiami su spazi lineari,
spazi L p e integrale di
Lebesgue
Riportiamo in questa appendice un brevissimo compendio di definizioni e risultati
sugli spazi lineari, e in particolare sugli spazi L p , utlizzati frequentemente
in queste dispense.
Definizione A.1 (Spazio vettoriale (o lineare) su C)
cui sono definite le seguenti operazioni:
È un insieme V su
somma (v,w) ∈ V×V ↦→ v+w ∈ V, tale che (V,+) sia un gruppo commutativo
(elemento neutro 0, opposto −v)
prodotto per scalare (α,v) ∈ C×V ↦→ αv ∈ V, tale che:
i) α(βv) = (αβ)v e 1v = v,
ii) α(v +w) = αv +αw e (α+β)v = αv +βv.
□
Definizione A.2 (Spazio vettoriale topologico)
topologico X tale che:
È uno spazio vettoriale e
i) i punti sono chiusi,
ii) le operazioni di somma e di prodotto per scalare sono continue.
□
Definizione A.3 (Spazio vettoriale normato)
con una funzione ‖·‖ : X → [0,+∞) tale che:
È uno spazio vettoriale X
i) ‖v‖ = 0 se e solo se v = 0,
ii) ‖v +w‖ ≤ ‖v‖+‖w‖, v,w ∈ X,
iii) ‖αv‖ = |α|‖v‖, v ∈ X, α ∈ C.
□
106

APPENDICE A. RICHIAMI SU SPAZI LINEARI E SPAZI L P 107
Uno spazio vettoriale normato è anche uno spazio metrico con la distanza
d(v,w) := ‖w−v‖
e quindi è anche uno spazio topologico con la topologia “metrica”, in cui un
sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se per ogni x 0 ∈ A esiste r > 0 tale che
{x ∈ X | d(x,x 0 ) < r} ⊂ A.
Si dimostra facilmente che la topologia indotta dalla norma rende X uno spazio
vettoriale topologico.
Definizione A.4 (Spazio di Banach) È uno spazio vettoriale normato completo
rispetto alla topologia indotta dalla norma [ricordiamo che uno spazio topologico
X è completo se ogni successione di Cauchy in X converge a un qualche
punto di X].
Definizione A.5 (Spazio di Hilbert) È uno spazio di Banach X la cui norma
è indotta da un prodotto Hermitiano 〈·,·〉 : X ×X → C, tale che 1
i) 〈v +w,u〉 = 〈v,u〉 + 〈w,u〉 e 〈αv,u〉 = α〈v,u〉 per ogni u,v,w ∈ X e
α ∈ C,
ii) 〈v,w〉 = 〈w,v〉, per ogni v,w ∈ X,
iii) 〈v,v〉 ≥ 0 per ogni v ∈ X, e 〈v,v〉 = 0 se e solo se v = 0.
La norma indotta è ‖v‖ := √ 〈v,v〉.
Negli spazi di Hilbert vale la Disuguaglianza di Schwartz
|〈v,w〉| ≤ ‖v‖‖w‖,
che ci dice, fra l’altro, che 〈·,·〉 è continuo rispetto alla topologia indotta da ‖·‖.
Un esempio molto importante di spazi di Banach è quello degli spazi L p . Sia Ω
un sottoinsieme aperto di R N e sia 1 ≤ p < +∞; definiamo:
{
∫ }
L p (Ω) := f : Ω → C
∣ f è misurabile e |f(x)| p dx < ∞ / ∼
dove
Se f ∈ L p (Ω), definiamo
f ∼ g ⇐⇒ mis{x ∈ Ω | f(x) ≠ g(x)} = 0.
(∫
‖f‖ p
:= |f(x)| p dx
Ω
Ω
) 1/p
(f è un qualunque rappresentante della classe di equivalenza). Si ha:
1 In queste dispense utilizziamo la convenzione, più comune nella letteratura matematica,
della linearità a sinistra. Spesso, soprattutto nei testi di fisica, si usa la convenzione opposta.

APPENDICE A. RICHIAMI SU SPAZI LINEARI E SPAZI L P 108
• ‖f‖ p
≥ 0 (ovvio);
• ‖f‖ p
= 0 ⇔ f = 0 (perché f = 0 significa “f = 0 q. o.”);
• ‖f +g‖ p
≤ ‖f‖ p
+‖g‖ p
(Teorema: Disuguaglianza di Minkowski);
• ‖αf‖ p
= |α|‖f‖ p
(ovvio).
Dunque ‖·‖ p è una norma su L p (Ω). Inoltre, si può dimostrare che, se {f n } ⊂
L p (Ω) è una successione di Cauchy rispetto a ‖·‖ p
, esiste f ∈ L p (Ω) tale che
‖f n −f‖ p
→ 0; dunque L p (Ω) è uno spazio di Banach (questo risultato è noto
anche come Teorema di Riesz-Fisher).
Lo spazio L ∞ (Ω) è definito da
L ∞ (Ω) := {f : Ω → C |f è misurabile e esssup|f| < +∞}/ ∼
con la norma
{
}
‖f‖ ∞
= esssup|f| := inf M ≥ 0∣ mis{x ∈ Ω : |f(x)| > M} = 0 .
Si dimostra che anche L ∞ (Ω) è uno spazio di Banach.
Un importante risultato sugli spazi L p è la disuguaglianza di Hölder: siano
1 ≤ p,p ′ ≤ ∞ tali che
1
p + 1 p ′ = 1
allora, se f ∈ L p (Ω) e g ∈ L p′ (Ω), si ha fg ∈ L 1 (Ω) e
∫
|f(x)g(x)|dx ≤ ‖f‖ p
‖g‖ p ′.
Ω
(p e p′ si dicono esponenti coniugati);
Osserviamo che p = 2 è coniugato di se stesso per cui se f,g ∈ L 2 (Ω), si ha
fg ∈ L 1 (Ω). Si può perciò definire 〈·,·〉 : L 2 (Ω)×L 2 (Ω) → C:
∫
〈f,g〉 := f(x)g(x)dx,
Ω
che risulta essere un prodotto Hermitiano. Si ha ovviamente che ‖f‖ 2
= √ 〈f,f〉
e che vale la disuguaglianza di Schwartz (è infatti data dalla disuguaglianza di
Hölder con p = p ′ = 2). Possiamo perciò concludere che L 2 (Ω) è uno spazio di
Hilbert.
Osservazione A.6 Osserviamo che se misΩ < ∞ e 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, allora
L q (Ω) ⊂ L p (Ω). Infatti, se f ∈ L q (Ω), applicando la disuguaglianza di Hölder
alle funzioni
|f| p ∈ L q/p (Ω), 1 ∈ L (q/p)′ (Ω)
possiamo scrivere
∫
Ω
(∫ ) p/q (∫ 1−p/q
|f(x)| p dx ≤ |f(x)| q dx 1dx)
= ‖f‖ p q (misΩ)1−p/q < +∞,
Ω
Ω

APPENDICE A. RICHIAMI SU SPAZI LINEARI E SPAZI L P 109
il che dimostra che f ∈ L p (Ω). Notiamo che abbiamo dimostrato anche che vale
la relazione fra le norme
‖f‖ p
≤ C‖f‖ q
,
(A.1)
dove C = (misΩ) 1 p −1q è una costante che dipende solo da misΩ, da p e da q.
Se invece misΩ = ∞, si possono trovare esempi di funzioni che stanno in L q (Ω)
ma non in L p (Ω) [esercizio].
Osservazione A.7 Tutto quello che abbiamo detto finora sugli spazi L p si
potrebbe generalizzare sostituendo (Ω,dx) con uno spazio di misura qualunque
(purché separabile).
Enunciamo un risultato spesso utilizzato in questo corso. La dimostrazione si
può trovare, ad esempio, in [6].
Teorema A.8 Sia Ω ⊂ R N un aperto. Allora C0 ∞ (Ω), lo spazio delle funzioni
C ∞ a supporto compatto in Ω, è denso in L p (Ω), per ogni 1 ≤ p < ∞.
Ricordiamo inoltre alcuni importanti risultati della teoria dell’integrazione secondo
Lebesgue.
Teorema A.9 (di Tonelli) Siano Ω 1 un aperto di R N e Ω 2 un aperto di R M .
Sia F : Ω 1 ×Ω 2 → C misurabile e non negativa. Allora le funzioni ∫ Ω 2
F(·,y)dy
e ∫ Ω 1
F(x,·)dx sono misurabili e
∫
{∫ } {∫ }
F(x,y)dxdy = F(x,y)dy dx = F(x,y)dx dy
Ω 1×Ω 2
∫Ω 1 Ω 2
∫Ω 2 Ω 1
(eventualmente = +∞).
Teorema A.10 (di Fubini) Se F : Ω 1 ×Ω 2 → C è integrabile allora ∫ Ω 2
F(·,y)dy
e ∫ Ω 1
F(x,·)dx sono integrabili q.o. e valgono le uguaglianze precedenti.
Teorema A.11 (della convergenza dominata) Sia Ω un aperto di R N e f n
una successione di funzioni integrabili su Ω tali che
i) lim
n→∞ f n(x) = f(x) per q.o. x ∈ Ω;
ii) esiste g integrabile su Ω tale che |f n (x)| ≤ g(x) q.o. in Ω, per ogni n ∈ N;
allora f è integrabile e
∫ ∫
lim f n (x)dx = f(x)dx.
n→∞
Ω Ω
Infine, sarà utile ricordare il sistema delle coordinate polari in R N :
⎧
x 1 = ρcosθ 1
⎪⎨
x 2 = ρsinθ 1 cosθ 2
···
x N−1 = ρsinθ 1···sinθ N−2 cosθ N−1
⎪⎩
x N = ρsinθ 1···sinθ N−2 sinθ N−1
(A.2)
ρ > 0, 0 < θ i < π (1 ≤ i ≤ N −2), 0 < θ N−1 < 2π.

APPENDICE A. RICHIAMI SU SPAZI LINEARI E SPAZI L P 110
Il determinante Jacobiano della trasformazione è
ρ N−1 sin N−2 θ 1 sin N−3 θ 2···sinθ N−2 .
(A.3)
La misura della superficie della sfera unitaria S N−1 in R N è perciò
mis(S N−1 ) := ω N−1
e risulta
=
∫ π
0
dθ 1···
∫ π
dove Γ(x) è la funzione Gamma di Eulero:
Utilizzando le proprietà
0
Γ(x) =
∫ 2π
dθ N−2 dθ N−1 sin N−2 θ 1 sin N−3 θ 2···sinθ N−2
0
ω N−1 = 2πN/2
Γ ( ), (A.4)
N
2
∫ +∞
0
e −t t x−1 dt, x > 0. (A.5)
Γ(x+1) = xΓ(x), Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π 1/2 .
si possono ricavare tutti i valori di ω N−1 :
ω 0 = 2, ω 1 = 2π, ω 2 = 4π, ω 3 = 2π 2 , ···

Appendice B
Esercizi
1. Calcolare i coefficienti di Fourier della seguenti funzioni definite per x ∈
(−π,π]: {
α, se x ∈ (0,π],
f 1 (x) =
−α, se x ∈ (−π,0],
{
α, se x ∈ (0,π],
f 2 (x) =
0, se x ∈ (−π,0],
f 3 (x) = x
⎧
⎪⎨ 1−| 2x −1|, se x ∈ (0,π],
π
f 4 (x) =
⎪⎩
| 2x +1|−1, se x ∈ (−π,0],
π
con α costante reale.
2. Siano f e g funzioni 2π-periodiche, integrabili su un periodo. Calcolare i
coefficienti di Fourier del prodotto fg (supponendo che sia integrabile) e della
convoluzione f ⋆g in in funzione dei coefficienti di Fourier f n e g n . di f e g.
3. Risolvere il seguente problema di diffusione “nella sbarretta” con dati di
Dirichlet non-omogenei e dipendenti dal tempo:
⎧
u t (x,t) = cu xx (x,t), x ∈ (0,l), t > 0,
⎪⎨ u(0,t) = α(t),
u(l,t) = β(t),
⎪⎩
u(x,0) = ϕ(x).
111

APPENDICE B. ESERCIZI 112
4. Risolvere il seguente problema differenziale:
⎧
u tt (x,t)−c 2 u xx (x,t)+m 2 u(x,t) = 0, x ∈ (0,l), t ∈ R,
⎪⎨ u(0,t) = u(l,0) = 0,
u(x,0) = ϕ(x),
⎪⎩
u t (x,0) = ψ(x),
con c ed m costanti assegnate.
5. Risolvere il seguente problema differenziale:
⎧
⎪⎨
u t (x,t)+u xxxx (x,t) = 0, x ∈ (0,π), t ∈ R,
u(0,t) = u(π,0) = 0,
⎪⎩
u(x,0) = ϕ(x).
6. Posto D = { x 2 +y 2 < r 2} , con r > 0, risolvere il problema differenziale
{
uxx +u yy = 0, in D,
u |∂D = f,
con f assegnata su ∂D.
7. Siano ω > 0 e c > 0 assegnati. Trovare le soluzioni del problema
{
ut (x,t) = cu xx (x,t), x ∈ (0,+∞), t ∈ R
u(0,t) = sin(ωt),
che siano T-periodiche in t (con T = 2π/ω) e limitate.
8. Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni:
f(x) = e −α|x|
f(x) =
(con α > 0 fissato).
{
e −αx , se x ≥ 0,
0, se x < 0,
9. Calcolare i momenti della distribuzione normale a media nulla:
∫
1 +∞
√ x r e −x2 /2σ 2 dx,
2πσ
2
−∞

APPENDICE B. ESERCIZI 113
con r ≥ 0 intero (e σ > 0 fissato).
10. Calcolare la trasformata di Fourier delle funzione
{
1−|x|, se |x| ≤ 1,
Λ(x) =
0, se |x| > 1.
11. Utilizzare il risultato del precedente esercizio per calcolare
per ogni intero r ≥ 0.
∫ +∞
−∞
x r Λ(x)dx
12. Posto R = { (x,y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ π } , risolvere il seguente problema di
diffusione su R:
⎧
⎪⎨
u t (x,y,t) = ∆u(x,y,t), (x,y) ∈ R, t > 0,
u(0,y,t) = u(π,y,t) = 0,
⎪⎩
u(x,y,0) = ϕ(x,y).
13. Risolvere il seguente problema differenziale:
{
ut (x,t) = au xx (x,t)+bu x (x,t)+cu(x,t), x ∈ R, t > 0,
u(x,0) = ϕ(x),
con a, b e c costanti assegnate.
14. Risolvere il seguente problema di diffusione sulla retta con coefficiente di
diffusione e sorgente dipendenti dal tempo:
{
ut (x,t) = a(t)u xx (x,t)+b(t), x ∈ R, t > 0,
u(x,0) = ϕ(x).
15. Risolvere il problema integro-differenziale
⎧ ∫ +∞
⎪⎨ u t (x,t) = − u(x−y,t)u(y,t)dy, x ∈ R, t > 0,
⎪⎩
u(x,0) = δ(x),
dove δ è la delta di Dirac.
−∞

APPENDICE B. ESERCIZI 114
16. Dimostrare che tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
u t (x,t) = i∆u(x,t), x ∈ R N , t > 0,
hanno norma L 2 (rispetto a x) costante (rispetto a t).
17. Consideriamo il cambio di coordinate lineare in R N
x ′ = Ax,
A ∈ GL(N).
Trovare come sono legate le trasformate di Fourier nei due sistemi e utilizzare
questo risultato per dimostrare che il Laplaciano è invariante per rotazioni.
18. Calcolare
lim
ǫ→0
ǫ
ǫ 2 +x 2 .
19. Sia g ∈ C 1 (R). Calcolare la derivata distribuzionale della funzione
u(x) = sgn(x)g(x), dove ricordiamo che la funzione “segno” è così definita:
⎧ x
⎨ , se x ≠ 0,
sgn(x) = |x|
⎩
0, se x = 0,
20. Sia g ∈ C 1 (R) tale che g(0) = 0, g ′ (x) ≠ 0,∀ x ∈ R e lim |x|→∞ |g(x)| =
+∞. Calcolare
1
lim √ e −g2 (x)/2σ 2 .
σ→0 + 2πσ
21. Sia g ∈ C 1 (R) tale che g(x 0 ) = 0, g ′ (x) ≠ 0,∀ x ∈ R. Calcolare la derivata
distribuzionale di f(x) = H(g(x)) (dove H è la funzione di Heaviside).
22. Dare un significato all’espressione δ(x 2 −1) (nel senso di “composizione”
della “funzione” delta di Dirac con la funzione x 2 −1).
23. SiaH lafunzionedi Heavisideeϕ ∈ S(R) unafunzione testpari. Calcolare
〈Ĥ,ϕ〉.
24. Calcolare la trasformata di Fourier delle funzioni
f(x,y) = e −x2 /2 cosy,
g(x,y) = xe −y2 .

APPENDICE B. ESERCIZI 115
25. Si consideri la distribuzione f su R 2 così definita:
〈f,ϕ〉 :=
∫ +∞
−∞
1. Dimostrare che f è singolare;
2. calcolarne il gradiente distribuzionale;
3. calcolarne la trasformata di Fourier.
ϕ(0,y)dy, ∀ ϕ ∈ D(R 2 ).
26. Si consideri la distribuzione f su R 2 così definita:
〈f,ϕ〉 :=
Calcolare ˆf.
∫ +∞
−∞
ϕ(t,t)dt, ∀ ϕ ∈ D(R 2 ).
27. Si consideri la distribuzione f su R 2 così definita:
〈f,ϕ〉 :=
Calcolare ˆf.
∫ 1
0
ϕ(x,0)dx, ∀ ϕ ∈ D(R 2 ).
28. Risolvere il problema integro-differenziale
⎧ ∫ 1
⎪⎨ u t (x,t) = xyu(y,t)dy, x ∈ [0,1], t ∈ R,
0
⎪⎩
u(x,0) = ϕ(x).
29. Sia p(x) una densità di probabilità su R. Risolvere il problema integrodifferenziale
⎧ ∫ +∞
⎪⎨ u t (x,t) = p(x) u(y,t)dy −u(x,t), x ∈ R, t ∈ R,
⎪⎩
u(x,0) = ϕ(x).
−∞
30. Sia B ⃗ ∈ R 3 fissato. Risolvere
⎧
⎨ d
dt ⃗v(t) = B ⃗ ∧⃗v(t), t ∈ R.
⎩
⃗v(0) =⃗v 0 .

APPENDICE B. ESERCIZI 116
31. Sia ⃗ν un versore fissato in R N e sia Π la proiezione ortogonale sul
sottospazio generato da ⃗ν. Calcolare e tΠ .
32. Trovare il semigruppo associato al sistema di equazioni
{
ut = −iv x ,
v t = iu x , x ∈ R, t ∈ R.
33. Trovare i semigruppi associati al problema della diffusione nella sbarretta
con con condizioni di Dirichlet
{
ut (x,t) = c 2 u xx (x,t), x ∈ (0,l), t > 0,
u(0,t) = u(l,t) = 0, t ≥ 0,
e con condizioni di Neumann
{
ut (x,t) = c 2 u xx (x,t), x ∈ (0,l), t > 0,
u x (0,t) = u x (l,t) = 0, t ≥ 0,
e utilizzarli per risolvere tali problemi in presenza di un termine di sorgente
q(x,t) assegnato (ovvero per l’equazione u t (x,t) = c 2 u xx (x,t)+q(x,t)).
34. Sia X = L 1 (R) e consideriamo l’operatore lineare A : D(A) ⊂ X → X
così definito:
D(A) = {u ∈ X | u ′ ∈ X}
Au = u ′ −αu, ∀ u ∈ D(A).
(con α > 0 fissato). Trovare l’insieme risolvente di A.
35. Sia X = C 0 ([0,+∞)) (lo spazio di Banach delle funzioni continue e
limitate su [0,+∞) con la norma del sup). Consideriamo l’operatore lineare
A : D(A) ⊂ X → X così definito:
D(A) = {u ∈ X | u ′ ∈ X e u(0) = 0}
Au = −u ′ , ∀ u ∈ D(A).
Trovare l’insieme risolvente di A. L’operatore −A (definito sullo stesso dominio
D(A)) può essere generatore di un semigruppo su X?

Bibliografia
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